1、专题04 半角模型与倍角模型模型一、正方形中含半角模型 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45，连接EF，过点A作AG于EF于点G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 例.如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在AB，AD上，若CE5，且ECF45，则CF的长为4【变式训练1】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的
2、数量关系 (3)如图3，直线AN与BC交于P点，MN=10，CN=6，MC=8，求CP的长【变式训练2】如图，在四边形ABCD中，ABAD，BCCD，ABCADC90，MANBAD（1）如图1，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明；（2）如图2，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、DN和MN之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；（3）如图3，将MAN绕着A点旋转，它的两边分别交边BC、CD的反向延长线于M、N，试判断这一过程中线段BM、D
3、N和MN之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明模型二、 等腰直角三角形角含半角模型如图，在ABC中，AB=AC，BAC=90，点D，E在BC上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2. 例.如图，已知ABC中，BAC=90，AB=AC,D,E是BC边上的点，将ABD绕点A旋转，得到ACD，当DAE=45时，求证：DE=DE；在（1）的条件下，猜想：BD2，DE2，CE2有怎样的数量关系？请写出，并说明理由.【变式训练1】在等腰RtABC中，CACB，ACB90，O为AB的中点，EOF45，交CA于F，交BC的延长线于E.（1）求证：EFCEAF；（2）如图2，当E在BC上，F在CA的
4、反向延长线上时，探究线段AF、CE、EF之间的数量关系，并证明.【变式训练2】如图所示，等腰直角ABC中，ACB90，E、F为AB上两点（E左F右），且ECF45，求证：【变式训练3】如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，BDC120，以D为顶点作一个60的角，使其两边分别交AB于M，交AC于N，连接MN，则AMN的周长是多少？模型三、 二倍角模型（1）作二倍角的平分线，构成等腰三角形.（2）延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.例.已知，求及的值（利用倍半角模型解题）.【变式训练1】如图，在正方形ABCD中，E为AD边上的中点，过点A作AFBE交CD
5、边于点F，M是AD边上一点，且BMDMCD.（1）求证：点F是CD边上的中点；（2）求证：MBC2ABE.【变式训练2】如图，在ABC中，BAC90，AB3，AC4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连接CE，求线段CE的长.课后训练1.如图，在ABC中，ACB90，D是AB边上的一点，M是CD的中点，若AMDBMD.求证：CDA2ACD.2.在ABC中，C90，AC8，AB10，点P在AC上，AP2，若的圆心在线段BP上，且与AB、AC都相切，试求的半径.3.如图，在四边形ABCD中，ABAD，BD180，E、F分别是边BC、CD上的点，且EAFBAD，求证：EFBEFD.4.
6、已知，在正方形ABCD中，MAN45，MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，当MAN绕点A旋转到BMDN时（如图1），易证BMDNMN.（1）当MAN绕点A旋转到BMDN时 （如图2），线段BM、DN、和MN之间有怎样的数量关系？猜想一下，并加以证明；（2）当MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM、DN和MN之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想.5.如图，在平面直角坐标系中，且.（1）求证：ABC是等边三角形；（2）如图2，A、B两点在轴上、轴上的位置不变，在线段AB上有两动点M、N，满足MON45，试猜想线段BM、AN、MN之间的数量关系，并证明你的结论.6.已知正方形，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交、于点M、N，于点H（1）如图，当时，可以通过证明，得到与的数量关系，这个数量关系是_；（2）如图，当时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？说明理由；（3）如图，已知中，于点H，求的长
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