1、山东省青岛市胶州市实验中学2019-2020学年第二学期高一数学期中模拟检测（二）一、单选题1. 已知复数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析】利用复数的乘法和除法法则可计算出结果.【详解】，则，因此，.故选：B.【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数的乘法和除法法则的应用，考查计算能力，属于基础题.2. 若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简得，再根据同角三角函数关系得，最后结合诱导公式以及正弦倍角公式求得求即可.【详解】因为，所以又，即则故选：D.【点睛】该题考查的是有关三角恒等变换的问题，涉及到的知识点有诱导公式化简求值和同
2、角三角函数关系求值，以及正弦倍角公式，属于基础题目.3. 为非零向量,且,则( )A. ,且与方向相同B. 是共线向量C. D. 无论什么关系均可【答案】A【解析】【分析】根据向量模长的三角不等式判断即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则有,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边有.当同向时有.故选：A【点睛】本题主要考查了对向量加法的模长理解,属于基础题型.4. 如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【详解】由题意，灯泡不亮包括四个开关都开，后下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 这三种情
3、况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的， 所以灯泡不亮的概率为， 所以灯泡亮的概率为，故选D5. 如图中，平分线交ABC的外接圆于点，设，则向量（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据中，的边角关系，结合圆的性质，得到四边形为菱形，所以【详解】解：设圆的半径为，在中，所以，平分线交的外接圆于点，所以，则根据圆的性质，又因为在中，所以四边形为菱形，所以故选C【点睛】本题考查了向量平行四边形法则，共线向量基本定理，圆的性质等知识，考查分析解决问题的能力和计算能力属于中档题6. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，给出下列关于的结论：它的图象关于直线对称；它的最小正
4、周期为它的图象关于点对称；它在上单调递增.其中所有正确结论的编号是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象.令，求得，不是最值，故的图象不关于直线对称，故不正确；它的最小正周期为，故正确；当时，故的图象关于点对称，故正确；在上，没有单调性，故错误，故选：B.【点睛】本小题主要考查三角函数图象变换，考查三角函数的对称性、周期性和单调性，属于基础题.7. 如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给
5、出下列4个结论深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海.其中正确结论的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】根据图表逐项判定即可【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论都正确，结论错误.故选.【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题8. 甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完若
6、三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，然后求出每一种分法的个数，再求出符合“最佳手气”的个数，再利用古典概型的概率公式求解即可【详解】6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为故选：D【点睛】此题考查古典概型的概率公式的应用，属于基础题二、多选题9. 已知函数（其中，的部分图
7、象，则下列结论正确的是（ ）A. 函数的图象关于直线对称B. 函数的图象关于点对称C. 函数在区间上单调增D. 函数与的图象的所有交点的横坐标之和为【答案】BCD【解析】【分析】根据图像求出函数的解析式，再求出它的对称轴和对称中心，以及单调区间，即可判断.【详解】由函数（其中，）的图像可得：，因此,所以，过点，因此，又，所以，当时，故错；当时，故正确；当，所以上单调递增，故正确；当时，所以与函数有的交点的横坐标为 ，故正确.故选：.【点睛】本题主要考查的是三角函数图像的应用，正弦函数的性质的应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是中档题.10. （多选）下列叙述中错误的是( )A. 若，则B.
8、 若，则与的方向相同或相反C. 若，则D. 对任一向量，是一个单位向量【答案】ABCD【解析】【分析】本题利用向量平行的定义、零向量的方向以及单位向量的定义即可求解.【详解】对于A，向量不能比较大小，A错误；对于B，零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；对于C，若为零向量，与可能不是共线向量，故C错误；对于D，当时，无意义，故D错误.故选：ABCD【点睛】本题考查向量的相关定义，考查了概念的理解，属于简单题.11. 在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ）A. 成绩在分
9、的考生人数最多B. 不及格的考生人数为1000C. 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D. 考生竞赛成绩的中位数为75分【答案】ABC【解析】【分析】根据频率分布直方图计算可得.【详解】解：由频率分布直方图可得，成绩在内的频率最高，因此考生人数最多，故正确；由频率分布直方图可得，成绩在的频率为0.25，因此，不及格的人数为，故正确；由频率分布直方图可得，平均分为，故正确；因为成绩在内的频率为0.45，的频率为0.3，所以中位数为，故错误，故选：.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，属于基础题.12. （多选题）如图，设的内角，所对的边分别为，且若点是外一点，下列说法中，正确的命题是（ ）A.
10、 的内角B. 的内角C. 四边形面积的最大值为D. 四边形面积无最大值【答案】ABC【解析】【分析】先根据正弦定理化简条件得，再结合得，最后根据三角形面积公式表示四边形面积，利用余弦定理以及辅助角公式化为基本三角函数形式，根据三角函数性质求最值.【详解】,因此A,B正确；四边形面积等于因此C正确，D错误，故选：ABC【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式、三角形面积公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.三、填空题13. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|xy|的值为_【答案】4【解析】【分析】利
11、用平均数、方差的概念列出关于的方程组，解方程即可得到答案【详解】由题意可得：，设，则，解得，故答案为4【点睛】本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，属于基础题14. 已知，则与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律及平面向量数量积的定义式计算可得；【详解】解：根据已知条件，去括号得：，所以，故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的定义及运算律，属于基础题.15. 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_.【答案】【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数
12、学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率 16. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为_【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【详解】因为，结合正弦定理可得，可得，因为，结合余弦定理，可得，所以为锐
13、角，且，从而求得，所以的面积为，故答案是.【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住、等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.四、解答题17. 已知复数w满足为虚数单位，求z；若中的z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值及方程的另一个根【答案】（1）（2），【解析】【分析】利用复数运算计算出w，代入z即可得出把代入关于x的方程，利用复数相等解出p，q，即可得出【详解】 ，是关于x的方程的一个根，q为实数，解得，解方程，得实数，方程的另一个
14、根为【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18. 已知函数.（1）若，求的值.（2）在中，角的对边分别是，且满足，求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先进行三角恒等变形，使化为的形式，求出的值，再利用与的关系进行求值；（2）先利用余弦定理求出角,化简，利用的范围进行求解.【详解】（1）由可得：.（2）由余弦定理得：，整理可得：，又，则，即的取值范围为.【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数和解三角形知识的综合应用问题，涉及到三角函数关系式的化简、边角关系式的化简、三角函数值的求解与诱导公式的应用、正弦型函数值域的求解等知识，是对于
15、三角函数部分知识的综合考查，属于常考题型.19. 已知的面积为，且且.(1)求角的大小；(2)设为的中点，且，的平分线交于，求线段的长度.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据已知条件求出角的正切值，再结合角的范围即可求解；（2）先根据条件求出，；再借助于面积之间的关系求出，之间的比例关系，结合题中条件即可求解【详解】（1），又，即，又，.（2）如下图所示：在中，为中线，.由（1）知：，又， ，由余弦定理可得：，又，又，在中，有： ，所以.【点睛】本题考查向量的数量积的应用、正余弦定理的应用，考查函数与方程思想、数形结合思想，考查运算求解能力，属于中档题20. 某校100名学生期中
16、考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在50,90)之外的人数.分数段50,60)60,70)70,80)80,90)xy11213445【答案】（1）（2） (分)（3）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质列方程即可得到的值；（2）由平均数加权公式可得平均数，计算出结果即可；（3）按表中所给的数据分别计算出数
17、学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在之外的人数【详解】解(1)由频率分布直方图知(2a0.020.030.04)101，解得a0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为550.00510650.0410750.0310850.0210950.0051073(分)(3)由频率分布直方图知语文成绩在50,60)，60,70)，70,80)，80,90)各分数段的人数依次为0.005101005,0.041010040,0.031010030,0.021010020.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为.故数学成绩在50,
18、90)之外的人数为100(5204025)10.【点睛】本题考查频率分布直方图及计算，解题关键是认真识图，不遗漏条件，属于基础题.21. 如图所示，在中，点D为边上一点，且， E为的中点，.（1）求的长；（2）求的面积.【答案】（1）2；（2）【解析】【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可得的值（2）由（1）知，依题意得，在中，由余弦定理解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解【详解】（1）在中，由正弦定理知，得.（2）由（1）知，依题意得，在中，由余弦定理得，即，解得，（负值舍去）， ，从而.【点睛】本题主要考查了同角三
19、角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22. 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10，15）15，20）20，25）25，30）
20、30，35）35，40）天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间20，25）和最高气温低于20的天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率（2）当温度大于等于25时，需求量为500，求出Y900元；当温度在20，25）时，需求量为300，求出Y300元；当
21、温度低于20时，需求量为200，求出Y100元，从而当温度大于等于20时，Y0，由此能估计估计Y大于零的概率【详解】解：（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，得到最高气温位于区间20，25）和最高气温低于20的天数为2+16+3654，根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶，如果最高气温位于区间20，25），需求量为300瓶，如果最高气温低于20，需求量为200瓶，六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率p（2）当温度大于等于25时，需求量为500，Y4502900元，当温度在20，25）时，需求量为300，Y3002（450300）2300元，当温度低于20时，需求量为200，Y400（450200）2100元，当温度大于等于20时，Y0，由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于20的天数有：90（2+16）72，估计Y大于零的概率P【点睛】本题考查概率的求法，考查利润的所有可能取值的求法，考查函数、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题