1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第4课时 合情推理与演绎推理第3页返回导航 数学 1合情推理(1)归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理特点：是由到、由到的推理全部对象部分整体个别一般第4页返回导航 数学(2)类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有的推理特点：是由到的推理这些特征特殊特殊第5页返回导航 数学 2演绎推理(1)演绎推理从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎
2、推理简言之，演绎推理是由到的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式大前提已知的小前提所研究的结论根据一般原理，对做出的判断一般特殊一般原理特殊情况特殊情况第6页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)演绎推理的结论一定是正确的()第7页返回导航 数学(5)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()(
3、7)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(8)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 ann(nN*)()第8页返回导航 数学(9)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理()(10)由“半径为 R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为 R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理()第9页返回导航 数学 考点一 归纳推理命题点1.数的规律的归纳推理2.式子的规律的归纳推理3.图形规律的归纳推理第10页返回导航 数学 例 1(1)已知数列：11，21，12，31，
4、22，13，41，32，23，14，依它的前 10 项的规律推测这个数列的第 2 019 项是_第11页返回导航 数学 解析：这个数列的前 10 项按如下规则分组第一组：11；第二组：21，12；第三组：31，22，13；第四组：41，32，23，14；第 n 组：n1，n12，n23，nr1r，1n.由不等式nn122 019，即n(n1)4 038，得 n63(nN*)，且当 n63 时，nn122 016,2 0192 0163，即这个数列的第 2 019 项是上述分组中的第 64 组中的第三个数，即第 2 019 项是623.答案：623第12页返回导航 数学(2)(2016高考山东卷
5、)观察下列等式：sin 32sin 2324312；sin 52sin 252sin 352sin 4524323；sin 72sin 272sin 372sin 6724334；sin 92sin 292sin 392sin 8924345；第13页返回导航 数学 照此规律，sin 2n12sin 22n12sin 32n12sin 2n2n12_.第14页返回导航 数学 解析：根据已给出的等式归纳推理求解通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的43是个固定数，43后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中 的系数的一半，43后面第二个数是第一数的下一个自然数，所以，所求结果为43n
6、(n1)，即43n(n1)答案：43n(n1)第15页返回导航 数学(3)如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2.过点 A 作 BC的垂线，垂足为 A1；过点 A1 作 AC 的垂线，垂足为 A2；过点 A2作 A1C 的垂线，垂足为 A3；，依此类推设 BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则 a7_.第16页返回导航 数学 解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2，所以 ABACa12，AA1a2 2，A1A2a31，A5A6a7a122614.法二：求通项：等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC2 2，所以ABACa12，AA1a2
7、 2，An1Anan1sin4an 22 an222n，故 a7222614.答案：14第17页返回导航 数学 方法引航 解决归纳推理问题的关键是仔细研究给出的部分对象，通过观察出的规律，把问题转化为其他数学知识的问题进行解决.如解决含有递推关系式的归纳推理的问题，一般是先根据题中的递推关系式求出一些特殊对象，然后再根据这些特殊对象与序号之间的一一对应关系，观察出规律，最后根据规律即可得出一般性结论.归纳推理的一般步骤：1通过观察个别情况发现某些相同的性质；2从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想.第18页返回导航 数学 1对于数 25，规定第 1 次操作为 2353133，第 2
8、 次操作为 13333355，如此反复操作，则第 2 017 次操作后得到的数是()A25 B250C55 D133第19页返回导航 数学 解析：选 D.由题意知，第 3 次操作为 5353250，第 4 次操作为235303133，第 5 次操作为 55，.因此每次操作后的得数呈周期排列，且周期为 3，又 2 01767231，故第 2 017 次操作后得到的数是 133.第20页返回导航 数学 2观察下列不等式：(1)121；(2)12 16 2；(3)12 16 112 3.则第 5 个不等式为_第21页返回导航 数学 解析：(1)112 1；(2)112123 2；(3)1121231
9、34 3；根据以上规律，由归纳推理可得第 5 个不等式为112123134145156 5.答案：112123134145156 5第22页返回导航 数学 3仔细观察下面和的排列规律：若依此规律继续下去，得到一系列的和，那么在前 120 个和中，的个数是_第23页返回导航 数学 解析：进行分组|，则前 n 组两种圈的总数是 f(n)234(n1)nn32.易知 f(14)119，f(15)135，故 n14.答案：14第24页返回导航 数学 考点二 类比推理命题点1.代数结论的类比推理2.几何结论的类比推理3.运算方法的类比推理第25页返回导航 数学 例 2(1)已知数列an为等差数列，若 a
10、ma，anb(nm1，m，nN*)，则 amnnbmanm.类比等差数列an的上述结论，对于等比数列bn(bn0，nN*)，若 bmc，bnd(nm2，m，nN*)，则可以得到 bmn_.第26页返回导航 数学 解析：设数列an的公差为 d，数列bn的公比为 q.因为 ana1(n1)d，bnb1qn1，amnnbmanm，所以类比得 bmnnm dncm.答案：nm dncm第27页返回导航 数学(2)如图所示，在ABC 中，射影定理可表示为 abcos Cccos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对 边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想第28页返回导航 数学 解：如图
11、所示，四面体 P-ABC 中，设 S1，S2，S3，S 分别表示PAB，PBC，PCA，ABC 的面积，依次表示面 PAB，面 PBC，面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小，类比得：SS1cos S2cos S3cos.第29页返回导航 数学(3)在计算“1223n(n1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第 k 项：k(k1)13k(k1)(k2)(k1)k(k1)，由此得1213(123012)，2313(234123)，第30页返回导航 数学 n(n1)13n(n1)(n2)(n1)n(n1)累加，得 1223n(n1)13n(n1)(n2)类比上述方法，请你计算“12323
12、4n(n1)(n2)”，其结果为_第31页返回导航 数学 解析：类比已知条件得 k(k1)(k2)14k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，由此得 12314(12340123)，23414(23451234)，34514(34562345)，n(n1)(n2)14n(n1)(n2)(n3)(n1)n(n1)(n2)第32页返回导航 数学 以上几个式子相加得：123234n(n1)(n2)14n(n1)(n2)(n3)答案：14n(n1)(n2)(n3)第33页返回导航 数学 方法引航 1.类比推理的一般步骤(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另
13、一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)第34页返回导航 数学 2熟悉常见的类比对象(1)平面与空间的类比平面空间点线线面圆球三角形三棱锥角二面角面积体积周长表面积第35页返回导航 数学(2)等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列两项之和两项之积两项之差两项之比前 n 项之和前 n 项之积第36页返回导航 数学 1(2017陕西西安模拟)若等差数列an的首项为 a1，公差为 d，前 n 项的和为 Sn，则数列Snn 为等差数列，且通项为Snn a1(n1)d2.类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列bn的首项为 b1，公比为 q，前 n 项的积为 Tn，则数列_为等比数列，通项为
14、_第37页返回导航 数学 解析：因为在等差数列an中前 n 项的和为 Sn 的通项，且写成了Snna1(n1)d2，所以在等比数列bn中应研究前 n 项的积为 Tn 的开 n 次方的形式，等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，类比可得：数列n Tn为等比数列，通项为n Tnb1(q)n1.答案：n Tn n Tnb1(q)n1第38页返回导航 数学 2在平面几何中，ABC 的内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为AEEBACBC，把这个结论类比到空间：在三棱锥 A-BCD 中(如图所示)，平面 DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于点 E，则类比得到的结论是_第39页返回导航
15、 数学 解析：易知点 E 到平面 BCD 与平面 ACD 的距离相等，故VE-BCDVE-ACDBEEASBCDSACD.答案：BEEASBCDSACD第40页返回导航 数学 3(2017山西四校联考)已知 x(0，)，观察下列各式：x1x2，x4x2x2x24x23，x27x3x3x3x327x34，类比得 xaxnn1(nN*)，则 a_.第41页返回导航 数学 解析：第一个式子是 n1 的情况，此时 a111；第二个式子是n2 的情况，此时 a224；第三个式子是 n3 的情况，此时 a3327，归纳可知 ann.答案：nn第42页返回导航 数学 考点三 演绎推理命题点利用三段论进行推理
16、第43页返回导航 数学 例 3(1)(2017安徽合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确D全不正确第44页返回导航 数学 解析：因为 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确答案：C第45页返回导航 数学(2)已知函数 yf(x)满足：对任意 a，bR，ab 都有 af(a)bf(b)af(b)bf(a)，试证明：f(x)为 R 上的单调增函数第46页返回导航 数学 证明：设任意 x1，x2R，取 x1x2，则由题意得 x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x
17、2f(x1)，x1f(x1)f(x2)x2f(x2)f(x1)0，f(x2)f(x1)(x2x1)0，x1x2，f(x2)f(x1)0，即 f(x2)f(x1)yf(x)为 R 上的单调增函数第47页返回导航 数学 方法引航 若集合 M 的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的子集，那么 S 中所有元素都具有性质 P.或者 bc，而 ab，ac.第48页返回导航 数学 1已知ABC 中，A30，B60，求证：ab.证明：A30，B60，AB.ab，其中，画线部分是演绎推理的()A大前提B小前提C结论D三段论第49页返回导航 数学 解析：选 B.由三段论的组成可得画线部分为三段论的小前提2设 a
18、bc，求证：1ab 1bc 1ca0.第50页返回导航 数学 证明：abc，ab0，ca0，bc0 1ab 1ca caababcacbabca0又 1bc0，1ab 1bc 1ca0.第51页返回导航 数学 数学微博用演绎推理揭开“新定义、新信息”的面纱演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明或推导数学问题，对于新定义、新信息问题，常用演绎推理来解决，即把新定义、新信息作为大前提，结合题目中隐含的小前提来推出结论第52页返回导航 数学 典例 对于三次函数 f(x)ax3bx2cxd(a0)，给出定义：设 f(x)是函数 yf(x)的导数，f(x)是函数 f(x)的导数，若方程f(x)0 有
19、实数解 x0，则称点(x0，f(x0)为函数 yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心若三次函数 f(x)13x312x23x 512，请你根据这一发现，求：第53页返回导航 数学(1)函数 f(x)13x312x23x 512对称中心为_；(2)f 12 019 f 22 019 f 32 019 f 42 019 f 2 0182 019 _.分析 依据拐点或对称中心的意义，求导，求对称中心，依据对称中心的几何意义，写出一般关系式，并据此对所给式子进行组合，观察组合的组数，从而求值第54页返回导航 数学 解析
20、(1)f(x)x2x3，f(x)2x1，令 f(x)0，则 x12，f12 1，所以函数 f(x)13x312x23x 512的对称中心为12，1.(2)由(1)知，计算 f12x f12x 2f(x)f(1x)2f12 019 f2 0182 019 2，f22 019 f2 0172 019 2，所以 f12 019 f22 019 f32 019 f42 019 f2 0182 019 2 018.答案(1)12，1 (2)2 018第55页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考北京卷)某学校运动会的立定跳远和 30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段下表为10名学生的预赛成
21、绩，其中有三个数据模糊.学生序号12345678910立定跳远(单位：米)1.961.921.821.801.781.761.741.721.681.6030 秒跳绳(单位：次)63a75 60 63 72 70a1b65第56页返回导航 数学 在这 10 名学生中，进入立定跳远决赛的有 8 人，同时进入立定跳远决赛和 30 秒跳绳决赛的有 6 人，则()A2 号学生进入 30 秒跳绳决赛B5 号学生进入 30 秒跳绳决赛C8 号学生进入 30 秒跳绳决赛D9 号学生进入 30 秒跳绳决赛第57页返回导航 数学 解析：选 B.由数据可知，进入立定跳远决赛的 8 人为 18 号，所以进入 30
22、秒跳绳决赛的 6 人从 18 号里产生数据排序后可知 3号，6 号，7 号必定进入 30 秒跳绳决赛，则得分为 63，a,60,63，a1 的 5 人中有 3 人进入 30 秒跳绳决赛若 1 号，5 号学生未进入 30 秒跳绳决赛，则 4 号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以1 号，5 号学生必进入 30 秒跳绳决赛故选 B.第58页返回导航 数学 2(2015高考陕西卷)观察下列等式112121121314131411213141516141516据此规律，第 n 个等式可为_第59页返回导航 数学 解析：观察所给等式的左右可以归纳出第 n 个等式为 112131412n1 12n 1n1
23、1n2 12n.答案：112131412n1 12n 1n1 1n2 12n第60页返回导航 数学 3(2016高考全国甲卷)有三张卡片，分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是 2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是 1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是 5”，则甲的卡片上的数字是_第61页返回导航 数学 解析：为方便说明，不妨将分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3 的卡片记为 A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是 5，则丙只可能是卡片 A 或 B，无论是哪一张，均含有数字 1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是 1 可知，乙所拿的卡片必然是 C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是 2，知甲所拿的卡片为 B，此时丙所拿的卡片为 A.答案：1和3第62页返回导航 数学 4(2014高考课标卷)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市；乙说：我没去过 C 城市；丙说：我们三人去过同一城市由此可判断乙去过的城市为_第63页返回导航 数学 解析：由丙可知，乙至少去过一个城市由甲可知，甲去过 A，C且比乙多，且乙没有去过 C 城市，故乙只去过 A 城市答案：A第64页返回导航 数学 课时规范训练