1、数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数, 则A. B. C. D. 2. 唐代著名诗人杜牧在赤壁一诗中写有“东风不与周郎便, 铜雀春深锁二乔”,即杜牧认为, 如果没有东风, 那么东吴的二乔将会被曹操关进铜雀
2、台, 即赤壁之战东吴将输给曹操.那么在杜牧认为,“东风”是“赤壁之战东吴打败曹操”的A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知集合, 则A. B. C. D. 4. 小明通过调查研究发现,网络游戏王者荣耀每一局时长(单位：分钟)近似满足. 根据相关规定, 所有网络游戏企业仅可在周五、周六、周日和法定节假日每日 20 时至 21 时向末成年人提供 1 小时网络游戏服务. 小明还末成年, 他在周五晩上 20: 45 想打一局游戏, 那么根据他的调查结果, 他能正常打完一局比赛的概率为(参考数据: )A. 0.8414B. 0.1587C. 0.977
3、3D. 0.02285. 函数向右平移个单位之后, 关于轴对称, 则的最小值为A. 2B. 4C. 6D. 86. 甲和乙玩纸牌游戏, 已知甲手中有 2 张 10,4 张 3, 乙手里有 4 张 5 和 6 张 2 , 现从两人手中各随机抽取两张牌并交换给对方, 则交换之后甲手中牌的点数之和大于乙手中牌的点数之和的概率为A. B. C. D. 7. 已知两个正四棱锥底面重合, 且都内接于同一个球, 若两个正四棱锥的体积之比为1: 3, 则这两个正四棱锥侧面面积之比为A. B. C. D. 8. 已知, 则A. B. C. D. 二、多项选择题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20
4、 分. 在每小题给出的四个选项中, 有多 项符合题目要求, 全部选对得 5 分, 选对但不全的得 2 分, 有选错的得 0 分)9. 已知, 若, 则A. B. C. 1D. -110. 如图 1 所示, 在正方体中,为的中点, 则A. 平面B. 平面C. 平面平面D. 直线与平面所成角的余弦值为11. 极坐标是指在平面内取一个定点, 叫极点, 引一条射线, 叫做极轴, 再选定一个长度单位和角度的正方向 (通常取逆时针方向). 对于平面内任何一点, 用表示线段的长度,表示从到的角度, 有序数对就叫点的极坐标. 我们经常以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴, 从而可以进行直角坐标和极坐标的转化. 如
5、直角坐标(-1,1)的极坐标形式为, 极坐标方程的直角坐标方程为. 则以下说法正确的是A. 直角坐标(0,3)的极坐标为B. 极坐标的直角坐标为C. 直角坐标方程的极坐标方程D. 极坐标方程的直角坐标方程为12. 双曲线的方程为, 左、右焦点分别为, 过点作直线与双曲线的右半支交于点, 使得, 则A. B. 点的横坐标为C. 直线的斜率为或D. 的内切圆半径是三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13. 的展开式中的常数项为_.14. 已知圆和圆相交于两点, 若,则_(填一个答案即可).15. 函数的值域为_.16. 已知集合, 集合, 函数,且对于一切的, 都有, 则
6、满足条件的函数的个数为_.四、解答题（共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 10 分)已知数列的首项, 且满足.（1）求数列的通项公式;(2) 若, 数列中, 对任意的, 都有, 求数列的前项和.18. (本小题满分 12 分)如图 2, 在四棱锥中,底面,为线段上一点,.(1) 求证:;(2) 若为的中点, 求与平面所成角的正弦值.19. (本小题满分 12 分)已知在中,为边上的一点, 且满足.(1) 若, 求;(2) 求, 求.20. (本小题满分 12 分)小明将四件物品摆放在一起, 然后让小狗不放回地去依次取这四件物品, 若当次小狗取的物品和小
7、明给的指令一致, 则给小狗记 1 分, 若不一致则记 0 分. 如小狗取得物品的顺序为, 则小狗得 2 分. 显然小狗最低得 0 分, 最高得 4 分. 假设小狗是随机地取物品, 设它的得分为.(1) 求随机变量的分布列和数学期望;（2）若小明对小狗进行了辨别物品的训练之后, 再让小狗取物品, 当小狗连续两次得分都大于 2 分时, 小明认为自己的训练是卓有成效的. 请从概率学的角度解释小明这么认为是否合理.21. (本小题满分 12 分)已知为抛物线的焦点,是上一点,位于的上方且.(1) 求的方程;(2) 已知过焦点的直线交于 $A, B$ 两点, 若平分角, 求的方程.22. (本小题满分
8、12 分)已知函数.(1) 证明：当时,;(2) 若有最大值, 求的取值范围.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案BCCBBDAB【解析】1，故，故选B2杜牧认为没有东风，则赤壁之战东吴将输给曹操，则说明东风是打败曹操的必要条件但有了东风，若没有其他的地利人和，也未必能打败曹操，故东风不是充要条件，故选C3，由知道，可以取，又，故知，故选C4由题意知，故，故选B5，由题意知关于轴对称，则，即，又因为，故当时，有最小值4，故选B6一开始两人手中牌的点数之和是相等的，要想交换之后甲手中的牌点数之和更
9、大，则甲被抽取的两张牌的点数之和应更小若甲被抽取的两种牌中有点数为10的牌，则这两张牌的点数之和肯定更大，不合题意故甲只能被抽取两张3，故其抽取的两张牌的点数之和为6，而乙抽取的两张牌点数之和要大于6，则必然要至少有一张5综上，故选D7设两个正四棱锥分别为和，和的高分别为和，外接球半径为，则由题意知道故设与平面交点为，球心为，故，故，故设AB的中点为E，则，同理可得，故，故选A8构造函数，则，故函数在上单调递增，故，即，又，故构造函数，则，易知函数在处取得最大值，故，即，即，由前面知，故构造函数，则，故知函数在上单调递减，故，即，故，综上，故选B二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共2
10、0分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDACACDBCD【解析】9，由知道，即，解得或，故选BD10如图1，而平面，故平面，故A正确；显然与不垂直，故平面不可能成立，故B错误；易知平面，故有平面平面，故C正确；直线与平面所成角即为直线与平面的所成角，取BC的中点Q，易知，故由C选项知平面，故即为直线与平面的所成角，设正方体图1棱长为，则，故D错误综上，故选AC11由题意知道故A选项显然正确；对于B选项，故B错误；对于C选项，化为极坐标方程为，化简得，故C正确；对于D选项，则，故直角坐标方程为，即综上，故选A
11、CD图212如图2所示，由题意知解得故知A不正确，在中，由等面积法知，解得，代入双曲线方程得，又因为点A在双曲右支上，故，故B正确；由图知，由对称性可知，若点A在第四象限，则，故C正确；的内切圆半径，故D正确综上，故选BCD三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案或68【解析】13，故当时取得常数项，故常数项为14若，设圆心到直线的距离为，则两圆方程相减得直线AB的方程：，故圆心到直线的距离为，解得或15，令，则，则只需求函数在上的值域即可，故知函数在上单调递减，在上单调递增，上单调递减故极小值为，极大值为，又，故在上的值域为，即函数的值域为16考虑，显然可以
12、有四种结果，记其可以满足的结果数为，则，记中满足，都有的函数个数为考虑，当和时，的选取都各有两个；当和时，只有唯一的选择和，故以此类推，当和时，的选取都各有两个；当和时，只有唯一的选择和，设个函数中满足和的函数个数有个，满足和的函数个数有个，则对于这个函数，其中有一半会使得和，另一半使得和；而那个函数，必然使得和，故知由递推公式可得故满足条件的函数的个数为68四、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分10分）解：（1），又，故是以为首项，2为公比的等比数列，则（5分）（2）由题意可得：，是以4为首项，3为公差的等差数列，则故，得，（10分）18（本小题满分12
13、分）（1）证明：连接AM，DM，又，为菱形，又平面，平面，又，平面，（5分）（2）解：在中，故，又底面，建系如图3则，在底面中，令，由得，图3则，设平面的一个法向量为，则有得，设与平面所成角为，则，即为所求（12分）19（本小题满分12分）解：（1）在中，由余弦定理可得：，故，在中，故（5分）（2）设，则，设，则，在中，由勾股定理，即，在中，由余弦定理得，即，联立解得，故（12分）20（本小题满分12分）解：（1）X可能的取值为0，1，2，4（显然，若小狗取对了三件物品，则第四件物品也一定是取对的，故X不可能为3），故分布列为X0124P（8分）（2）小狗连续两次得分都大于2分，即小狗每一次都
14、得四分若小狗取物品都是随机的，那么连续两次得4分的概率仅为，这个概率非常小，所以小明认为小狗取物品应该不是随机的，是他对小狗的训练起了作用，这个认为是合理的（12分）21（本小题满分12分）解：（1）由是C上一点知：，故由抛物线定义可知：，化解得，解得或，又因为P位于F的上方，故，故，故抛物线方程为（4分）（2）由（1）知，显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，设点，联立得，故，若平分角，则，故，即，即，即，将代入化简得，即，因为，故，即，得，故直线的方程为（12分）22（本小题满分12分）（1）证明：当时，欲证，只需证，只需证，即证：，令，则，故知函数在上单调递增，在上单调递减，故，故，即，得证（5分）（2） 解：令，则，故知在上单调递增，在上单调递减，故，若，则恒成立，则在上单调递减，无最大值；若，则在上有两个零点，设为，且显然，故当时，故，函数此时单调递减同理可知函数在上单调递增，在上单调递减又，故有最大值等价于，故有化简得，解得，又，且在上单调递减，故，故；若，当时，显然无最大值，综上，（12分）