1、知识点最新考纲变化率与导数、导数的计算 了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义 会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(axb)的导数).导数在研究函数中的应用 了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间 理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.第1讲变化率与导数、导数的计算1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0).(2)导数的几何意义函
2、数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)相应地，切线方程为yy0f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数称函数f(x)为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ*)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(x0，a0且a1)f(x)f(x)ln x(x0)f(x)3.导数的运算法则(1)f(
3、x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)4复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积常用结论1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.(f(x)0)3曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点4函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f
4、(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(5)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x()答案：(1)(2)(3)(4)(5)诊断自测1函数y的导函数为_解析：y.答案：y2设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f_解析：因为f(x)fsin xcos x，所以f(x)fcos xsin x，所以ffcossin
5、，即f1，所以f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.故fcossin.答案：3已知函数f(x)sin，则f(x)_解析：f(x)sincos2cos.答案：2cos导数的计算(自主练透)1已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)3x22xf(2)，则f(5)()A2B4C6D8解析：选C.由已知得，f(x)6x2f(2)，令x2，得f(2)12.再令x5，得f(5)652f(2)30246.2(2020高考全国卷)设函数f(x).若f(1)，则a_解析：由于f(x)，故f(1)，解得a1.答案：13求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y；(3)yexln
6、x；(4)y(1sin x)2.解：(1)ynxn1exxnexxn1ex(nx)(2)y.(3)yexln xexex.(4)y2(1sin x)(1sin x)2(1sin x)cos x. 提醒求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量导数的几何意义(多维探究)角度一求切线方程 (1)曲线yx2在点(1，2)处的切线方程为_(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为_【解析】(1)因为y2x
7、，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y|x1211，所以切线方程为y2x1，即yx1.(2)因为点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，所以设切点为(x0，y0)又因为f(x)1ln x，所以解得x01，y00.所以切点为(1，0)，所以f(1)1ln 11.所以直线l的方程为yx1.【答案】(1)yx1(2)yx1角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标 若曲线yex上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_【解析】设P(x0，y0)，因为yex，所以yex，所以点P处的切线斜率为kex02，所以x0ln 2，所以x0ln 2，所以y0eln 22，所以点P的坐标为(ln 2，
8、2)【答案】(ln 2，2)角度三已知切线方程(或斜率)求参数值 (1)(2020宁波调研)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab的值等于()A2B1C1D2(2)若直线yax是曲线y2ln x1的一条切线，则实数a_【解析】(1)依题意知，y3x2a，则由此解得所以2ab1，选C.(2)依题意，设直线yax与曲线y2ln x1的切点的横坐标为x0，则有y|xx0，于是有解得x0，a2e.【答案】(1)C(2)2e(1)求曲线切线方程的步骤求出函数yf(x)在点xx0处的导数，即曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处切线的斜率；由点斜式方程求得切线方程为yf(x0)f(
9、x0)(xx0)(2)求曲线的切线方程需注意两点当曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为xx0；当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解 1(2020杭州七校联考)曲线yex在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A.e2B4e2C2e2De2解析：选D.因为yex，所以ke4e2，所以切线方程为ye2e2(x4)，令x0，得ye2，令y0，得x2，所以所求面积为S2|e2|e2.2已知函数f(x)(x2ax1)ex(其中e是自然对数的底数，aR)，若f(x)在(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直，则a_解析：f(x)(
10、x2ax1)ex(x2ax1)(ex)(2xa)ex(x2ax1)exx2(a2)x(a1)ex，故f(0)02(a2)0(a1)e0a1.因为f(x)在(0，f(0)处的切线与直线xy10垂直，故f(0)1，即a11，解得a2.答案：23(2020台州高三月考)已知曲线f(x)xn1(nN*)与直线x1交于点P，设曲线yf(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2 018x1log2 018x2log2 018x2 017的值为_解析：f(x)(n1)xn，kf(1)n1，点P(1，1)处的切线方程为y1(n1)(x1)，令y0，得x1，即xn.所以x1x2x2 017.则lo
11、g2 018x1log2 018x2log2 018x2 017log2 018(x1x2x2 017)log2 0181.答案：1两条曲线的公切线(师生共研) 若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b_【解析】设ykxb与yln x2和yln(x1)的切点分别为(x1，ln x12)和(x2，ln(x21)则切线分别为yln x12(xx1)，yln(x21)(xx2)，化简得yxln x11，yxln(x21)，依题意解得x1，从而bln x111ln 2.【答案】1ln 2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关
12、系式求解(2)利用公切线得出关系式设公切线l在yf(x)上的切点P1(x1，y1)，在yg(x)上的切点P2(x2，y2)，则f(x1)g(x2).1已知函数f(x)x24x4，g(x)x1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()A三条B二条C一条D0条解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m)，(n，g(n)，f(x)2x4，g(x)x2，g(n)f(m)，解得m2，代入化简得8n38n210，构造函数f(x)8x38x21，f(x)8x(3x2)，原函数在(，0)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，极大值f(0)0，极小值f0，故函数和x轴有3个交点，方程8n38n210有三个解，故切线有3条故选A.2曲线f(x)ex在x0处的切线与曲线g(x)ax2a(a0)相切，则过切点且与该切线垂直的直线方程为_解析：曲线f(x)在x0处的切线方程为yx1.设其与曲线g(x)ax2a相切于点(x0，axa)则g(x0)2ax01，且axax01.解得x01，a，切点坐标为(1，0)所以过切点且与该切线垂直的直线方程为y1(x1)，即xy10.答案：xy10