1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第4课时 数列求和第3页返回导航 数学 1公式法与分组求和法(1)公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和等差数列的前 n 项和公式：Snna1an2 na1nn1d2第4页返回导航 数学 等比数列的前 n 项和公式：Snna1，q1，a1anq1q a11qn1q，q1.第5页返回导航 数学(2)分组求和法若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减第6页返回导航 数学 2倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法如果一个数列an的
2、前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的同一个常数第7页返回导航 数学(2)并项求和法在一个数列的前 n 项和中，可求解，则称之为并项求和形如 an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解例如，Sn10029929829722212(1002992)(982972)(2212)(10099)(9897)(21)5 050.两两结合第8页返回导航 数学 3裂项相消法(1)把数列的通项拆成，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和(2)常见的裂项技巧1nn11n 1n1.1nn2121n 1n
3、2.两项之差第9页返回导航 数学 12n12n11212n112n1.1n n1 n1 n.第10页返回导航 数学 4错位相减法如果一个数列的各项是由一个和一个的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和公式就是用此法推导的等差数列等比数列第11页返回导航 数学 考点一 分组转化法求和命题点1.分组、拆、拼、转化为常数列或等差数列求和2.转化为等比数列求和第12页返回导航 数学 例 1(1)已知函数 f(n)n2当n为奇数时，n2当n为偶数时，且 anf(n)f(n1)，则 a1a2a3a100 等于()A0 B100C100 D10 200第13页返
4、回导航 数学 解析：由题意，得 a1a2a3a1001222223232424252992100210021012(12)(32)(99100)(101100)(1299100)(23100101)1101100.故选 B.答案：B第14页返回导航 数学(2)数列an满足 an1(1)nan2n1，则an的前 60 项和为_第15页返回导航 数学 解析：利用数列的递推式的意义结合等差数列求和公式求解an1(1)nan2n1，a21a1，a32a1，a47a1，a5a1，a69a1，a72a1，a815a1，a9a1，a1017a1，a112a1，a1223a1，a57a1，a58113a1，a
5、592a1，a60119a1，a1a2a60(a1a2a3a4)(a5a6a7a8)(a57a58a59a60)102642234151023421 830.答案：1 830第16页返回导航 数学 方法引航 分组转化法求和的常见类型(1)若 anbncn，且bn，cn为等差或等比数列，可采用分组转化法求an的前 n 项和(2)通项公式为 anbn，n为奇数，cn，n为偶数的数列，其中数列bn，cn是等比或等差数列，可采用分组转化法求和第17页返回导航 数学 1数列32，94，258，6516，的前 n 项和 Sn 为_第18页返回导航 数学 解析：32112，94214，258 318，651
6、64 116，Sn3294258 6516n 12n(123n)12 122 123 12nnn1212112n112nn121 12n.第19页返回导航 数学 答案：nn121 12n第20页返回导航 数学 2数列an的通项公式为 an(1)n1(4n3)，则它的前 100 项之和 S100 等于()A200 B200C400 D400第21页返回导航 数学 解析：选 B.S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34)(99100)4(50)200.第22页返回导航 数学 考点二 错位相减法求和命题点对于“anbn”型的数列求和第23页返回导航 数学 例 2(1)已知
7、数列an的前 n 项和为 Sn 且 ann2n，则 Sn_.第24页返回导航 数学 解析：ann2nSn121222323(n1)2n1n2n2Sn122223324(n1)2nn2n1得Sn222232nn2n1212n12n2n12n12n2n1Sn(n1)2n12.答案：(n1)2n12第25页返回导航 数学(2)(2016高考山东卷)已知数列an的前 n 项和 Sn3n28n，bn是等差数列，且 anbnbn1.求数列bn的通项公式；令 cnan1n1bn2n，求数列cn的前 n 项和 Tn.第26页返回导航 数学 解：由题意知当 n2 时，anSnSn16n5，当 n1 时，a1S1
8、11，所以 an6n5.设数列bn的公差为 d.由a1b1b2，a2b2b3，即112b1d，172b13d，解得 b14，d3.所以 bn3n1.第27页返回导航 数学 由知 cn6n6n13n3n 3(n1)2n1.又 Tnc1c2cn，得 Tn3222323(n1)2n1，2Tn3223324(n1)2n2，两式作差，得Tn322223242n1(n1)2n2第28页返回导航 数学 34412n12 n12n23n2n2，所以 Tn3n2n2.第29页返回导航 数学 方法引航 错位相减法求和的具体步骤 步骤 1：写出 Snc1c2cn；步骤 2：等式两边同乘以等比数列的公比 q，即 qS
9、nqc1qc2qcn；步骤 3：两式错位相减转化成等比数列求和；步骤 4：两边同除以 1q，求出 Sn.同时注意对 q 是否为 1 进行讨论.第30页返回导航 数学 设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等比数列bn的公比为 q.已知 b1a1，b22，qd，S10100.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)当 d1 时，记 cnanbn，求数列cn的前 n 项和 Tn.第31页返回导航 数学 解：(1)由题意有10a145d100，a1d2，即2a19d20，a1d2，解得a11，d2或a19，d29.故an2n1，bn2n1或an192n79，bn929n1.第32页返回导
10、航 数学(2)由 d1，知 an2n1，bn2n1，故 cn2n12n1，于是 Tn132 522 723 9242n12n1，12Tn12 322 523 7242n32n1 2n12n.得12Tn212 122 12n22n12n32n32n，故 Tn62n32n1.第33页返回导航 数学 考点三 裂项相消法求和命题点1.针对cnknp 型，裂项求和2.针对cn nk 型，裂项求和3.针对logankn型，裂项求和第34页返回导航 数学 例 3(1)已知函数 f(x)xa的图象过点(4,2)，令 an1fn1fn，nN*.记数列an的前 n 项和为 Sn，则 S2 019_.第35页返回导
11、航 数学 解析：由 f(4)2 可得 4a2，解得 a12，则 f(x)x12.an1fn1fn1n1 n n1 n，S2 019a1a2a3a2 019(21)(3 2)(4 3)(2 019 2 018)(2 020 2 019)2 0201.答案：2 0201第36页返回导航 数学(2)在数列an中，a11，当 n2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S2nanSn12.求 Sn 的表达式；设 bnSn2n1，求bn的前 n 项和 Tn.第37页返回导航 数学 解：S2nanSn12，anSnSn1(n2)，S2n(SnSn1)Sn12，即 2Sn1SnSn1Sn，()由题意得 Sn1Sn
12、0，()式两边同除以 Sn1Sn，得 1Sn 1Sn12，数列1Sn 是首项为 1S1 1a11，公差为 2 的等差数列第38页返回导航 数学 1Sn12(n1)2n1，Sn12n1.()bnSn2n112n12n11212n112n1，Tnb1b2bn12113 1315 12n112n112112n1 n2n1.第39页返回导航 数学 方法引航 利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.第40页返回导航 数学 1将本例(1)条件变为，函数
13、f(x)logax 的图象过点(4,2)令 anlogan2n，求an的前 10 项和第41页返回导航 数学 解：由题意得 loga42，a2，f(x)log2xanlog2n2n log2(n2)log2n.S10 (log23 log21)(log24 log22)(log25 log23)(log211log29)(log212log210)log21log22log211log212log211log231.第42页返回导航 数学 2(2017辽宁五校联考)已知等差数列an，公差 d0，前 n 项和为Sn，S36 且满足 a3a1,2a2，a8 成等比数列(1)求an 的通项公式；(2
14、)设 bn1anan2，求数列bn 的前 n 项和 Tn.第43页返回导航 数学 解：(1)由 S36，得 a22.a3a1,2a2，a8 成等比数列，2d(26d)42，解得，d1 或 d43.d0，d1，数列an 的通项公式为 ann.第44页返回导航 数学(2)bn1anan21nn2，Tn 113 124 1351nn212113 1214 1315 1n 1n21232 1n1 1n2 3n25n4n1n2.第45页返回导航 数学 思想方法讨论次数奇偶性求和典例 等比数列an中，a1，a2，a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表的同一
15、列.第46页返回导航 数学 第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求数列an 的通项公式；(2)若数列bn 满足：bnan(1)nln an，求数列bn 的前 n 项和 Sn.第47页返回导航 数学 解(1)当 a13 时，不合题意；当 a12 时，当且仅当 a26，a318 时，符合题意；当 a110 时，不合题意因此 a12，a26，a318.所以公比 q3.故 an23n1.(2)因为 bnan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)nln 2(n1)ln 3第48页返回导航 数学 23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3
16、，所以 Sn2(133n1)111(1)n(ln 2ln 3)123(1)nnln 3.所以当 n 为偶数时，Sn213n13 n2ln 33nn2ln 31；第49页返回导航 数学 当 n 为奇数时，Sn213n13(ln 2ln 3)n12 n ln 33nn12 ln 3ln 21.综上所述，Sn3nn2ln 31，n为偶数，3nn12 ln 3ln 21，n为奇数.第50页返回导航 数学 回顾反思(1)从表中选数字组成等比数列，就是试验法，先确定 a2，再看是否满足 a22a1a3.(2)当an 为等比数列，且 an0 时，则 ln an 为等差数列(3)对于通项中含有(1)n 的符号
17、变化的要分 n 的奇偶性求和第51页返回导航 数学 第52页返回导航 数学 高考真题体验1(2015高考课标卷)Sn 为数列an的前 n 项和已知 an0，a2n2an4Sn3.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和第53页返回导航 数学 解：(1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13.，得 a2n1a2n2(an1an)4an1，即 2(an1an)a2n1a2n(an1an)(an1an)由 an0，得 an1an2.又 a212a14a13，解得 a11(舍去)或 a13.所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为
18、 an2n1.第54页返回导航 数学(2)由 an2n1 可知bn1anan112n12n31212n112n3.设数列bn的前 n 项和为 Tn，则Tnb1b2bn121315 1517 12n112n3n32n3.第55页返回导航 数学 2(2014高考大纲全国卷)等差数列an的前 n 项和为 Sn，已知 a110，a2 为整数，且 SnS4.(1)求an的通项公式；(2)设 bn1anan1，求数列bn的前 n 项和 Tn.第56页返回导航 数学 解：(1)由 a110，a2 为整数，知等差数列an的公差 d 为整数又 SnS4，故 a40，a50，于是 103d0,104d0.解得10
19、3 d52.因此 d3.数列an 的通项公式为 an133n.第57页返回导航 数学(2)bn1133n103n131103n1133n.于是 Tnb1b2bn1317 110 1417 1103n1133n131103n 110 n10103n.第58页返回导航 数学 3(2016高考天津卷)已知an是等比数列，前 n 项和为 Sn(nN*)，且 1a1 1a2 2a3，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的 nN*，bn 是 log2an 和 log2an1 的等差中项，求数列(1)nb2n的前 2n 项和第59页返回导航 数学 解：(1)设数列an的公比为 q.由已知，有 1a1 1a1q 2a1q2，解得 q2，或 q1.又由 S6a11q61q 63，知 q1，所以 a112612 63，得 a11.所以 an2n1.(2)由题意，得 bn12(log2anlog2an1)12(log22n1log22n)n12，即bn是首项为12，公差为 1 的等差数列第60页返回导航 数学 设数列(1)nb2n的前 n 项和为 Tn，则T2n(b21b22)(b23b24)(b22n1b22n)b1b2b3b4b2n1b2n2nb1b2n22n2.第61页返回导航 数学 课时规范训练
