1、知识点最新考纲函数及其表示 了解函数、映射的概念 了解函数的定义域、值域及三种表示法(解析法、图象法和列表法) 了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.函数的基本性质 理解函数的单调性、奇偶性，会判断函数的单调性、奇偶性 理解函数的最大(小)值的含义，会求简单函数的最大(小)值.指数函数 了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算 理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.对数函数 理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式 理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.幂函数 了解幂函数的概念 掌握幂函数yx，yx2，yx3，y，yx的图象和性质.函数与方程了解函数零点
2、的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.函数模型及其应用 了解指数函数、对数函数以及幂函数的变化特征 能将一些简单的实际问题转化为相应的函数问题，并给予解决.第1讲函数及其表示1函数的概念(1)函数的定义A，B是两个非空数集对于A中任意一元素x，B中都有唯一确定的元素y与之对应(2)定义域：x的取值范围A.(3)值域：函数值的集合2函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域显然，值域是集合B的子集(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系(3)
3、函数的表示法表示函数的常用方法：解析法、图象法和列表法3分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数特别提醒1判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致2直线xa(a是常数)与函数yf(x)的图象有0个或1个交点常见误区1函数定义域是研究函数的基础依据，必须坚持定义域优先的原则，明确自变量的取值范围2分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f(x)x22x与g(t)t22t是相等函数()(2)若两个函数的定义域与值
4、域相同，则这两个函数是相等函数()(3)函数f(x)的图象与直线x1最多有一个交点()(4)分段函数是由两个或几个函数组成的()答案：(1)(2)(3)(4)诊断自测1已知函数f(x)，则函数f(x)的定义域为()A(，3)B(，2)(2，3C(，2)(2，3) D(3，)解析：选C要使函数有意义，则即即x3且x2，即函数f(x)的定义域为(，2)(2，3)，故选C2下列图形中可以表示为以Mx|0x1为定义域，以Ny|0y1为值域的函数的是()解析：选CA项，函数定义域为M，但值域不是N；B项，函数定义域不是M，值域为N；D项，集合M中存在x与集合N中的两个y对应，不能构成函数关系故选C项3已
5、知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是_(填序号)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：对于，因为当x4时，y4Q，所以不是函数答案：4已知f()x1，则f(x)_解析：令t，则t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0) 函数的定义域(自主练透)1函数f(x)ln(2xx2)的定义域为()A(2，)B(1，2)C(0，2) D1，2解析：选B要使函数有意义，则解得1x0，所以x，所以1，所以a2.4若函数f(x)的定义域为一切实数，则实数m的取值范围是_解析：由题意可得mx2mx10对xR恒成立当m0时
6、，10恒成立；当m0时，则解得0m4.综上可得0m4.答案：0，4求函数定义域的两种方法方法解读适合题型直接法构造使解析式有意义的不等式(组)求解已知函数的具体表达式，求f(x)的定义域转移法若yf(x)的定义域为(a，b)，则解不等式ag(x)1)，即f(x)的解析式是f(x)lg(x1)(2)(待定系数法)设f(x)ax2bxc(a0)，又f(0)c3，所以f(x)ax2bx3，所以f(x2)f(x)a(x2)2b(x2)3(ax2bx3)4ax4a2b4x2.所以所以所以函数f(x)的解析式为f(x)x2x3.(3)(解方程组法)因为2f(x)f(x)2x，将x换成x得2f(x)f(x)
7、2x，由消去f(x)，得3f(x)6x，所以f(x)2x.【答案】(1)f(x)lg(x1)(2)f(x)x2x3(3)f(x)2x求函数解析式的4种方法 1(一题多解)已知二次函数f(2x1)4x26x5，则f(x)_解析：方法一(换元法)：令2x1t(tR)，则x，所以f(t)465t25t9(tR)，所以f(x)x25x9(xR)方法二(配凑法)：因为f(2x1)4x26x5(2x1)210x4(2x1)25(2x1)9，所以f(x)x25x9(xR)方法三(待定系数法)：因为f(x)是二次函数，所以设f(x)ax2bxc(a0)，则f(2x1)a(2x1)2b(2x1)c4ax2(4a
8、2b)xabc.因为f(2x1)4x26x5，所以解得所以f(x)x25x9(xR)答案：x25x9(xR)2设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实数根，且f(x)2x2；求f(x)的解析式解：设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb2x2，所以a1，b2，所以f(x)x22xc.又因为方程f(x)0有两个相等的实数根，所以44c0，解得c1，故f(x)x22x1.分段函数(多维探究)角度一求分段函数的函数值 已知a0且a1，函数f(x)若f(0)f(2)0，则a_，f(f()_【解析】易知f(0)1.因为f(0)f(2)0，所以f(2)1，即loga21，得a2.所以
9、函数f(x)所以flog21，ff(1).【答案】2分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时，应由内到外依次求值(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验 角度二分段函数与方程、不等式问题 (1)(一题多解)设f(x)若f(a)f(a1)，则f()A2 B4C6 D8(2)已知函数f(x)则f(x)0，则|log2x|，解得x2或x2.故所求x的集合为.答案：3已知函数f(x)若af(a)f(a)0，则实数a的取值范围为_解析：当a0时，不等式a
10、f(a)f(a)0可化为a2a3a0，解得a2.当a0可化为a22a0，解得a2f()，则称函数f(x)具有H性质，则下列函数不具有H性质的是()Af(x)()x Bf(x)ln xCf(x)x2(x0) Df(x)tan x(0x)解析：选B若对定义域内任意的x1，x2(x1x2)，均有f(x1)f(x2)2f，则点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)连线的中点在点的上方，示意图如图所示.根据基本初等函数f(x)，f(x)ln x，f(x)x2(x0)，f(x)tan x的图象可知，函数f(x)，f(x)x2(x0)，f(x)tan x具有H性质，函数f(x)ln x不具有H性质，故选B2若函数f(x)同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”：(1)xR，都有f(x)f(x)0；(2)x1，x2R，且x1x2，都有0.f(x)sin x；f(x)2x3；f(x)1x.以上三个函数中，_是“优美函数”(填序号)解析：由条件(1)，得f(x)是R上的奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的单调递减函数对于，f(x)sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于，f(x)2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于，f(x)1x不是奇函数，故不是“优美函数”答案：