1、第三节二项式定理考情展望1.考查利用通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等.2.考查赋值法与整体法的应用.3.多以选择题、填空题的形式考查一、二项式定理1(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)2第r1项，Tr1Canrbr.3第r1项的二项式系数为C.二、二项式系数的性质10kn时，C与C的关系是CC.2二项式系数先增后减中间项最大且n为偶数时第1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.3各二项式系数和：CCCC2n，CCCCCC2n1.1(1x)6的展开式中，二项式系数最大的项是()A20x3B15x2C15x
2、4Dx6【解析】二项展开式中间一项(第4项)的二项式系数最大，T4Cx320x3.【答案】A2.4的展开式中的常数项为()A24 B6 C6 D24【解析】展开式的通项是Tr1C(2x)4rr(1)rC24rx42r，令42r0，得r2，展开式中的常数项为(1)2C2224，故选D.【答案】D3已知(1kx2)6(k为正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k_.【解析】展开式的通项是Tr1C(kx2)r，令2r8，得展开式中x8的系数为Ck4，Ck4120，即k48.又k是正整数，故k1.【答案】14(13x)n(其中nN且n6)的展开式中x5与x6的系数相等，则n_.【解析】Tr1C(3
3、x)r3rCxr.由已知条件35C36C，即C3C.3，整理得n7.【答案】75(2013大纲全国卷)(x2)8的展开式中x6的系数是()A28 B56 C112 D224【解析】该二项展开式的通项为Tr1Cx8r2r2rCx8r，令r2，得T322Cx6112x6，所以x6的系数是112.【答案】C6(2013安徽高考)若8的展开式中，x4的系数为7，则实数a_.【解析】含x4的项为Cx53Ca3x4，Ca37，a.【答案】考向一 178通项公式及其应用已知在n的展开式中，第6项为常数项(1)求含x2的项的系数；(2)求展开式中所有的有理项【思路点拨】(1)写出通项Tr1，先求n，再求含x2
4、的项的系数(2)寻找使x的指数为整数的r值，从而确定有理项【尝试解答】(1)n的展开式的通项为Tr1CxrxCrx.因为第6项为常数项，所以r5时，有0，即n10.令2，得r(n6)(106)2，含x2的项的系数为C2.(2)根据通项公式，由题意Z，且0r10.令k(kZ)，则102r3k，即r5k.rN，k应为偶数k可取2,0，2，即r可取2,5,8.所以第3项，第6项和第9项为有理项，它们分别为C2x2，C5，C8x2.规律方法11.解此类问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且
5、nr)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.2.有理项是字母指数为整数的项.解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解.对点训练(1)(2013浙江高考)设二项式5的展开式中常数项为A，则A_.(2)设二项式6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B4A，则a的值是_【解析】(1)Tr1C()5rrC(1)rx，令0，得r3，所以AC10.(2)6展开式的通项Tr1(a)rCx6r，A(a)2C，B(a)4C，由B4A，得(a)4C4(a)2C，解之得a2.又a0，所以a2.【答案】(1)10(2)2考向二 179二项展开式项的系
6、数与二项式系数(1)设(1x)na0a1xa2x2anxn，若a1a2an63，则展开式中系数最大的项是()A15x2B20x3C21x3D35x3(2)(2013课标全国卷)已知(1ax)(1x)5的展开式中x2的系数为5，则a()A4 B3 C2 D1【思路点拨】(1)先赋值求a0及各项系数和，进而求得n值，再运用二项式系数性质与通项公式求解(2)先求出(1x)5含有x与x2的项的系数，从而得到展开式中x2的系数【尝试解答】(1)(1x)na0a1xa2x2anxn，令x0，得a01.令x1，则(11)na0a1a2an64，n6，又(1x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，(1x)6
7、的展开式系数最大项为T4Cx320x3.(2)(1x)5中含有x与x2的项为T2Cx5x，T3Cx210x2，x2的系数为105a5，a1，故选D.【答案】(1)B(2)D规律方法2求解这类问题要注意：1.区别二项式系数与展开式中项的系数，灵活利用二项式系数的性质.2.根据题目特征，恰当赋特殊值代换.对于展开式中的系数和、隔项系数和、系数的绝对值和等问题，通常运用赋值法进行构造(构造出目标式).赋值时要注意根据目标式进行灵活的选择，常见的赋值方法是使字母因式的值为1，1或目标式的值.对点训练(1)(2014浙江省高三调测)若(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则a0a1a3
8、a5等于()A122B123C243D244(2)(2013大纲全国卷)(1x)8(1y)4的展开式中x2y2的系数是()A56 B84 C112 D168【解析】(1)在已知等式中分别取x0、x1与x1，得a01，a0a1a2a3a4a535，a0a1a2a3a4a51，因此有2(a1a3a5)351244，a1a3a5122，a0a1a3a5123.(2)因为(1x)8的通项为Cxk，(1y)4的通项为Cyt，故(1x)8(1y)4的通项为CCxkyt.令k2，t2，得x2y2的系数为CC168.【答案】(1)B(2)D考向三 180二项式定理的应用(2012湖北高考)设aZ，且0a13，
9、若512 012a能被13整除，则a()A0B1C11D12【思路点拨】注意到52能被13整除，化51为521，从而运用二项式定理展开512012，由条件求a的值【尝试解答】512 012a(521)2 012aC522 012C522 011C52(1)2 011C(1)2 012a，C522 012C522 011C52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，C(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.【答案】D规律方法31.本题求解的关键在于将512 012变形为(521)2 012，使得展开式中的每一项与除数13建立联系2用二项式定理处理整除问题，通常把
10、底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开但要注意两点：(1)余数的范围，acrb，其中余数b0，r)，r是除数，若利用二项式定理展开变形后，切记余数不能为负；(2)二项式定理的逆用对点训练190C902C903C(1)k90kCk109010C除以88的余数是()A1B1C87D87【解析】190C902C(1)k90kC9010C(190)108910(881)108810C889C881.前10项均能被88整除，余数是1.【答案】B思想方法之二十四赋值法在二项展开式中的应用求展开式系数和或相关量这类问题的解题思路：通常先利用通项公式弄清所求展开式系数的特
11、点，再用赋值法求得各项系数和，一般通过变量指数来确定要求项或系数和，再根据其特点求相关的量，有时需要构造方程，通过解方程的方法来求解分类分步是常用的手段，正面较复杂时可从反面考虑，即正难则反1个示范例1个对点练(2014宜春模拟)设(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n(n2，nN)，则a3a5a7a2n1()A.B.C. D.【解析】(1xx2)na0a1xa2x2a2nx2n(n2，nN)，令x1,3na0a1a2a2n，再令x1，可得1a0a1a2a3a2n1a2n，得：a1a3a2n1，又(1xx2)nx2(1x)n，其展开式中T1C(x2)0(1x)n，从中可求x的系数，它来自(1x)n展开式中x的系数，为a1Cn，a3a5a7a2n1.在二项式n的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且MN64，则展开式中含x2项的系数为()A90B90C10D10【解析】二项式n的展开式中，令x1得：各项系数之和M2n，又各项二项式系数之和为N，故N2n，又MN64，22n64，n5.设二项式5的展开式的通项为Tr1，则Tr1C35r(1)rx(5r)r，令(5r)r2得：r3，展开式中含x2项的系数为C(1)335390.【答案】A