1、第5讲 二次函数与幂函数A级基础练1已知函数f(x)x24xa，x0，1，若f(x)有最小值2，则a的值为()A1B0C1D2解析：选D函数f(x)x24xa的对称轴为直线x2，开口向下，f(x)x24xa在0，1上单调递增，则当x0时，f(x)的最小值为f(0)a2.2设函数f(x)x，若f(a)f(b)，则()Aa2b2 Ba2b2 Cab解析：选A函数f(x)x(x2)，令tx2，易知yt，在第一象限为单调递增函数又f(a)f(b)，所以a2b2.故选A3一次函数yaxb与二次函数yax2bxc在同一直角坐标系中的图象大致是()解析：选C若a0，则一次函数yaxb为增函数，二次函数yax
2、2bxc的图象开口向上，故可排除A；若a0，b0，从而f(1)，则()Aa0，4ab0Ba0，2ab0 Daf(1)，f(4)f(1)，所以f(x)先减后增，于是a0，故选A5若函数yx23x4的定义域为0，m，值域为，则m的取值范围是()A0，4 BC D解析：选D二次函数图象的对称轴为x，且f，f(3)f(0)4，结合函数图象(如图所示)可得m.6已知函数f(x)(m2m1)xm22m3是幂函数，且在x(0，)上递减，则实数m_解析：根据幂函数的定义和性质，得m2m11.解得m2或m1，当m2时，f(x)x3在(0，)上是减函数，符合题意；当m1时，f(x)x01在(0，)上不是减函数，所
3、以m2.答案：27已知二次函数的图象与x轴只有一个交点，对称轴为x3，与y轴交于点(0，3)，则它的解析式为_解析：由题意知，可设二次函数的解析式为ya(x3)2，又图象与y轴交于点(0，3)，所以39a，即a.所以y(x3)2x22x3.答案：yx22x38已知二次函数f(x)满足f(2x)f(2x)，且f(x)在0，2上是增函数，若f(a)f(0)，则实数a的取值范围是_解析：由f(2x)f(2x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x2，又函数f(x)在0，2上单调递增，所以由f(a)f(0)可得0a4.答案：0，49已知函数f(x)x2(2a1)x3.(1)当a2，x2，3时，求函数f(x
4、)的值域；(2)若函数f(x)在1，3上的最大值为1，求实数a的值解：(1)当a2时，f(x)x23x3，x2，3，对称轴x2，3，所以f(x)minf3，f(x)maxf(3)15，所以函数f(x)的值域为.(2)对称轴为x.当1，即a时，f(x)maxf(3)6a3，所以6a31，即a满足题意；当1，即a2xm恒成立；即x23x1m在区间1，1上恒成立所以令g(x)x23x1，因为g(x)在1，1上的最小值为g(1)1，所以m1.故实数m的取值范围为(，1)B级综合练11若函数f(x)x2axb在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则Mm()A与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C
5、与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关解析：选Bf(x)b，当01时，f(x)minmfb，f(x)maxMmaxf(0)，f(1)maxb，1ab，所以Mmmax与a有关，与b无关；当0时，f(x)在0，1上单调递增，所以Mmf(1)f(0)1a与a有关，与b无关；当1时，f(x)在0，1上单调递减，所以Mmf(0)f(1)1a与a有关，与b无关综上所述，Mm与a有关，但与b无关故选B12已知函数f(x)2ax2ax1(a0)，若x1f(x2)Cf(x1)f(x2) D与x的值无关解析：选C由题知二次函数f(x)的图象开口向下，图象的对称轴为x，因为x1x20，所以直线xx1，xx2关于
6、直线x0对称，由x1x2，结合二次函数的图象可知f(x1)f(x2)13定义：如果在函数yf(x)定义域内的给定区间a，b上存在x0(ax0b)，满足f(x0)，则称函数yf(x)是a，b上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，如yx4是1，1上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，则实数m的取值范围是_解析：因为函数f(x)x2mx1是1，1上的平均值函数，设x0为均值点，所以mf(x0)，即关于x0的方程xmx01m在(1，1)内有实数根，解方程得x01或x0m1.所以必有1m11，即0m2，所以实数m的取值范围是(0，2)答案：(0，2)14已
7、知幂函数f(x)(m1)2xm24m3(mR)在(0，)上单调递增(1)求m的值及f(x)的解析式；(2)若函数g(x)2ax1a在0，2上的最大值为3，求实数a的值解：(1)幂函数f(x)(m1)2xm24m3(mR)在(0，)上单调递增，故解得m0，故f(x)x3.(2)由f(x)x3，得g(x)2ax1ax22ax1a，函数图象为开口方向向下的抛物线，对称轴为xa.因为在0，2上的最大值为3，所以当a2时，g(x)在0，2上单调递增，故g(x)maxg(2)3a33，解得a2.当a0时，g(x)在0，2上单调递减，故g(x)maxg(0)1a3，解得a2.当0a1)(1)若函数f(x)的
8、定义域和值域均为1，a，求实数a的值；(2)若f(x)在区间(，2上是减函数，且对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，求实数a的取值范围解：(1)因为f(x)x22ax5在(，a上为减函数，所以f(x)x22ax5(a1)在1，a上单调递减，即f(x)maxf(1)a，f(x)minf(a)1，所以a2或a2(舍去)即实数a的值为2.(2)因为f(x)在(，2上是减函数，所以a2.所以f(x)在1，a上单调递减，在a，a1上单调递增，又函数f(x)的对称轴为直线xa，所以f(x)minf(a)5a2，f(x)maxmaxf(1)，f(a1)，又f(1)f(a1)62a(6a2)a(a2)0，所以f(x)maxf(1)62a.因为对任意的x1，x21，a1，总有|f(x1)f(x2)|4，所以f(x)maxf(x)min4，即62a(5a2)4，解得1a3.又a2，所以2a3.即实数a的取值范围为2a3.