1、第三章导数及其应用第二节导数的应用第5课时利用导数研究函数的零点问题1设函数f(x)x3bxc(b，cR)(1)若曲线f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y2x1，求b，c的值；(2)若b1，c，求证：f(x)在区间(1，2)内存在唯一零点解：(1)由题意得f(x)x2b，所以f(1)1b2，解得b1.又因为f(1)213，所以bc3，解得c.故b1，c.(2)证明：若b1，c，则f(x)x3x.因为f(1)f(2)10，所以f(x)在区间(1，2)内存在零点又当x(1，2)时，f(x)x210，所以f(x)在(1，2)上单调递增所以f(x)在区间(1，2)内存在唯一零点2已知函数f(x)
2、aln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数解：(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)()ln x，令f(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得0xe2，所以f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增(2)由(1)可知，f(x)minf(e2)a.()当a时，由f(x)f(e2)a0，得函数f(x)的零点个数为0；()当a时，因f(x)在(e2，)上是单调递增，在(0，e2)上单调递减，故当x(0，e2)(e2，)时，f(x)f(e2)0.此时，函数f(x)的零点个数为1.()当a时，f(x)mina0.a0时，因为当x(0，e2时，f(x
3、)aln xa0，所以，函数f(x)在区间(0，e2上无零点；另一方面，因为f(x)在e2，)单调递增，且f(e2)a0，由e2a(e2，)，且f(e2a)a(12ea)0，此时，函数f(x)在(e2，)上有且只有一个零点所以，当a0时，函数f(x)零点个数为1.0a时，因为f(x)在e2，)上单调递增，且f(1)a0，f(e2)a0，所以函数f(x)在区间(e2，)上有且只有一个零点；另一方面，因为f(x)在(0，e2上是单调递减，又e(0，e2)，且feaa0，(当x0时，exx2成立)此时，函数f(x)在(0，e2)上有且只有一个零点所以，当0a，函数f(x)的零点个数为2.综上所述，当
4、a时，f(x)的零点个数为0；当a时，或a0时，f(x)的零点个数为1；当0a时，f(x)的零点个数为2.3(2019届贵阳摸底)已知函数f(x)kxln x(k0)(1)若k1，求f(x)的单调区间；(2)(一题多解)若函数f(x)有且只有一个零点，求实数k的值解：(1)若k1，则f(x)xln x，定义域为(0，)，则f(x)1，由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1，所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)(2)解法一：由题意知，方程kxln x0仅有一个实根，由kxln x0，得k(x0)，令g(x)(x0)，则g(x)，令g(x)0，则xe；当0xe时，g
5、(x)0；当xe时，g(x)0.所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以g(x)maxg(e).当x时，g(x)0，当x0时，g(x).又k0，所以要使f(x)仅有一个零点，则k.解法二：因为f(x)kxln x，所以f(x)k(x0，k0)令f(x)0，则x；当0x时，f(x)0；当x，f(x)0.所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)minf1ln ，因为f(x)有且只有一个零点，所以1ln 0，即k.4已知函数f(x)xln xx2x(aR)(1)若曲线yf(x)在xe处的切线的斜率为1，求此切线的方程；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，求a的取
6、值范围；证明：x1x2x1x2.解：(1)因为f(x)ln xax，所以f(e)1ae1，解得a，则f(x)xln xx，所以f(e)e，故切点为(e，e)，所以曲线yf(x)在xe处的切线方程为xy0.(2)f(x)ln xax，令f(x)0，得a.令g(x)，则g(x)，且当0x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0.令g(x)0，得xe，且当0xe时，g(x)0；当xe时，g(x)0.故g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，)上单调递减，所以g(x)maxg(e).所以当a0时，f(x)有一个极值点；当0a时，f(x)有两个极值点；当a时，f(x)没有极值点综上，
7、a的取值范围是.证明：因为x1，x2是f(x)的两个极值点，所以即不妨设x1x2，则1x1e，x2e，因为g(x)在(e，)上单调递减，且x1x2x2e，所以，即a.由式可得，ln x1ln x2a(x1x2)，即a，结合式可得，所以x1x2x1x2.5(2020届洛阳市第一次联考)已知函数f(x)aln xx2(2a1)x，其中aR.(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的极值；(3)若函数f(x)有两个不同的零点，求a的取值范围解：(1)当a1时，f(x)ln xx2x(x0)，f(x)2x1，当f(x)1；当f(x)0时，0x1.函数f(x)的单调递减区间为(1，)，单调递增区间为(0，1)(2)f(x)的定义域是(0，)，f(x)2x(2a1)，若a0，则f(x)0，则由f(x)0，解得xa，当0x0，当xa时，f(x)0时，函数f(x)的极大值为f(a)a(ln aa1)，令g(x)ln xx1(x0)，则g(x)10，g(x)在(0，)上单调递增，又g(1)0，当0x1时，g(x)1时，g(x)0.()当01时，f(a)ag(a)0，fa2)，则h(x)10，h(x)在(2，)上单调递减，则h(3a1)ln 221时，函数f(x)恰有两个零点综上，函数f(x)有两个不同的零点时，实数a的取值范围为(1，)