1、课时限时检测(十五)导数的应用(二)(时间：60分钟满分：80分)命题报告考查知识点及角度题号及难度基础中档稍难用导数证明不等式2,7,10用导数判断方程解的个数14,6生活中的优化问题5,11综合应用3,8912一、选择题(每小题5分，共30分)1若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A2m2B2m2Cm2或m2 Dm2或m2【解析】y3(1x)(1x)，由y0，得x1，y极大2，y极小2，2m2.【答案】A2在R上可导的函数f(x)的图象如图2121所示，则关于x的不等式xf(x)0的解集为()图2121A(，1)(0,1)B(1,0)(1，)C(2，1)(
2、1,2)D(，2)(2，)【解析】(1)当x(，1)和x(1，)时，f(x)是增函数，f(x)0，由xf(x)0，得x0，xf(x)0的范围是(，1)(2)当1x1时，f(x)递减，f(x)0.由xf(x)0，得x0，0x1.故xf(x)0的解集为(，1)(0,1)【答案】A3函数f(x)ex(sin xcos x) 在区间上的值域为()A. B.C1，e D(1，e)【解析】f(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x，当0x时，f(x)0，f(x)是上的增函数f(x)的最大值为fe，f(x)的最小值为f(0).f(x)的值域为.【答案】A4(2014大连模
3、拟)函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)【解析】由已知，f(x)(2x4)f(x)20，g(x)f(x)(2x4)单调递增，又g(1)0，f(x)2x4的解集是(1，)【答案】B图21225如图2122，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为S(t)(S(0)0)，则导函数yS(t)的图象大致为()【解析】由导数的定义知，S(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率如图，正五角星薄片中首先露出水面的是区域，此时其面积S(t)在逐渐增大
4、，且增长速度越来越快，故其瞬时变化率S(t)也应逐渐增大；当露出的是区域时，此时的S(t)应突然增大，然后增长速度减慢，但仍为增函数，故其瞬时变化率S(t)也随之突然变大，再逐渐变小，但S(t)0(故可排除B)；当五角星薄片全部露出水面后，S(t)的值不再变化，故其导数值S(t)最终应等于0，符合上述特征的只有选项A.【答案】A6(2012湖南高考)设定义在R上的函数f(x)是最小正周期为2的偶函数，f(x)是f(x)的导函数，当x0，时，0f(x)0.则函数yf(x)sin x在2，2上的零点个数为()A2 B4C5 D8【解析】f(x)0，当x0，f(x)在上是增函数当0x时，f(x)0，
5、f(x)在上是减函数设x2，则02x.由f(x)是以2为最小正周期的偶函数知f(2x)f(x)故x2时，0f(x)1.依题意作出草图可知，y1f(x)与y2sin x在2，2上有四个交点【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)7若f(x)xsin xcos x，则f(3)，f，f(2)的大小关系为_【解析】由f(x)f(x)知，函数f(x)为偶函数，因此f(3)f(3)又f(x)sin xxcos xsin xxcos x，当x时，f(x)0，x时，f(x)0，f(x)在区间上是减函数，ff(2)f(3)f(3)【答案】f(3)f(2)f8(2014海淀模拟)若函数f(x)满足：“对于区间
6、(1,2)上的任意实数x1，x2(x1x2)，|f(x2)f(x1)|x2x1|恒成立”，则称f(x)为完美函数，给出以下四个函数f(x)；f(x)|x|；f(x)x；f(x)x2.其中是完美函数的序号是_【解析】由|f(x2)f(x1)|x2x1|知1，即|f(x)|1.经验证：符合题意【答案】9已知函数f(x)x2mxln x是单调递增函数，则m的取值范围是_【解析】依题意知，x0，f(x)，令g(x)2x2mx1，x(0，)，当0时，g(0)10恒成立，m0成立，当0时，则m280，2m0，综上，m的取值范围是m|m2【答案】m|m2三、解答题(本大题共3小题，共35分)10(10分)已
7、知定义在区间2，t(t2)上的函数f(x)(x23x3)ex.(1)当t1时，求函数yf(x)的单调区间；(2)设mf(2)，nf(t)，试证明mn.【解】(1)f(x)(2x3)exex(x23x3)exx(x1)由于t1，故当x(2,0)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(1，t)时，f(x)0，f(x)单调递增综上，函数yf(x)的单调递增区间为(2,0)，(1，t)；单调递减区间为(0,1)(2)mf(2)13e2，nf(t)(t23t3)et，设h(t)nm(t23t3)et13e2，h(t)(2t3)etet(t23t3)ett(
8、t1)(t2)h(t)，h(t)随t的变化情况如下表：t(2,0)0(0,1)1(1，)h(t)00h(t)极大值极小值由上表可知h(t)的极小值为h(1)e0，又h(2)0，所以当t2时，h(t)h(2)0，即h(t)0，因此，nm0，即mn.11(12分)(2014成都模拟)成都市“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k(k0)现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之
9、和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值【解】(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y(0x36)(2)因为a1，所以，y，yk，令y0，得x，当x时，函数单调递减；当x时，函数单调递增当x时，函数取得最小值又此时x6，解得b25，经验证符合题意所以，污染源B的污染强度b的值为25.12(13分)(2014保定模拟)设f(x)xln x，g(x)x3x23.(1)当a2时，求曲线yf(x)在x1处的切线的方程；(2)如果存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，求
10、满足上述条件的最大整数M；(3)如果对任意的s，t，都有f(s)g(t)成立，求实数a的取值范围【解】(1)当a2时，f(x)xln x，f(x)ln x1，f(1)2，f(1)1，所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为yx3.(2)存在x1，x20,2，使得g(x1)g(x2)M成立，等价于：g(x1)g(x2)maxM，考察g(x)x3x23，g(x)3x22x3x.x02g(x)0g(x)3递减极(最)小值递增1由上表可知：g(x)ming，g(x)maxg(2)1，g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min，所以满足条件的最大整数M4；(3)当x时，f(x)xln x1恒成立等价于axx2ln x恒成立，记h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，h(1)0.记m(x)12xln xx，m(x)32ln x，由于x，m(x)32ln x0，所以m(x)h(x)12xln xx在上递减，当x时，h(x)0，x(1,2时，h(x)0，即函数h(x)xx2ln x在区间上递增，在区间(1,2上递减，所以h(x)maxh(1)1，所以a1.