1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3页返回导航 数学 第1课时 数列的概念与简单表示法第4页返回导航 数学 1数列的有关概念(1)数列的定义按照排列的一列数称为数列数列中的每一个数叫做这个数列的一定顺序项第5页返回导航 数学(2)数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数按项数分类无穷数列项数有限无限第6页返回导航 数学 递增数列an1an递减数列an1an按项与项间的大小关系分类常数列an1an其中 nN*第7页返回导航 数学 有界数列存在正数 M，使|an|M按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于
2、它的前一项的数列第8页返回导航 数学(3)数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是、和列表法图象法解析式法第9页返回导航 数学 2数列的通项公式(1)数列的通项公式如果数列an的第 n 项与之间的关系可以用一个式子来表达，那么这个公式叫做这个数列的通项公式(2)已知数列an的前 n 项和 Sn，则 an，n1，n2.序号nS1SnSn1第10页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)an 与an是不同的概念()(2)所有的数列都有通项公式，且通项公式在形式上一定是唯一的()(3)数列是一种特殊的函数()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个()
3、(5)如果数列an的前 n 项和为 Sn，则对nN*，都有 an1Sn1Sn.()第11页返回导航 数学(6)若已知数列an的递推公式为 an112an1，且 a21，则可以写出数列an的任何一项()(7)数列：1,0,1,0,1,0，通项公式只能是 an11n12.()(8)数列的前 n 项和 Sn3n22n1，则 an6n5.()(9)正奇数的数列的通项公式为 an2n1.()(10)数列nn99，只有最大项，无最小项()第12页返回导航 数学 考点一 由数列的前几项求通项公式命题点由特殊到一般的归纳第13页返回导航 数学 例 1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式(1)1,7
4、，13,19，；(2)0.8,0.88,0.888，；(3)12，14，58，1316，2932，6164，；(4)32，1，710，917，；(5)0,1,0,1，；(6)9,99,999,999 9，.第14页返回导航 数学 解：(1)符号问题可通过(1)n 或(1)n1 表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大 6，故通项公式为 an(1)n(6n5)(2)将数列变形为89(10.1)，89(10.01)，89(10.001)，an891 110n.第15页返回导航 数学(3)各项的分母分别为 21,22,23,24，易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母
5、少 3.因此把第 1 项变为232，原数列可化为21321，22322，23323，24324，an(1)n2n32n.第16页返回导航 数学(4)将数列统一为32，55，710，917，对于分子 3,5,7,9，是序号的 2 倍加 1，可得分子的通项公式为 bn2n1，对于分母2,5,10,17，联想到数列 1,4,9,16，即数列n2，可得分母的通项公式为 cnn21，因此可得它的一个通项公式为 an2n1n21.(5)an0 n为奇数，1 n为偶数.或 an11n2或 an1cos n2.第17页返回导航 数学(6)这个数列的前 4 项可以写成 101,1001,1 0001,10 00
6、01，所以它的一个通项公式 an10n1.第18页返回导航 数学 方法引航 1.据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项符号特征2观察、分析要有目的，观察出项与项数之间的关系、规律，利用我们熟知的一些基本数列(如自然数列、奇偶数列等)转换而使问题得到解决3判断通项公式是否适合数列，利用代值检验第19页返回导航 数学 写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，；(2)12，34，78，1516，3132，；(3)1，32，13，34，15，36，；(4)3,33,333,
7、3 333，.第20页返回导航 数学 解：(1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an2n1.(2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21,22,23,24，所以 an2n12n.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(1)n；各项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为 1，偶数项为 3，即奇数项为 21，偶数项为 21，所以 an(1)n21nn.第21页返回导航 数学 也可写为 an1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，分母都是 3，而分子分别是 101,1021,1031,
8、1041，所以 an13(10n1)第22页返回导航 数学 考点二 an 与 Sn 的关系及应用命题点1.已知 Sn 的表达式求 an2.已知 Sn 与 an的关系式求 an3.已知 Sn 与 an的关系式求 Sn第23页返回导航 数学 例 2(1)已知数列an的前 n 项和 Snn21，则 an_.第24页返回导航 数学 解析：当 n1 时，a1S12，当 n2 时，anSnSn1n21(n1)212n1，故 an2，n1，2n1，n2.答案：2，n12n1，n2第25页返回导航 数学(2)已知数列an的首项 a12，其前 n 项和为 Sn.若 Sn12Sn1，则 an_.第26页返回导航
9、数学 解析：由已知 Sn12Sn1 得 Sn2Sn11(n2)，两式相减得 an12an，又 S2a1a22a11，得 a23，所以数列an从第二项开始为等比数列，因此其通项公式为 an2，n1，32n2，n2.答案：2，n132n2，n2第27页返回导航 数学(3)已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，Sn2an1，则 Sn()A2n1 B.32n1C.23n1D.12n1第28页返回导航 数学 解析：由已知 Sn2an1 得 Sn2(Sn1Sn)，即 2Sn13Sn，Sn1Sn 32，而 S1a11，所以 Sn32n1，故选 B.答案：B第29页返回导航 数学 方法引航 已知 Sn
10、求 an 时应注意的问题1应重视分类讨论思想的应用，分 n1 和 n2 两种情况讨论；特别注意 anSnSn1 中需 n2.2由 SnSn1an 推得 an，当 n1 时，a1 也适合“an 式”，则需统一“合写”.3由 SnSn1an，推得 an，当 n1 时，a1不适合“an 式”，则数 列 的 通 项 公 式 应 分 段 表 示“分 写”，即,an S1 n1，SnSn1 n2第30页返回导航 数学 1将本例(1)的条件 Sn 改为 Sn2n23n，求 an.第31页返回导航 数学 解：a1S1231，当 n2 时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于 a1 也
11、适合此等式，an4n5.第32页返回导航 数学 2将本例(2)的条件改为 Sn2an1，求 an.第33页返回导航 数学 解：由 Sn2an1 得Sn12an11.(n2)SnSn12an2an1，即 an2an2an1an2an1，(n2)由题意得，a12a11，a11an是以 a11，q2 的等比数列an12n12n1.第34页返回导航 数学 3设 Sn 是正项数列an的前 n 项和，且 an 和 Sn 满足：4Sn(an1)2(n1,2,3，)，则 Sn_.第35页返回导航 数学 解析：由题意可知，Snan2 122，当 n1 时，a11.anSnSn1an2 122an12 122an
12、2 an12 1 an2 an12a2na2n14an2 an12整理得，anan12a2na2n14anan12.所以 an2n1.解得 Sn12n1n2n2.答案：n2第36页返回导航 数学 考点三 数列的递推公式及应用命题点1.已知递推公式求某些项2.已知递推公式用累加法求通项公式3.已知递推公式用累乘法求通项公式4.已知递推公式用转化法求通项公式第37页返回导航 数学 例 3(1)已知数列an满足 a10，a21，an23an12an，则a5_.第38页返回导航 数学 解析：由可知可得，这个数列的前五项依次为：a10，a21，a33，a47，a515.答案：15第39页返回导航 数学(
13、2)已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，则 an_.第40页返回导航 数学 解析：an1an3n2，anan13n1(n2)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(3n1)(3n4)52n3n12(n2)当 n1 时，a12 也符合上式，an32n2n2.答案：32n2n2第41页返回导航 数学(3)在数列an中，a11，前 n 项和 Snn23 an，则an的通项公式为_第42页返回导航 数学 解析：由题设知，a11.当 n1 时，anSnSn1n23 ann13 an1.anan1n1n1.anan1n1n1，a4a353，a3a242，a2a13.以上 n1 个
14、式子的等号两端分别相乘，得到ana1nn12，又a11，annn12.答案：nn12第43页返回导航 数学(4)数列an中，a11，an13an2，则它的一个通项公式为 an_.第44页返回导航 数学 解析：an13an2，an113(an1)，an11an1 3，数列an1为等比数列，公比 q3，又 a112，an123n1，an23n11.答案：23n11第45页返回导航 数学 方法引航 已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常用累加、累乘、构造法求解当出现 anan1m 时构造等差数列；当出现 anxan1y 时，构造等比数列；当出现 anan1f(n)时，用累加法求解；当出现 anan
15、1f(n)时，用累乘法求解第46页返回导航 数学 1如果数列an满足 a12，an1an2n，则数列an的通项公式 an_.第47页返回导航 数学 解析：an1an2n，an1an2n.a2a121；a3a222；anan12(n1)(n2)以上各式相加，得：ana12123(n1)n2n.ann2na1n2n2(n2)，a12 也适合ann2n2.答案：n2n2第48页返回导航 数学 2已知数列an满足 a11，ann1n an1(n2)，则 an_.第49页返回导航 数学 解析：(1)ann1n an1(n2)，an1n2n1an2，a212a1.以上(n1)个式子相乘得ana11223n
16、1n a1n 1n.答案：1n第50页返回导航 数学 3(2017河北保定高三调研)在数列an中，已知 a11，an12an1，则其通项公式为 an()A2n1 B2n11C2n1 D2n2第51页返回导航 数学 解析：选 A.由题意知 an112(an1)，数列an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，an12n，an2n1.第52页返回导航 数学 易错警示数列与函数混淆致误典例 已知数列an满足 a133，an1an2n，则ann 的最小值为_第53页返回导航 数学 正解 an1an2n，anan12(n1)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(2n2)(2n4)233
17、n2n33(n2)，又 a133 适合上式，ann2n33，ann n33n 1.令 f(x)x33x 1(x0)，则 f(x)133x2，令 f(x)0 得 x 33.当 0 x 33时，f(x)0，第54页返回导航 数学 当 x 33时，f(x)0，即 f(x)在区间(0，33)上递减；在区间(33，)上递增又 5 336，且 f(5)5335 1535，f(6)6336 1212，f(5)f(6)，当 n6 时，ann 有最小值212.答案 212第55页返回导航 数学 易误 ann n33n 12 331 为最小值时，即把 n 和 x 认为等同的，而此时 n 33N*是不可以的警示 a
18、nf(n)是 n 的函数，其定义域为 N*，而不是 R.第56页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考浙江卷)设数列an的前 n 项和为 Sn.若 S24，an12Sn1，nN*，则 a1_，S5_.第57页返回导航 数学 解析：法一：an12Sn1，a22S11，即 S2a12a11，又S24，4a12a11，解得 a11.又 an1Sn1Sn，Sn1Sn2Sn1，即 Sn13Sn1，由 S24，可求出 S313，S440，S5121.法二：由 an12Sn1，得 a22S11，即 S2a12a11，又 S24，4a12a11，解得 a11.又 an1Sn1Sn，Sn1Sn2Sn1，第
19、58页返回导航 数学 即 Sn13Sn1，则 Sn1123Sn12，又 S11232，Sn12 是首项为32，公比为 3 的等比数列，Sn12323n1，即 Sn3n12，S53512121.答案：1 121第59页返回导航 数学 2(2015高考江苏卷)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列1an 前 10 项的和为_第60页返回导航 数学 解析：由已知得，a2a111，a3a221，a4a331，anan1n11(n2)，则有 ana1123n1(n1)(n2)，因为 a11，所以 an123n(n2)，即 ann2n2(n2)，又当 n1 时，a11 也适合上式，故
20、 ann2n2(nN*)，所以 1an2n2n21n 1n1，从而 1a1 1a2 1a3 1a102112 21213 21314 2110 111 21 111 2011.答案：2011第61页返回导航 数学 3(2013高考课标全国卷)若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an_.第62页返回导航 数学 解析：由 Sn23an13得：当 n2 时，Sn123an113，当 n2 时，an2an1，又 n1 时，S1a123a113，a11，an(2)n1.答案：(2)n1第63页返回导航 数学 4(2015高考课标卷)设 Sn 是数列an的前 n 项和，且 a11，an1SnSn1，则 Sn_.第64页返回导航 数学 解析：由已知得 an1Sn1SnSnSn1，两边同时除以 SnSn1 得 1Sn 1Sn11，即 1Sn1 1Sn1.又 1S11，所以1Sn 是首项为1，公差为1 的等差数列，所以 1Sn1(n1)(1)n，即 Sn1n.答案：1n第65页返回导航 数学 课时规范训练