1、单元素养评价(三)(第三章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分，共40分)1若点P到点F(4，0)的距离比它到直线x50的距离小1，则P点的轨迹方程是()Ay216x By232xCy216x Dy232【解析】选C.因为点P到点(4，0)的距离比它到直线x50的距离小1，所以将直线x50右移1个单位，得直线x40，即x4，易知点P到直线x4的距离等于它到点(4，0)的距离根据抛物线的定义，可知P的轨迹是以点(4，0)为焦点，以直线x4为准线的抛物线设抛物线的方程为y22px(p0)，可得4，得2p16，所以抛物线的标准方程为y216x，即P点的轨迹方程为y216x.2(2020合肥
2、高二检测)双曲线4x2y2640上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于()A17 B15 C9 D7【解析】选A.因为4x2y2640，所以1，所以双曲线上一点P到两个焦点距离之差的绝对值为2816，因为点P到双曲线的一个焦点的距离等于1，所以点P到另一个焦点的距离等于17.3(2020北京高二检测)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为2，且短轴长为2，则C的标准方程为()Ay21 B1C1 D1【解析】选B.由题意可得解得a2，b，因为椭圆C的焦点在x
3、轴上，所以C的标准方程为1.4已知F是抛物线yx2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是()Ax22y1 Bx22yCx2y Dx22y2【解析】选A.设P(x0，y0)，PF的中点为(x，y)，则y0x，又F(0，1)，所以所以代入y0x得2y1(2x)2，化简得x22y1.5已知双曲线C：1的上、下焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C上，若14，则()A38 B24 C38或10 D24或4【解析】选B.由题意可得a5，b12，c13，因为14b0)，B(0，b)为上顶点，F(c，0)为右焦点，设D(x，y)，由2，得(c，b)2(xc，y)，即解得所以D.因为点D在椭圆
4、上，所以1，解得a23c2，即e2，所以e.7(2020全国卷)设O为坐标原点，直线xa与双曲线C：1的两条渐近线分别交于D，E两点若ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A4 B8 C16 D32【命题意图】本题考查双曲线的焦距、双曲线渐近线、基本不等式等知识，意在考查学生的运算求解能力【解析】选B. 双曲线C：1的两条渐近线方程为yx，将xa与双曲线渐近线方程联立，令D和E坐标分别为D(a，b)，E(a，b)，所以ODE的面积为ab8，所以c2a2b22ab16，当且仅当ab2时，等号成立，所以c4，则焦距2c的最小值为8.8已知点E是抛物线C：y22px(p0)的对称轴与准线的交点，
5、点F为抛物线C的焦点，点P在抛物线C上，在EFP中，若sin EFPsin FEP，则的最大值为()A B C D【解析】选C.过P(x轴上方)作准线的垂线，垂足为H，则由抛物线的定义可得|PF|PH|，由sin EFPsin FEP，则在PFE中由正弦定理可知：|PE|PF|，所以|PE|PH|，设PE的倾斜角为，则cos ，当取得最大值时，cos 最小，此时直线PE与抛物线相切，设直线PE的方程为xty，则联立直线与抛物线即y22ptyp20，所以4p2t24p20，所以t1，即tan 1，则cos ，则的最大值为.二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选
6、错的得0分)9若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程可以为()A1 B1C1 D1【解析】选BD.2c6，所以c3，2a2b18，a2b2c2，所以所以椭圆方程为1或1.10在平面直角坐标系xOy中，动点P到两个定点F1(1，0)和F2(1，0)的斜率之积等于8，记点P的轨迹为曲线E，则()A曲线E经过坐标原点B曲线E关于x轴对称C曲线E关于y轴对称D若点(x，y)在曲线E上，则1x1【解析】选BC.设P，则kPF1kPF28，则x21(y0).故轨迹为焦点在x轴上的双曲线去除顶点故曲线E不经过原点，A错误；曲线E关于x轴对称，关于y轴对称，BC正确；若点(x
7、，y)在曲线E上，则1x或xn0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B若mn0，则C是圆，其半径为C若mn0，则C是两条直线【命题意图】本题考查椭圆、双曲线和圆的方程，考查分类讨论思想，体现了数学抽象和逻辑推理等核心素养【解析】选ACD. 因为mn0，则0，所以1表示焦点在y轴上的椭圆，故A项正确；当mn0时，x2y2表示半径为的圆，故B项错误；当mn0时，由y2，得y，所以曲线表示两条直线，故D项正确三、填空题(每小题5分，共20分)13(2020北京高考)已知双曲线C：1，则C的右焦点的坐标为_；C的焦点到其渐近线的距离是_【解析】在双曲线C中，a，b，则c3，则双曲线C的右焦点坐标为，双曲线C的
8、渐近线方程为yx，即xy0，所以双曲线C的焦点到其渐近线的距离为.答案：14已知抛物线的方程为y22px(p0)，O为坐标原点，A，B为抛物线上的点，若OAB为等边三角形，且面积为48，则p的值为_【解析】设B(x1，y1)，A(x2，y2)，因为|OB|OA|，所以xyxy.又y2px1，y2px2，所以xx2p(x2x1)0，即(x2x1)(x1x22p)0.又x1，x2与p同号，所以x1x22p0.所以x2x10，即x1x2.根据抛物线对称性可知点B，A关于x轴对称，由OAB为等边三角形，不妨设直线OB的方程为yx，由，解得B(6p，2p)，所以4p.因为OAB的面积为48，所以(4p)
9、248，解得p24，所以p2.答案：215设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为_.【解析】设椭圆的方程为1(ab0)，F2的坐标为(c，0)，P点坐标为(不妨取第一象限内点P)，由题意知|PF2|F1F2|，所以2c，a2c22ac，210，解得1，负值舍去，所以e1.答案：116设双曲线1的右顶点为A，右焦点为F.过点F且与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点B，则AFB的面积为_【解析】根据题意，得a29，b216，所以c5，且A(3，0)，F(5，0).因为双曲线1的渐近线方程为yx.所以直线BF
10、的方程为y(x5).若直线BF的方程为y(x5)，与渐近线yx交于点B，此时SAFB|AF|yB|2；若直线BF的方程为y(x5)，与渐近线yx交于点B.此时SAFB|AF|yB|2.因此，AFB的面积为.答案：四、解答题(共70分)17(10分)给定抛物线C：y24x，F是抛物线C的焦点，过F的直线l与C相交于A，B两点若|FA|2|BF|，求直线l的方程【解析】显然直线l的斜率存在，故可设直线l：yk(x1)，联立消去y得k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，故x1，又|FA|2|BF|，所以2，则x112(1x2)由得x2(x21舍去)，所以B
11、，得直线l的斜率为kkBF2，所以直线l的方程为y2(x1).18(12分)(2020天津高考)已知椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程【解析】(1)因为椭圆1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，所以b3，由|OA|OF|，得cb3，又由a2b2c2，得a2323218，所以椭圆的方程为1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以CPAB，根据题意可知，直线AB和直线CP的斜率均存在，设直线
12、AB的斜率为k，则直线AB的方程为y3kx，即ykx3，联立得方程组消去y，可得(2k21)x212kx0，解得x0或x.将x代入ykx3，得yk3，所以，点B的坐标为，因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)，所以点P的坐标为，由3，得点C的坐标为(1，0)，所以，直线CP的斜率为kCP，又因为CPAB，所以k1，整理得2k23k10，解得k或k1.所以，直线AB的方程为yx3或yx3.19(12分)椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，焦距为2.一双曲线和该椭圆有公共焦点，且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4，双曲线离心率与椭圆离心率之比为73，求椭圆和双曲线的方程【解析】焦点在x轴上
13、，设椭圆方程为1(ab0)，且c.设双曲线为1(m0，n0)，ma4.因为，所以，解得a7，m3.因为椭圆和双曲线的半焦距为，所以b236，n24.所以椭圆方程为1，双曲线方程为1.焦点在y轴上，椭圆方程为1，双曲线方程为1.20(12分)已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0).(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程【解析】(1)由题设知解得a2，b，c1，所以椭圆的方程为1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，所以圆心到直线l的距离
14、d，由d1得|m|.(*)所以|CD|22.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2mxm230，由根与系数的关系可得x1x2m，x1x2m23.所以|AB|.由，得1，解得m，满足(*).所以直线l的方程为yx或yx.21(12分)已知抛物线C：y22px的焦点为F.(1)过点F且斜率为的直线交抛物线C于P，Q两点，若|PQ|，求抛物线C的方程(2)过点F的直线交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线xp相交于M，N两点，试判断ABO与MNO的面积之比是否为定值，并说明理由【解析】(1)设直线PQ的倾斜角为，由题意得tan ，60，由抛物线的焦点弦公式得|PQ|p2，所以C的方
15、程为y24x.(2)ABO与MNO的面积之比为，理由如下：设AB的方程为xty，代入y22px得y22ptyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2p2，x1x2.因为AOBMON，所以.22(12分)(2020全国卷)已知椭圆1(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、右顶点(1)求C的方程；(2)若点P在C上，点Q在直线x6上，且，BPBQ，求APQ的面积【解析】(1)因为C：1(0m5)，所以a5，bm，根据离心率e，解得m或m(舍)，所以C的方程为：1，即1.(2)不妨设P，Q在x轴上方，因为点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP|BQ|，BPBQ，过点P作x轴垂线，交
16、点为M，设x6与x轴交点为N，根据题意画出图形，如图因为|BP|BQ|，BPBQ，PMBQNB90，又因为PBMQBN90，BQNQBN90，所以PBMBQN，所以PMBBNQ，因为1，所以B(5，0)，所以651，设P点为(xP，yP)，可得P点纵坐标为yP1，将其代入1，可得1，解得：xP3或xP3，所以P点为(3，1)或(3，1)，当P点为(3，1)时，故532，因为PMBBNQ，所以|MB|NQ|2，可得：Q点为(6，2)，画出图象，如图因为A(5，0)，Q(6，2)，可求得直线AQ的直线方程为：2x11y100，根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离为：d，根据两点间距离公式可得：5，所以APQ面积为：5；当P点为(3，1)时，故538，因为PMBBNQ，所以|MB|NQ|8，可得：Q点为(6，8)，画出图象，如图因为A(5，0)，Q(6，8)，可求得直线AQ的直线方程为：8x11y400，根据点到直线的距离公式可得P到直线AQ的距离为：d，根据两点间距离公式可得：，所以APQ面积为：，综上所述，APQ面积为.