1、2005年高考数学总复习之十三复数的概念与运算教学目标1理解复数及有关的概念2掌握复数的代数、几何、三角表示法，特别是将一个复数的代数形式转换成三角形式要求熟练、准确3熟练掌握复数代数形式、三角形式的运算法则，并能用运算法则对复数的加、减、乘、除、乘方及开方进行混合运算重点难点重点是复数三角形式表示法及复数的运算法则难点是复数与实数的区别和联系教学过程复数是在实数的基础上，根据客观需要而建立的实数扩充到复数后，把实数与数轴上点的一一对应关系扩充到复数与复平面上的点及从原点出发的向量的一一对应关系，从而使复数有了三种表示法，使复数与三角，复数与几何建立了密切的关系复习复数这一章，要透彻理解复数的
2、概念，明确复数与实数的区别和联系；复数是研究数的，因此准确地对复数进行运算是非常重要的一、复数概念的要点分析1虚数单位i(1)定义i2=-1，所以-1的平方根为i(2)i的幂具有周期性：i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i其中nZ(3)i可以和实数进行四则运算，并适合交换律、结合律、分配律例1 计算：1+i+i2+i3+i55分析一 把上式看成一个等比数列56项的和，利用等比数列的求和公式，得分析二 因为i+i2+i3+i4=0，把1看成i56，原式共56项，所以原式=0例2 计算：ii2i3i99解法一 原式=i1+2+3+99=i9950=(i50)99=(i2)
3、99=-1解法二 因为ii2i3i4=-1，所以原式=ii2i3i99i100=-12复数的三种表示法(1)复数的代数形式：z=a+bi(a，bR)z是纯虚数的充分必要条件是b0且a=0，此时z=bi(bR且b0)；(2)复数的几何形式：复数z=a+bi(a，bR)与复平面上的点Z(a，(3)复数的三角形式：z=r(cos+i sin)(r0)模可以理解为平面上两点间的距离而实数的绝对值是数轴上的点与原点的距离，所以复数的模是实数绝对值概念的扩充是Z点所在的象限当0，2)时，叫复数z的辐角的主值非零复数的辐角主值惟一；而z=0的辐角为任意实数，其主值为0，2)中任意一个把一个复数的代数形式迅速
4、、准确地化为三角形式是复数中非常重要的内容这个转化的关键是角的选取，而角选取的关键是Z点所在的象限复数z1=r1(cos +i sin)(r10)，z2=r2(cos +i sin)(r20)，则z1=z2的充分必要条件是：r1=r2且arg z1=arg z2；或r1=r2且=2k+(kZ)z=1，z=-1，z=i，z=-i的三角形式要熟记(1)若zR，求m的取值范围；(2)若z是纯虚数，求m的取值范围；(3)若z在复平面上对应的点在第三象限求m的取值范围；(4)若z=-2，求m的取值范围例4 判断下列命题的对错(1)若zC，且|z|1，则z-1，1；(2)若zC，且|z-1|2=(z-1)
5、2；分析 (1)错当且仅当zR时成立；(2)错当且仅当(z-1)R时成立，即zR时成立；R时，命题正确同理，若z1，z2，z3C，(z1-z2)2+(z2-z3)2+(z3-z1)2=0的充分必要条件是z1=z2=z3也是错的当且仅当aR时，a20恒成立这是复数与实数的一个重要区别再看下面的例子设xC，解方程x2+|x|=0分析 若xR，因为x20，|x|0，所以x=0若xC，显然这一解法就不完善因此在解题时，要充分考虑复数的特点1，因此x=0，i例5 把下列复数化为三角形式：(4)4i-5；(5)1+cos-i sin (，2)；(6)a+bi(a0，b0)分析 把一个复数化为三角形式，最易
6、出错的是辐角的选取，因此在操作前，首先要确定复数在复平面上点的位置(1)复数在复平面上位于第二象限(5)因为(，2)，所以1+cos-i sin在复平面上位于第一以上作法是将一个复数化成三角形式的一般方法，但是可以看出，这种作法在取辐角时，涉及了三角公式及角的范围，需要认真判定为了避免上述问题，还经常直接应用三角变形1+cos-i sin(6)复数位于复平面上第二象限从以上复习可以看出：(1)熟练掌握三角公式是正确得出复数三角形式的关键(2)复数的三角形式具有“形式”的要求，即r0，是一个辐角，余弦在前，正号连接3共轭复数4两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小这是复数与实数的重要区别
7、因此不等式的性质仅限于实数集内成立(1)若z1，z2C，则它们之间仅有z1=z2或z1z2一种关系成立(2)用“”或“”号连接的式子一定都是实数式若z=a+bi0，则a0且b=0例6 判断对错(1)若z1，z2C，且z1z2，则z1-z20；(2)若z1，z2C，且z1-z20，则z1z2；(3)若ab，则a+ib+i分析 (1)正确，因为z1z2，所以z1，z2R；(2)错z1-z20，z1，z2都可以是虚数，如z1=3+i，z2=1+i，但z1，z2不能比大小；(3)错因为ab，所以aR，bR，所以a+i与b+i都是虚数，不能比大小解法一 设z=x+yi(x，yR)，则x+yi+2(x2-
8、y2-2xyi)0，所以解法二 设z=cos+i sin，则cos+isin+2(cos2isin2)0，二、复数的运算1复数代数形式的运算加减法：按合并同类项法则进行乘法：按二项式相乘法则进行乘方：用二项式定理展开计算除法：分母实数化即分子、分母同乘以分母的共轭虚数，根据开方：一般只限于开平方应记忆下面的内容：(1i)2=2i，所以2i的平方根为(1+i)，-2i的平方根为(1-i)(x+yi)2=x2-y2+2xyi例8 求5-12i的平方根解 设5-12i的平方根是x+yi(x，yR)，则所以5-12i的平方根是(3-2i)评述 对辐角不是特殊角的复数，开平方设复数的代数形式为好2复数三
9、角形式的运算乘法：r1(cos +isin )r2(cos +i sin )=r1r2cos(+)+i sin(+)i sin互为倒数乘方：r(cos+i sin)n=rn(cos n+i sin n)(nN)这是著名的棣莫佛定理，要求会用数学归纳法证明它用来计算复数的高次方必须变成cos-i sin后才能应用棣莫佛定理；对(-1+i)8可以用三角形式计算，也可用(-1+i)2=-2i来计算分析 涉及到复数的乘方，应该用三角形式计算n为6开方：当n2时，复数开n次方都要用复数的三角形式r(cos(n-1)即有n个不同的复数根此公式的推导必须掌握(过程略)例11 解方程(x-1)4=(1+i)4
10、分析 令x-1=z，则z4=(1+i)4=-4，即求-4的四次方根，所以z应得四个不同的复数解 因为(x-1)4=-4=4(cos+i sin)，所以当k=0时，x=2+i；k=1时，x=i；k=2时，x=-i；k=3时，x=2-i还可以采用下面的解法：因为(x-1)2=(1+i)2或(x-1)2=-(1+i)2，所以x-1=1+i或x-1=-(1+i)或x-1=i(1+i)或x-1=-i(1+i)，即x1=2+i，x2=-i，x3=i，x4=2-i三、综合题分析解 设z=x+yi(x，yR)，则所以z=-4+i或z=-3轨迹方程分析一 求复平面上点的轨迹问题与解析几何求轨迹问题的思路相同设w
11、=x+yi(x，yR)，因为|z|=3，所以设z=3(cos+i sin)代入 点的轨迹方程也可以得出P点的参数方程解法一 设w=x+yi(x，yR)，z=3(cos+i sin)，所以解法二 设w=x+yi(x，yR)，z=x0+y0i(x0，y0R)，则评述 解决复数问题的基本思想是通过复数的代数形式、三角形式转化为实数的问题但是何时选择代数形式，何时选择三角形式要把握好，这对计算有很大的影响如例10，没有给出z的模和辐角，所以选择代数形式好；对例11，给出|z|=3，所以可以选择三角形式，这样z只有一个参数因此给出复数的模时，可以考虑复数的三角形式，但这并不绝对复习时，要注意这一内容的把
12、握(aR)，若zu是纯虚数，求arg u的最大值解 zu=(1-cos+isin)(a2+ai)=a2(1-cos)-asin+ia2sin+a(1-cos)，由zu是纯虚数，得设为u的一个辐角， 这个问题的几何解释是：0)，如图1显然M点对应的复数1-i的幅角主值最大，所以(arg u)max=(1)求|u|的最大值或最小值，及取得最大值或最小值时的z的值；(2)求u的辐角和辐角主值分析 题目给出|z|及arg z，故z设三角形式为好解 设z=cos+i sin，u=1+z+z2=(1+cos+cos 2)+i(sin+sin 2)=(cos+2cos2)+i(sin+2sincos)=(2
13、cos+1)(cos+i sin)(1)|u|=|2cos+1|因为arg z(0，)，所以2cos+1(-1，3)，故|u|无最大值(kZ)；(kZ)；的最大值以及对应的值(1999年全国高考试题)y是关于角的函数，根据三角知识，应该求y的一个三角函数的最大能力训练1若z1，z2C，给出若|z1|=|z2|，则z1=z2；若z12-z220，|z2|+|z2|2 其中正确的只有 A B C D2给出下列命题：两个共轭复数的和为实数，积为非负实数；一个复数与它的共轭复数互为倒数的充要条件是它的模为1；一个复数与其共轭复数相等的充要条件是实数；一个复数与它的共轭复数之和为零的充要条件是它为纯虚数
14、或零其中所有正确的命题是 A B C D其中正确的命题只有 A B C D都不对A320 B230 C50 D40D不存在6把下列复数化成三角形式：(1)-2(-sin15+i cos75)； (2)-2(sin10-i cos190)；(3)4-12i；7计算：比较大小？若能比较，写出比较的结果，若不能比较，说明理由(1)求z，并把z化成三角形式；求|z2|及arg z2(1)若=55+3i，求|z|；12求同时满足下列两个条件的所有复数z：(2)z的实部和虚部都是整数自然数n及此时z的立方根arg 的范围(1)若u是纯虚数，求m及z的辐角的范围；(2)若m是常数，当z的辐角变化时，求|u|
15、的最值 答案提示 1C2A3D4B5C(2)2(cos 260+i sin 260)(4)-sec cos(-)+i sin(-)(2)128+128Iz2的代数式比大小)无解11=(4x2+8x-5)+(3x-6)i取a=1，b=3；取a=3，b=1，所以z=13i，3Ix、y不存在，所以虚数z不存在16设z=cos+i sin代入u，得u=(1+3m)cos 2+i(1+m)sin 2(kZ)时u是纯虚数；设计说明1复数概念部分：这部分的特点是内容多，但很零碎，看似简单，实际上非常容易出问题因此复习时，要舍得花时间，务求细致，多作小题，概念要一次复习清楚，给后面的复习打下基础2“能准确地算出结果”是复数运算复习的目的要破除“知道了运算法则可以不作”的观点，复习时要边讲边练，要让学生实践，使运算法则真正得到落实