1、专题03 对角互补的三种模型对角互补模型：即四边形或多边形构成的几何图形中，相对的角互补。主要分为含90与120的两种对角互补类型。该题型常用到的辅助线主要是顶定点向两边做垂线，从而证明两个三角形全等或者相似.模型一、含90的全等型 1.如图，已知AOBDCE90，OC平分AOB.则可以得到如下几个结论：CDCE，ODOEOC，.2.如图，已知DCE的一边与AO的延长线交于点D，AOBDCE90，OC平分AOB.则可得到如下几个结论：CDCE，OEODOC，.例1.如图，在RtABC中，ABC90，AB3，BC4，RtMPN，MPN90，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE
2、2PF时，AP 【变式训练1】如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕O点旋转，证明：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个正方形重叠部分的面积总是一个定值，并求这个定值 【变式训练2】四边形ABCD被对角线BD分为等腰直角ABD和直角CBD，其中A和C都是直角，另一条对角线AC的长度为2，求四边形ABCD的面积【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，则点C的坐标为 .模型二、 含60与120的全等型如图，已知AOB2DCE120，OC平分AOB.则可得到如下几个结论
3、：CDCE，ODOEOC，.例.如图，在ABC中，ABAC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若A60，EDFA180，求证：. 【变式训练】在等边ABC中，点D是线段BC的中点，EDF120，射线DE与线段AB相交于点E，射线DF与线段AC（或AC的延长线）相交于点F.（1）如图1，若DFAC，直接写出DE与AB的位置关系；（2）如图2，将（1）中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F，求证：DEDF；（3）在EDF绕D顺时针旋转过程中，直接用等式表示线段BE、CF、AB之间的数量关系.模型三、 相似型例.【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是B
4、C上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN,连结CN求证：BMCN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BMCN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BABC,AB6,AC4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN,使顶角AMNABC连结CN试探究BM与CN的数量关系，并说明理由图1 图2 图3课后训练1如图所示，在四边形ABCD中，AD3,CD2,ABCACBADC45,则BD的长为_2、如图，在ABC中,ABC60,AB8，以AC为腰
5、，点A为顶点作等腰ACD,且DAC120,则BD的长为_. 3.如图，在矩形ABCD中，AB3，BC4，点E在对角线AC上，连接BE，作EFBE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则 .4.如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE4，CF3，且OEOF，求EF的长. 6.如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q.（1）如图1，当点Q在DC边上，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以说明；（2）如图2，当点Q落在DC延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想.
