1、2020 届高三模拟考试试卷数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)20201参考公式：锥体的体积公式：V 锥体13Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为高一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1.已知集合 A1，0，2，B1，1，2，则 AB_2.已知复数 z 满足(1i)z2i，其中 i 是虚数单位，则 z 的模为_a1i1While i4 aai ii1End WhilePrint a(第 4 题)3.某校高三数学组有 5 名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为 35，35，41，38，51，则这 5 名党员教师学习积分的平均值为_4
2、.根据如图所示的伪代码，输出 a 的值为_5.已知等差数列an的公差 d 不为 0，且 a1，a2，a4 成等比数列，则a1d的值为_6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷 3 次，则恰好出现 2 次正面向上的概率为_7.在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，AA1AB2，则三棱锥 A1BB1C1 的体积为_8.已知函数 f(x)sin(x3)(0)若当 x6 时，函数 f(x)取得最大值，则 的最小值为_9.已知函数 f(x)(m2)x2(m8)x(mR)是奇函数若对于任意的 xR，关于 x 的不等式 f(x21)f(a)恒成立，则实数 a 的取值范围是_10.在平面直角坐标系 xOy 中，已知点
3、A，B 分别在双曲线 C：x2y21 的两条渐近线上，且双曲线 C 经过线段 AB 的中点若点 A 的横坐标为 2，则点 B 的横坐标为_11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E4.81.5M.2008年 5 月汶川发生里氏 8.0 级地震，它释放出来的能量是 2019 年 6 月四川长宁发生里氏 6.0 级地震释放出来能量的_倍12.已知ABC 的面积为 3，且 ABAC.若CD 2DA，则 BD 的最小值为_13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：x2y28 与圆 C2
4、：x2y22xya0 相交于 A，B 两点若圆 C1 上存在点 P，使得ABP 为等腰直角三角形，则实数 a 的值组成的集合为_14.已知函数 f(x)|x1|1|，x0，xx1，xb0)的焦距为 4，两条准线间的距离为 8，A，B 分别为椭圆 E 的左、右顶点(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)已知图中四边形 ABCD 是矩形，且 BC4，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，AM 与BN 相交于第一象限内的点 P.若 M，N 分别是 BC，CD 的中点，求证：点 P 在椭圆 E 上；若点 P 在椭圆 E 上，求证：BMCN为定值，并求出该定值18.(本小题满分 16 分)在平面内，将一个图
5、形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为 a 的正三角形 ABC 绕其中心 O逆时针旋转 到三角形 A1B1C1，且(0，23)顺次连结 A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标 AA1BB1CC1.(1)当 6 时，求六边形徽标的面积；(2)求六边形徽标的周长的最大值19.(本小题满分 16 分)已知数列an满足：a11，且当 n2 时，anan11（1）n2(R)(1)若 1，求证：数列a2n1是等差数列；(2)若 2.设 bna2n23，求数列bn的通项公式；设 Cn 1n3n求证：对于任意的 p，mN*，当
6、pm 时，都有 CpCm.20.(本小题满分 16 分)设函数 f(x)(ax1xa)ex(aR)，其中 e 为自然对数的底数(1)当 a0 时，求函数 f(x)的单调减区间；(2)已知函数 f(x)的导函数 f(x)有三个零点 x1，x2，x3(x1x2x3)求实数 a 的取值范围；若 m1，m2(m1m2)是函数 f(x)的两个零点，求证：x1m1BC，所以 BA，所以 A(0，2)，所以 cos A 1sin2A1（3 1516）21116.(8 分)所以 sin Csin (AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B3 1516(14)1116 154 158.(10
7、 分)由正弦定理，得 ABsin C ACsin B，所以 ABACsin Csin B4 1581542.(12 分)所以BA BC|BA|BC|cos B23(14)32.(14 分)17.(1)解：设椭圆 E 的焦距为 2c，则由题意，得2c4，2a2c 8，解得c2，a28.所以 b2a2c24.所以椭圆 E 的标准方程为x28 y24 1.(3 分)(2)证明：由已知，得 M(2 2，2)，N(0，4)，A(2 2，0)，B(2 2，0)直线 AM 的方程为 y 24(x2 2)，直线 BN 的方程为 y 2x4.联立y 24（x2 2），y 2x4，解得x6 25，y85，即 P(
8、6 25，85)(6 分)因为（6 25）28（85）24 92516251，所以点 P 在椭圆 E 上(8 分)(解法 1)设 P(x0，y0)(x00，y00)，则x208 y204 1，y2012(8x20)直线 AP 的方程为 yy0 x02 2(x2 2)，令 x2 2，得 yM 4 2y0 x02 2.直线 BP 的方程为 yy0 x02 2(x2 2)，令 y4，得 xN2 24（x02 2）y0.(12 分)所以BMCN|yM|xN2 2|4 2y0 x02 2y04（x02 2）|2y20 x208|212（8x20）x208|22.(14 分)(解法 2)设直线 AP 的方
9、程为 yk1(x2 2)(k10)，令 x2 2，得 yM4 2k1.设直线 BP 的方程为 yk2(x2 2)(k20，y00)，则x208 y204 1，所以 k1k2 y00 x02 2 y00 x02 2 y20 x20812（8x20）x20812，所以BMCN 22.(14 分)18.解：连结 OA，OA1，OB，OB1，OC，OC1.在正三角形 ABC 中，AOB23，OA23 32 a 33 a，AOA1，A1OB23.(2 分)当正三角形 ABC 绕中心 O 逆时针旋转到正三角形 A1B1C1 位置时，有 OAOBOCOA1OB1OC1，AOA1BOB1COC1，A1OBB1
10、OCC1OA，所以AOA1BOB1COC1，A1OBB1OCC1OA，所以 AA1BB1CC1，A1BB1CC1A.(4 分)(1)当 6 时，设六边形徽标的面积为 S，则S3(SAOA1SA1OB)3(12OA1OAsin AOA112OA1OBsin A1OB)(6 分)3(12 33 a 33 asin 6 12 33 a 33 asin 2)34a2.答：当 6 时，六边形徽标的面积为34a2.(9 分)(2)设六边形徽标的周长为 l，则l3(AA1A1B)32OAsin 22OA1sin(3 2)(11 分)2 3a(12sin 2 32 cos 2)2 3asin(23)，(0，2
11、3)(13 分)所以当23 2，即 3 时，l 取最大值 2 3a.答：六边形徽标的周长的最大值为 2 3a.(16 分)19.(1)证明：1 时，由 a11，anan11（1）n2(n2)，得a2n1a2n1，a2na2n1，(2分)所以 a2n1a2n11，即 a2n1a2n11(常数)，所以数列a2n1是首项为 1，公差为 1 的等差数列(4 分)(2)解：2 时，a11，n2 时，an2an11（1）n2.n2 时，a2n2a2n1，a2n12a2n21，所以 a2n4a2n22，(6 分)所以 a2n234(a2n223)又 bna2n23，所以 bn4bn1.(8 分)又 b1a2
12、232a123830，所以 bnbn14(常数)所以数列bn是首项为83，公比为 4 的等比数列，所以数列bn的通项公式为 bn834n1234n(nN*)(10 分)证明：由知，a2nbn2323(4n1)，a2n112a2n13(4n1)所以所以 Cn 1n3n4（4n1）3n(nN*)(12 分)所以Cn1Cn43（4n11）（n1）（n1）3n143（4n1）nn3n（n3）4n16n214n12n（n1）3n2.(14 分)当 n1 时，C2C10，所以 C2C1；当 n2 时，C3C20，所以 C3C2；当 n3，Cn1Cn0，所以 Cn1Cn.所以若 pm(p，mN*)，则 Cp
13、Cm.(16 分)20.(1)解：a0 时，f(x)exx，其定义域为(，0)(0，)，f(x)（1x）exx2.令 f(x)1，所以函数 f(x)的单调减区间为(1，)(3 分)(2)解：f(x)（ax3x1）exx2，设 g(x)ax3x1，则导函数 f(x)有三个零点，即函数 g(x)有三个非零的零点又 g(x)3ax21，若 a0，则 g(x)3ax210.(5 分)令 g(x)0，x13a.列表如下：x(，13a)13a(13a，13a)13a(13a，)g(x)00g(x)极大值极小值所以g（13a）0，即a（13a）313a10，解得 0a0，所以 g(x)在(13a，13a)上
14、有且只有 1 个非零的零点因为当 0a 427时，2a13a，g(2a)a(2a)32a112a0，又函数 g(x)的图象是连续不间断的，所以 g(x)在(，13a)和(13a，)上各有且只有 1 个非零的零点所以实数 a 的取值范围是(0，427)(10 分)证明：(证法 1)由 f(m1)f(m2)0，得am21am110，am22am210.设 p(x)ax2ax1(a0)，且 p(m1)p(m2)0，所以 m1m21a0.因为 m1m2，所以 m10m2.所以当 xm2 时，p(x)0；当 m1xm2 时，p(x)0，x10 x20，p(x11)a(x11)2a(x11)11x210.
15、(14 分)所以 x1m1x11 成立(16 分)(证法 2)依题设 g(x1)ax31x110 知 ax21 1x110，由知 x10，设 h(x)ax21x1(x0，所以 h(x)2ax1x20，h(x)在(，0)上单调递减(12 分)又由 f(mi)0，emi0 得 ami 1mia0，即 am2iami10(i1，2)，所以 m1m21a0.又 m1m2，故 m10.于是()h(m1)am21 1m11(am11)1m11am1 1m10，即 h(m1)h(x1)0.又 m1，x10，所以 x10，即 h(m2)h(x1)0.又m2，x10，故m2x1.又 m1m21，所以 m11x1
16、，即 m1x11.所以 x1m1x11，得证(16 分)2020 届高三模拟考试试卷(南通、泰州)数学附加题参考答案及评分标准21.A.解：(1)因为向量 21是矩阵 A2a2b 的属于特征值 3 的一个特征向量，所以 A3，即2a2b 21321，所以4a6，4b3，解得a2，b1.所以 A2 221(5 分)(2)设 P(x0，y0)，则2 221 x0y022，所以2x02y02，2x0y02，解得x01，y00.所以点 P 的坐标为(1，0)(10 分)B.解：(解法 1)直线 l 的普通方程为 x2y3 20.(2 分)设 P(2cos，sin)，则点 P 到直线 l 的距离 d|2
17、cos 2sin 3 2|1222|2 2sin（4）3 2|5.(8 分)当 sin(4)1，即 2k4(kZ)时，dmax 10.(10 分)(解法 2)直线 l 的普通方程为 x2y3 20.椭圆 C 的普通方程为x24 y21.(4 分)设与直线 l 平行的直线方程为 x2ym0(m3 2)由x24 y21，x2ym0，消 y，得 2x22mxm240.令 4m28(m24)0，得 m2 2.(8 分)所以直线 x2y2 20 与椭圆 C 相切当 m2 2时，点 P 到直线 l 的距离 d 最大，dmax|3 2（2 2）|1222 10.(10 分)C.证明：(1)因为 a，b，c
18、都是正实数，所以1a1b1c331abc.因为1a1b1c1，所以 331abc1，即 abc27，得证(4 分)(2)因为 a，b，c 都是正实数，所以ba21b2ba21b2a，cb21c2cb21c2b，ac21a2ac21a2c.由，得ba2 cb2ac21b1c1a2(1a1b1c)，所以ba2 cb2ac21a1b1c.因为1a1b1c1，所以ba2 cb2 ac21，得证(10 分)22.解：在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，因为 AA1平面 ABCD，AB，AD平面 ABCD，所以 ABAA1，ADAA1.又 ABAD，以AB，AD，AA1 为正交基底，建立如图所示的空
19、间直角坐标系 Axyz.由 ABADAA12BC2，得 A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(0，2，0)，A1(0，0，2)，B1(2，0，2)，C1(2，1，2)，D1(0，2，2)(2 分)(1)B1D1(2，2，0)，B1C(0，1，2)，设平面 B1CD1 的一个法向量 n1(x1，y1，z1)，则n1B1D1 0，n1B1C 0，即2x12y10，y12z10.不妨取 x12，则 y12，z11，所以 n1(2，2，1)(4 分)因为 AB平面 B1C1C，所以平面 B1CC1 的一个法向量为AB(2，0，0)设二面角 C1B1CD1 的平面角的大小为，根据图形
20、可知cos cosAB，n1 AB n1|AB|n1|43223.(6 分)所以二面角 C1B1CD1 的余弦值为23.(2)设 AQ(02)，则 Q(，0，0)又点 P 为 AD 的中点，则 P(0，1，0)，PQ(，1，0)，B1Q(2，0，2)设平面 B1PQ 的一个法向量 n2(x2，y2，z2)，由n2PQ0，n2B1Q 0，得x2y20，（2）x22z20.取 x22，则 y22，z22，所以 n2(2，2，2)(8 分)设直线 B1C 与平面 B1PQ 所成角的大小为，则 sin|cosB1C，n2|B1C n2|B1C|n2|45442（2）2|4 515，所以 1 或 15(
21、舍去)所以 AQ1.(10 分)23.解：(1)当 n3 时，从装有 5 只小球的口袋中有放回地取球 6 次，共有 56 个基本事件记“恰好取到 3 次红球”为事件 A，事件 A 包含基本事件有 C3643 个因为上述 56 个基本事件发生的可能性相同，故 P(A)C364356 4455 2563 125.答：当 n3 时，恰好取到 3 次红球的概率为 2563 125.(3 分)(2)由题意知，随机变量 Y 的所有可能取值为 0，1，3，5，2n1(nN*)，则 P(Y2i1)C2i12n 42n（2i1）52n.(2i1)P(Y2i1)(2i1)C2i12n 42n（2i1）52n（2i
22、1）（2n）！（2i1）！（2n2i1）！42n（2i1）52n2nC2i2n142n（2i1）52n(0in1，iN)(5 分)所以 E(Y)0P(Y0)1P(Y1)3P(Y3)5P(Y5)(2n1)P(Y2n1)2n52n(C02n142n1C22n142n3C42n142n5C2n22n14)令 xnC02n142n1C22n142n3C42n142n5C2n22n14，ynC12n142n2C32n142n4C52n142n6C2n12n140，则 xnynC02n142n1C12n142n2C22n142n3C32n142n4C42n142n5C2n12n140(41)2n152n1，xnynC02n142n1C12n142n2C22n142n3C32n142n4C42n142n5C2n12n140(41)2n132n1，所以 xn52n132n12.所以 E(Y)2n52nxn2n52n52n132n12n（52n132n1）52n.答：Y 的数学期望为n（52n132n1）52n.(10 分)