1、第七节正弦定理和余弦定理考情展望1.利用正、余弦定理实现边、角的转化，从而解三角形或判断三角形的形状.2.利用正、余弦定理求三角形(或多边形)的面积.3.与平面向量、三角恒等变换等知识相融合，考查学生灵活运用知识的能力一、正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2Ra2b2c22bccos_A，b2c2a22cacos_B，c2a2b22abcos C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；abcsin_Asin_Bsin_C；.cos A；cos B；cos C.解决问题已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.已知三边，求
2、各角；已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解由上表可知，当A为锐角时，absin A，无解当A为钝角或直角时，ab，无解二、三角形常用面积公式1Saha(ha表示边a上的高)；2Sabsin Cacsin Bbcsin A.3Sr(abc)(r为内切圆半径)三角形中的常用结论(1)ABC，.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)在ABC中，tan Atan Btan Ctan Atan Btan C(
3、A、B、C)1在ABC中，a15，b10，A60，则cos B()A. B. C D【解析】由正弦定理，得sin B.ab，A60，B60，cos B.【答案】A2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解 B两解C一解 D解的个数不确定【解析】bsin A24sin 451218，bsin Aab，故此三角形有两解【答案】B3已知ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c.若ac，且A75，则b()A2 B42C42 D.【解析】在ABC中，易知B30，由余弦定理b2a2c22accos 304.b2.【答案】A4ABC中，B120，AC7，AB5，则ABC的面积为_【解析
4、】由余弦定理知AC2AB2BC22ABBCcos 120，即4925BC25BC，解得BC3.故SABCABBCsin 12053.【答案】5(2013湖南高考)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin Bb，则角A等于()A. B. C. D.【解析】在ABC中，a2Rsin A，b2Rsin B(R为ABC的外接圆半径)2asin Bb，2sin Asin Bsin B.sin A.又ABC为锐角三角形，A.【答案】D6(2013陕西高考)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形 B直角三
5、角形C钝角三角形 D不确定【解析】bcos Cccos Bbcaasin A，sin A1.A(0，)，A，即ABC是直角三角形【答案】B考向一 065利用正、余弦定理解三角形(2014临沂模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin Aacos B.(1)求角B的大小；(2)若b3，sin C2sin A，求a，c的值【思路点拨】(1)利用正弦定理把边转化为对角的正弦求解(2)利用正弦定理把角的正弦转化为边的关系，借助余弦定理求解【尝试解答】(1)由bsin Aacos B及正弦定理，得sin Bcos B.所以tan B，所以B.(2)由sin C2sin A及，得c
6、2a.由b3及余弦定理b2a2c22accos B，得9a2c2ac.所以a，c2. 规律方法11.正、余弦定理可以处理四大类解三角形问题，其中已知两边及其一边的对角，既可以用正弦定理求解也可以用余弦定理求解.2.利用正、余弦定理解三角形其关键是运用两个定理实现边角互化，从而达到知三求三的目的.对点训练(1)ABC中，若b1，c，C，则a的值()A. B. C. D1(2)已知ABC中，sin Asin Bsin C324，则cos C等于()A. B C. D(3)(2014南昌模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30 B
7、60 C120 D150【解析】(1)法一c2a2b22abcos C，()2a212acos，a2a20，(a2)(a1)0，a1.法二由正弦定理得sin B.bc，BC，B.又ABC，ABC，ab1.(2)由sin Asin Bsin C324可知abc324，设a3x，b2x，c4x，则cos C.(3)由sin C2sin B可知c2b.又a2b2bc，ab.cos A.A30.【答案】(1)D(2)B(3)A考向二 066利用正弦、余弦定理判断三角形的形状(2014吉林模拟)在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB
8、)，试判断该三角形的形状【思路点拨】求解本题可采用两种思路，一是化边为角，二是化角为边【尝试解答】法一(化边为角)：(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2sin Acos B.由正弦定理得2sin2Acos Asin B2sin2Bsin Acos B，即sin 2Asin Asin Bsin 2Bsin Asin B.0A，0B，sin 2Asin 2B，2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC是等腰三角形或直角三角形法二(化角为边)：同法一可得2a2cos Asin B2b2c
9、os Bsin A，由正弦、余弦定理得a2bb2aa2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0.ab或c2a2b2，ABC为等腰三角形或直角三角形规律方法2判定三角形形状的两种常用途径(1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断.【提醒】在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件.另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响.对点训练在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc
10、)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状【解】(1)由已知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理，a2b2c22bccos A，bc2bc cos A，cos A.又0A，A.(2)由(1)知sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，sin2A(sin Bsin C)2sin Bsin C.又sin Bsin C1，且sin A，sin Bsin C，因此sin Bsin C.又B、C(0，)，故BC.所以ABC是等腰的钝角三角形考向三 067与三角形面积有关的问题(2013浙江高考
11、)在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且2asin Bb.(1)求角A的大小；(2)若a6，bc8，求ABC的面积【思路点拨】(1)利用已知条件和正弦定理可求出sin A，进而求出A；(2)利用余弦定理求出bc，再用面积公式求面积【尝试解答】(1)由2asin Bb及正弦定理， 得sin A.因为A是锐角，所以A.(2)由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c2bc36.又bc8，所以bc.由三角形面积公式Sbcsin A，得ABC的面积为.规律方法31.本例(2)在求解中通过,“b2c2bc(bc)23bc”实现了“bc”与“bc”间的互化关系.2.在涉及到三角形面积
12、时，常常借助余弦定理实现“和与积”的互化.对点训练(2013湖北高考)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值【解】(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0.解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由Sbcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理，得sin Bsin Csin Asin Asin
13、2A.规范解答之六正、余弦定理在解三角形中的巧用1个示范例 1个规范练(12分)(2013课标全国卷)如图371，在ABC中，ABC90，AB，BC1，P为ABC内一点，BPC90.图371(1)若PB，求PA；(2)若APB150，求tanPBA.【规范解答】(1)由已知得PBC60，所以PBA30.2分在PBA中，由余弦定理得PA232cos 30.4分故PA.6分(2)设PBA，由已知得PBsin .7分在PBA中，由正弦定理得 ，9分化简得cos 4sin ，11分所以tan ，即tanPBA.12分【名师寄语】(1)熟练掌握正、余弦定理的使用条件及可解三角形的范畴是解答此类问题的关键.(2)学会用“执果索因”的方式把待求的边(角)化归到一个三角形中，应用两定理求解.如图372，在ABC中，已知B45，D是BC边上的一点，AD10，AC14，DC6，求AB的长图372【解】在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得cosADC，ADC120，ADB60.在ABD中，AD10，B45，ADB60，由正弦定理得，AB5.
