1、第八节条件概率与独立事件、二项分布【考纲下载】1了解条件概率和两个事件相互独立的概念2理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题1条件概率 条件概率的定义条件概率的性质已知B发生的条件下，A发生的概率，称为B发生时A发生的条件概率，记为P(A|B)当P(B)0时，我们有P(A|B).(其中，AB也可以记成AB)类似地，当P(A)0时，A发生时B发生的条件概率为P(B|A).(1)0P(B|A)1(2)若B、C是两个互斥事件，则P(BC|A)P(B|A)P(C|A).2.事件的相互独立性事件的相互独立性的定义事件的相互独立性的性质对两个事件A、B，如果P(AB)P(A)P(
2、B)，则称A，B相互独立如果A、B相互独立，则A与，与B，与也相互独立；如果A1，A2，An相互独立，则有P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)3二项分布进行n次试验，如果满足以下条件：(1)每次试验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“成功”和“失败”(2)每次试验“成功”的概率均为p，“失败”的概率均为1p.(3)各次试验是相互独立的用X表示这n次试验中成功的次数，则P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)若一个随机变量X的分布列如上所述，称X服从参数为n，p的二项分布，记为XB(n，p)1“相互独立”和“事件互斥”有何不同？提示：两事件互斥是指两事件不可能同时发生，两事
3、件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响，两个事件相互独立不一定互斥2二项分布的计算公式和二项式定理的公式有何联系？提示：如果把p看成a,1p看成b，则Cpk(1p)nk就是二项式定理中的通项1设随机变量XB，则P(X3)等于()A. B. C. D.解析：选A因为XB，所以P(X3)C33.2已知P(B|A)，P(AB)，则P(A)等于()A. B. C. D.解析：选C由P(AB)P(A)P(B|A)，可得P(A).3若事件E与F相互独立，且P(E)P(F)，则P(EF)的值等于()A0 B. C. D.解析：选BEF代表E与F同时发生，故P(EF)P(E)P(F).
4、4在100件产品中有95件合格品，5件不合格品现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率为_解析：设事件A为“第一次取到不合格品”，事件B为“第二次取到不合格品”，则P(AB)，P(A)，所以P(B|A).答案：5某人一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班的条件下，则他在周六晚上值班的概率为_解析：设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)，P(AB)，故P(B|A).答案：考点一条件概率 例1(1)甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的
5、概率为()A0.6 B0.7 C0.8 D0.66(2)市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是_自主解答(1)“甲市为雨天”记为事件A，“乙市为雨天”记为事件B，则P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，故P(B|A)0.6.(2)记A“甲厂产品”，B“合格产品”，则P(A)0.7，P(B|A)0.95.故P(AB)P(A)P(B|A)0.70.950.665.答案(1)A(2)0.665【互动探究】 在本例(2)中条件改为“甲厂产品的合格率是95%，其中60%为一
6、级品”，求甲厂产品中任选一件为一级品的概率解：设“甲厂产品合格”为事件A，“一级品”为事件B，则甲厂产品中任一件为一级品为AB，所以P(AB)P(A)P(B|A)95%60%0.57.【方法规律】条件概率的两种求解方法(1)定义法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)求P(B|A)(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件AB所包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).1. 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A表示“取到的2个数之和为偶数”，事件B表示“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)()A. B. C. D.解析：选BP(A)
7、，P(AB).故P(B|A).2(2014吉安模拟)将三颗骰子各掷一次，设事件A“三个点数都不同”，B“至少出现一个3点”，则P(A|B)，P(B|A)分别是()A.， B.， C.， D.，解析：选A因为“至少出现一个3点”的情况数目为66655591，“三个点数都不相同”只有一个3点共C5460种P(A|B)又因为“三个点数都不相同”的情况数目为654120.所以P(B|A).考点二相互独立事件的概率 例2(2013陕西高考)在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1
8、号，不选2号，另在3至5号中随机选2名观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望自主解答(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P(A)，P(B).事件A与B相互独立，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(A)P(A)P()P(A)1P(B).(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C).X可能的取值为0,1,2,3，则P(X0)P( )，P(X1)P(A )P( B)P( C)，P(
9、X2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(X3)P(ABC)，X的分布列为X0123PX的数学期望E(X)0123.【方法规律】求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算(2014安康模拟)某社区举办防控甲型H7N9流感知识有奖问答比赛，甲、乙、丙三人同时回答一道卫生知识题，三人回答正确与错误互不影响已知甲回答这题正确的概率是，甲、丙两人都回答错误的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是.(1)求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率；(2)用表示回答该题正确的人数，求的分布列和数学期望E解：(1)记“甲、乙
10、、丙回答正确这道题”分别为事件A、B、C，则P(A)，且P()P()，P(B)P(C)，即1P(A)1P(C)，P(B)P(C)，P(B)，P(C)，(2)的可能取值为0、1、2、3.则P(0)P()，P(1)P()P(B)P()，P(2)P(AB)P(AC)P(BC)，P(3)P(ABC)，的分布列为0123P的数学期望E0123.高频考点考点三 独立重复试验与二项分布1独立重复试验与二项分布是高中数学的重要内容，也是高考命题的热点，多以解答题的形式呈现，试题难度较大，多为中高档题目2高考对独立重复试验与二项分布的考查主要有以下几个命题角度：(1)已知二项分布，求二项分布列；(2)已知随机变
11、量服从二项分布，求某种情况下的概率例3(2013辽宁高考)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率都是，且各题答对与否相互独立用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望自主解答(1)设事件A“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有“张同学所取的3道题都是甲类题”因为P()，所以P(A)1P().(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X0)C02，P(X1)C11C02，P(X2)C20C11，P(X3)C20.
12、所以X的分布列为X0123P所以E(X)01232.独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)已知二项分布，求二项分布列可判断离散型随机变量是否服从二项分布，再由二项分布列公式求概率，列出分布列；(2)已知随机变量服从二项分布，求某种情况下概率依据题设及互斥事件弄清该情况下所含的所有事项，再结合二项分布公式即可求解某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率解：令X表示5次预报中预报准确的次数，则XB，故其分布列为P(Xk)Ck5k
13、(k0,1,2,3,4,5)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X2)C23100.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X2)1P(X0)P(X1)1C05C410.000 320.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C30.02.课堂归纳通法领悟1个技巧抓住关键词求解相互独立事件的概率在应用相互独立事件的概率公式时，要找准关键字句，对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”“恰有一个发生”的情况，要结合对立事件的概率求解1个明确明确常见词语的含义解题过程中要明确事件中“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都
14、发生”“都不发生”“不都发生”等词的意义已知两个事件A，B，则：(1)A，B中至少有一个发生的事件为AB；(2)A，B都发生的事件为AB；(3)A，B都不发生的事件为；(4)A，B恰有一个发生的事件为AB；(5)A，B至多一个发生的事件为AB. 易误警示(十六)相互独立事件概率求法中的易错点典例(2013山东高考)甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是.假设各局比赛结果互相独立(1)分别求甲队以30,31,32胜利的概率；(2)若比赛结果为30或31，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为32，则胜利方得
15、2分，对方得1分求乙队得分X的分布列及数学期望解题指导(1)各场比赛都可看成一个独立重复试验；(2)将得分变量转化为各场次比赛的胜负解(1)记“甲队以30胜利”为事件A1，“甲队以31胜利”为事件A2，“甲队以32胜利”为事件A3.由题意知，各局比赛结果相互独立，故P(A1)3，P(A2)C2，P(A3)C22.所以，甲队以30胜利，以31胜利的概率都为，以32胜利的概率为.(2)设“乙队以32胜利”为事件A4，由题意知，各局比赛结果相互独立，所以P(A4)C22.由题意知，随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2)，又P(X1)
16、P(A3)，P(X2)P(A4)，P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2).故X的分布列为X0123P所以EX0123.名师点评求解n次独立重复试验问题时，应重点注意以下几点：(1)首先确定该问题是否为n次独立重复试验(2)在n次独立重复试验中，事件A发生k次的概率公式是正确解决n次独立重复试验的关键(3)熟练掌握二项分布满足的条件是正确解决此类问题的前提全盘巩固1如果事件M和事件N相互独立，则下面各对事件不相互独立的是()AM与 BM与 C.与N D.与解析：选A由相互独立事件的特点可知M与，与N，与都是相互独立事件，而M与是对立事件2(2014济南模拟)位于直角坐标原点的一个质点P按下列
17、规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向向左或向右，并且向左移动的概率为，向右移动的概率为，则质点P移动五次后位于点(1,0)的概率是()A. B. C. D.解析：选D依题意得，质点P移动五次后位于点(1,0)，则这五次移动中必有某两次向左移动，另三次向右移动，因此所求的概率等于C23.3(2014长春模拟)设服从XB(n，p)的随机变量的期望和方差分别是2.4与1.44，则参数n、p的值为()An4，p0.6 Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0.1解析：选B服从二项分布XB(n，p)由E()2.4np，D()1.44np(1p)，可得：1p0.6，p0.4，n6.4小王通过
18、英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A. B. C. D.解析：选A因为本题中的事件可以看成3次独立重复试验所以恰有1次获得通过的概率为C131.5(2014延安模拟)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是()A. B. C. D.解析：选A记事件A为“最后从2号箱中取出的是红球”，事件B为“从1号箱中取出的是红球”，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)，P()1，P(A|B)，P(A|).从而P(A)P(AB)P(A)P(A|B
19、)P(B)P(A|)P().6将一枚硬币连掷5次，如果出现k次正面向上的概率等于出现k1次正面向上的概率，那么k的值为()A0 B1 C2 D3解析：选C由Ck5kCk15k1，即CC，故k(k1)5，即k2.7明天上午李明要参加社区义工活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是_解析：依题意可知，两个闹钟至少有一个准时响的概率是10.200.1010.020.98.答案：0.988有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率
20、为_解析：设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件B(发芽，又成活为幼苗)，出芽后的幼苗成活率为：P(B|A)0.8，P(A)0.9.根据条件概率公式P(AB)P(B|A)P(A)0.90.80.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.答案：0.729. 如图所示的电路有a，b，c三个开关，每个开关开或关的概率都是，且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_解析：设“a闭合”为事件A，“b闭合”为事件B，“c闭合”为事件C，则“灯泡甲亮”应为事件AC ，且A，C，之间彼此独立，且P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P(C)P().答案：10某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、
21、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”“中立”“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率解：(1)该公司决定对该项目投资的概率为PC2 C3.(2)该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票，有以下四种情形：“同意”票张数“中立”票张数“反对”票张数事件A003事件B102事件C111事件D012P(A)C3，P(B)
22、C3，P(C)CC3，P(D)C3.A，B，C，D互斥，P(ABCD)P(A)P(B)P(C)P(D).11. (2014成都模拟)随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受到市民重视，为此成都市建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡借车，初次办卡时卡内预先赠送20分，当积分为0时，借车卡将自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分收费，具体扣分标准如下：租用时间不超过1小时，免费；租用时间为
23、1小时以上且不超过2小时，扣1分；租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；租用时间超过3小时，按每小时扣2分收费(不足1小时的部分按1小时计算)甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，两人租车时间都不会超过3小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.5和0.6；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4和0.2.(1)求甲、乙两人所扣积分相同的概率；(2)设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望E()解：(1)根据题意，得下表，其中t表示租用时间(单位：小时)0t1扣0分1t2扣1分2t3扣2分甲0.50.40.1乙0.60.20.2分别记“甲扣0、1、
24、2分”为事件A1，A2，A3，它们彼此互斥，且P(A1)0.5，P(A2)0.4，P(A3)0.1，分别记“乙扣0、1、2分”为事件B1，B2，B3，它们彼此互斥，且P(B1)0.6，P(B2)0.2，P(B3)0.2，由题知，A1，A2，A3与B1，B2，B3相互独立，记甲、乙两人所扣积分相同为事件M，则MA1B1A2B2A3B3，所以P(M)P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3)0.50.60.40.20.10.20.30.080.020.4.(2)的可能取值为：0,1,2,3,4，P(0)P(A1)P(B1)0.3，P(1)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)0
25、.50.20.40.60.34，P(2)P(A1)P(B3)P(A2)P(B2)P(A3)P(B1)0.50.20.40.20.10.60.24，P(3)P(A2)P(B3)P(A3)P(B2)0.40.20.10.20.1，P(4)P(A3)P(B3)0.10.20.02.所以的分布列为：01234P0.30.340.240.10.02的数学期望E00.310.3420.2430.140.021.212一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.(1)设X为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X的分布列；(2)设Y为这名学生在
26、首次停车时经过的路口数，求Y的分布列解：(1)将通过每个交通岗看做一次试验，则遇到红灯的概率为，且每次试验结果是相互独立的，故XB.所以X的分布列为P(Xk)Ck6k，k0,1,2,3,4,5,6.(2)由于Y表示这名学生在首次停车时经过的路口数，显然Y是随机变量，其取值为0,1,2,3,4,5,6.其中Yk(k0,1,2,3,4,5)表示前k个路口没有遇上红灯，但在第k1个路口遇上红灯，故各概率应按独立事件同时发生计算P(Yk)k(k0,1,2,3,4,5)，而Y6表示一路没有遇上红灯故其概率为P(Y6)6；所以Y的分布列为Y0123456P冲击名校设不等式组确定的平面区域为U，不等式组确定
27、的平面区域为V.(1)定义坐标为整数的点为“整点”在区域U内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V内的概率；(2)在区域U内任取3个点(不一定为“整点”)，记此3个点在区域V内的个数为X，求X的分布列解：(1)如图，由题意，区域U内共有15个整点，区域V内共有9个整点，设所取3个整点中恰有2个整点在区域V内的概率为P(V)，则P(V).(2)区域U的面积为8，区域V的面积为4，则在区域U内任取一点，该点在区域V内的概率为.X的取值为0,1,2,3.P(X0)C03，P(X1)C12，P(X2)C21，P(X3)C30.所以X的分布列为X0123P高频滚动某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著三国演义水浒传西游记红楼梦与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得1分，某观众只知道三国演义的作者是罗贯中，其他不知道便随意连线，将他的得分记作.(1)求该观众得分为负数的概率(2)求的分布列解：(1)当该观众只连对三国演义，其他全部连错时，得分为负数，此时1，故得分为负数的概率为P(1).(2)的可能取值为1,2,8.P(2)，P(8).所以的分布列为128P