1、第2课时平面向量基本定理及坐标表示1了解平面向量的基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件对应学生用书P70【梳理自测】一、平面向量基本定理1若向量a(1，1)，b(1，1)，c(4，2)，则c等于()A3abB3abCa3b Da3b2在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_答案：1.B2.以上题目主要考查了以下内容：平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共面向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1a2b，其中，e1，e2叫做
2、表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2二、平面向量的坐标表示及坐标运算1若a(3，2)，b(0，1)，则2ba的坐标是()A(3，4) B(3，4)C(3，4) D(3，4)2(2012高考广东卷)若向量(1，2)，(3，4)，则()A(4，6) B(4，6)C(2，2) D(2，2)3已知a(4，5)，b(8，y)且ab，则y等于()A5 B10C. D154已知A(2，0)，a(x3，x3y5)，若a，O为原点，则x_，y_答案：1.D2.A3.B4.12以上题目主要考查了以下内容：(1)向量的夹角定义：如图，两个非零向量a和b，作a，b，则向量a与b的夹角是AOB范围：向量a与
3、b的夹角的范围是0，180当0时，a与b同向当180时，a与b反向当90时，a与b垂直(2)平面向量的正交分解向量正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量平面向量的坐标表示在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，由平面向量基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，因此向量a的坐标是(x，y)，记作a(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y(3)平面向量坐标运算向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1
4、，y1)，|a|.向量坐标的求法a若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标b设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)|(4)平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.则abx1y2x2y10【指点迷津】1一种形式当基底e1，e2确定后，其它向量表示是唯一的2两点提醒(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.3三个结论(1)若a与b不共线，ab
5、0，则0.(2)已知(，为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是1.(3)平面向量的基底中一定不含零向量对应学生用书P71考向一平面向量基本定理及应用(2014山东高考信息优化卷)如图，在ABC中，设a，b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则()A.abB.abC.ab D.ab【审题视点】在QPR中，0，把、用，a，b表示，解出.【典例精讲】因为AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点为P，所以，b，()a.因为0，所以ba0，解得ab.【答案】C【类题通法】先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1如图，正方形ABCD中，点E是
6、DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么()A.B.C.D.解析：选D.在CEF中，有，因为点E为DC的中点，所以.因为点F为BC的一个三等分点，所以.所以.故选D.考向二平面向量的坐标运算已知O(0，0)，A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b.(1)求3ab3c.(2)求满足ambnc的实数m，n.(3)求M、N的坐标及向量的坐标【审题视点】利用向量的坐标运算及向量的坐标及其起点、终点坐标的关系求解【典例精讲】a(3(2)，14)(5，5)，b(33，4(1)(6，3)，c(2(3)，4(4)(1，8)(1)3ab3c(15，15)(6，3)(3，24)(15
7、63，15324)(6，42)(2)由ambnc得(5，5)(6m，3m)(n，8n)(6mn，3m8n)解得.(3)3c，3c(3，24)(3，4)(0，20)M(0，20)又2b，2b(12，6)(3，4)(9，2)，N(9，2)(9，18)【类题通法】1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化，将数与形结合起来，从而使几何问题可转化为数量运算2两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同此时注意方程(组)思想的应用3为了坐标运算，有时要建立坐标系，恰当地建立坐标2(2014成都市高三调研)设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足220，则的值等于_解析：根据题意暗示结果能得到定值，因此，可
8、以令三角形为等腰直角三角形(如图)，则根据重心坐标公式得重心G的坐标为(1，1)，根据220，可设P(x，y)，则有2(x3，y)2(x，y3)(4x6，4y6)(x，y)，所以x2，y2，所以P(2，2)，所以2.答案：2考向三平面向量平行的坐标表示及应用平面内给定三个向量a(3，2)，b(1，2)，c(4，1)，请解答下列问题：(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k；(3)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d.【审题视点】利用平行关系，建立含字母参数的实数方程求解【典例精讲】(1)由题意得(3，2)m(1，2)n(4，1)，所以，得.(2)akc(
9、34k，2k)，2ba(5，2)，(akc)(2ba)，2(34k)(5)(2k)0，k.(3)设d(x，y)，dc(x4，y1)，ab(2，4)，由题意得，解得或，d(3，1)或d(5，3)【类题通法】(1)一般地，在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入a即可得到所求的向量(2)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便3(2014山西省高三诊考)已知向量a(1，2)，b(2，m)，若ab，则|2a3b|()A.B4C3 D2解析：选B
10、.依题意得，故m4，2a3b2(1，2)3(2，4)(4，8)，故|2a3b|4，选B.对应学生用书P72平面坐标系中向量的坐标运算方法(2013高考北京卷)已知点A(1，1)，B(3，0)，C(2，1)若平面区域D由所有满足(12，01)的点P组成，则D的面积为_【方法分析】弄清题目条件和解题目标题目条件：已知基底，且可用，表示，对应一组数(，)，并知其范围，当、变化时，P点形成区域D.解题目标：确定区域D形状并求面积关系探索：()设出P(x，y)，由建立f(x，y)，g(x，y)，()由12，01，转化为P(x，y)的线性区域()利用图形特点求其面积【解答过程】设P(x，y)，则(x1，y
11、1)由题意知(2，1)，(1，2)由知(x1，y1)(2，1)(1，2)，即12，01，作出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M(4，2)，N(6，3)，故|MN|.又x2y0与x2y30之间的距离为d，故平面区域D的面积为S3.【答案】3【回归反思】此题实际上是借助向量坐标表示来研究线性规划区域，这一步转化是难点，为此首先设出P点坐标此题用(x，y)表示，即，求(x，y)的区域比用(，)表示x，y简单1(2013高考辽宁卷)已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量同方向的单位向量为()A.B.C. D.解析：选A.(3，4)，则与其同方向的单位向
12、量e(3，4).2(2012高考安徽卷)在平面直角坐标系中，点O(0，0)，P(6，8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(7，) B(7，)C(4，2) D(4，2)解析：选A.设xOP，则由题意知：xOQ(如图所示)，设点Q的坐标为(x，y)点P的坐标为(6，8)，(6，8)，且|10，cos ，sin .则coscos cos sin sin ，sinsin cos cos sin .又|10，x10cos107，y10sin10.点Q的坐标为(7，)3(2013高考四川卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_解析：画出矩形草图，利用向量加减运算及数量积运算直接求解如图所示，由于(3，1)，(2，k)，所以(1，k1)在矩形中，由得0，所以(3，1)(1，k1)0，即311(k1)0，解得k4.答案：44.(2013高考北京卷)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若cab(，R)，则_解析：建立平面直角坐标系，转化为向量的坐标运算求解以向量a的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，设一个小正方形网格的边长为1，则a(1，1)，b(6，2)，c(1，3)由cab，即(1，3)(1，1)(6，2)，得61，23，故2，则4.答案：4