1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3课时 函数的奇偶性与周期性第3页返回导航 数学 1函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有，那么函数f(x)就叫做奇函数都有，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于对称关于对称f(x)f(x)f(x)f(x)原点y轴第4页返回导航 数学 2函数的周期性(1)周期函数对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的
2、所有周期中存在一个的正数，那么这个就叫做 f(x)的最小正周期f(xT)f(x)最小最小正数第5页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 f(x)是定义在 R 上的奇函数，则 f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数 f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则 F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若 T 是函数的一个周期，则 nT(nZ，n0)也是函数的周期()(6)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为 2
3、a(a0)的周期函数()第6页返回导航 数学(7)函数 f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(8)若函数 yf(xa)是偶函数，则函数 yf(x)关于直线 xa 对称()(9)若函数 yf(xb)是奇函数，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称()(10)若某函数的图象关于 y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数()第7页返回导航 数学 考点一 判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断第8页返回导航 数学 例 1(1)下列函数为奇函数的是()Ay x ByexCycos xDyexex第9页返回导航 数学 解析：对于 A，定义域不关于原
4、点对称，故不符合要求；对于 B，f(x)f(x)，故不符合要求；对于 C，满足 f(x)f(x)，故不符合要求；对于 D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex 为奇函数，故选 D.答案：D第10页返回导航 数学(2)下列函数中为偶函数的是()Ay1xBylg|x|Cy(x1)2Dy2x第11页返回导航 数学 解析：根据奇、偶函数的定义，可得 A 是奇函数，B 是偶函数，C，D 为非奇非偶函数答案：B第12页返回导航 数学(3)函数 f(x)3x2 x23，则()A不具有奇偶性B只是奇函数C只是偶函数D既是奇函数又是偶函数第13页返回导航 数学 解析：由3x20，x230，得 x 3
5、或 x 3.函数 f(x)的定义域为 3，3对任意的 x 3，3，x 3，3，且 f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数答案：D第14页返回导航 数学 方法引航 判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：第15页返回导航 数学 2图象法：函数是奇偶函数的充要条件是它的图象关于原点y 轴对称.3性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；“奇偶”是奇，“奇偶”是奇.第16页返回导航 数学 判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1)1x1x；(2)f(x)lg1x1x.第17页返回导航 数学 解：(1
6、)要使函数有意义，则1x1x0，解得1x1，显然 f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由1x1x01x1，定义域关于原点对称又 f(x)lg1x1xlg1x1x1lg1x1xf(x)，f(x)f(x)故原函数是奇函数第18页返回导航 数学 考点二 函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值第19页返回导航 数学 例 2(1)下列函数不是周期函数的是()Aysin x By|sin x|Cysin|x|Dysin(x1)第20页返回导航 数学 解析：ysin x 与 ysin(x1)的周期 T2，B 的周期 T，C项 ysin|x|是偶
7、函数，x(0，)与 x(，0)图象不重复，无周期答案：C第21页返回导航 数学(2)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，若对于 x0，都有 f(x2)1fx，且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，则求 f(2 017)f(2 019)的值为_第22页返回导航 数学 解析：当 x0 时，f(x2)1fx，f(x4)f(x)，即 4 是 f(x)(x0)的一个周期f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)1f11，f(2 017)f(2 019)0.答案：0第23页返回导航 数学 方法引航 1利用周期 fxTfx将不在解析式范围之内的 x通过周期
8、变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值.1f x 2判断函数周期性的几个常用结论.第24页返回导航 数学 fxafx，则 fx为周期函数，周期 T2|a|.fxa 1f x a0，则函数 fx必为周期函数，2|a|是它的一个周期；fxa 1f x，则函数 fx必为周期函数，2|a|是它的一个周期.第25页返回导航 数学 1若将本例(2)中“f(x2)1fx”变为“f(x2)f(x)”，则f(2 017)f(2 019)_.第26页返回导航 数学 解析：由 f(x2)f(x)可知 T4，f(2 017)1，f(2 019)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：0第27页返回导航
9、数学 2若本例(2)条件变为 f(x)对于 xR，都有 f(x2)f(x)且当 x0,2)时，f(x)log2(x1)，求 f(2 017)f(2 019)的值第28页返回导航 数学 解：由 f(x2)f(x)，T2，f(2 019)f(1)log221，f(2 017)f(2 017)f(1)1，f(2 017)f(2 019)2.第29页返回导航 数学 考点三 函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值第30页返回导航 数学 例 3(1)若函数 f(x)2x12xa是奇函数，则使 f(x)3 成立的 x 的取值范围为()A(
10、，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)第31页返回导航 数学 解析：因为函数 yf(x)为奇函数，所以 f(x)f(x)，即2x12xa2x12xa.化简可得 a1，则2x12x13，即2x12x130，即2x132x12x10，故不等式可化为2x22x10，即 12x2，解得 0 x1，故选 C.答案：C第32页返回导航 数学(2)函数 f(x)axb1x2是定义在(1,1)上的奇函数，且 f12 25.确定函数 f(x)的解析式；用定义证明 f(x)在(1,1)上是增函数；解不等式 f(t1)f(t)0.第33页返回导航 数学 解：在 x(1,1)上 f(x)为奇函数，f(0)0，即 b
11、0f(x)ax1x2.又f12 25，a211425.解得，a1.第34页返回导航 数学 f(x)x1x2，经检验适合题意证明：由 f(x)1x22x21x22 1x21x22.x(1,1)时，1x20，f(x)0f(x)在(1,1)上为增函数第35页返回导航 数学 由 f(t1)f(t)0，得 f(t1)f(t)，即 f(t1)f(t)1t111t1t1t得 0t12.第36页返回导航 数学(3)已知 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)x3ln(1x)，则当 x0 时，f(x)()Ax3ln(1x)Bx3ln(1x)Cx3ln(1x)Dx3ln(1x)第37页返回导航 数学
12、解析：当 x0 时，x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)答案：C第38页返回导航 数学 方法引航 1根据奇偶性求解析式中的参数，是利用 fxfx或 fxfx在定义域内恒成立，建立参数关系.2根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.第39页返回导航 数学 1已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab的值是_第40页返回导航 数学 解析：a12a0，a13.f(x)ax2bx 为偶函数，则 b0，ab13.答案：13第41页返回导航 数学 2定义在 R 上的偶函数
13、yf(x)在0，)上递减，且 f12 0，则满足 f(x)0 的 x 的集合为()A.，12(2，)B.12，1(1,2)C.0，12(2，)D.12，1(2，)第42页返回导航 数学 解析：选 C.由题意可得 fx f(|x|)0f12，又 f(x)在0，)上递减，所以|x|12，即x12或x12，解得 0 x12或 x2，所以满足不等式 fx 0 的 x 的集合为0，12(2，)第43页返回导航 数学 3已知函数 f(x)xlog21x1x1，则 f12 f12 的值为()A2 B2C0 D2log213第44页返回导航 数学 解析：选 A.由题意知，f(x)1xlog21x1x，f(x)
14、1xlog21x1xxlog21x1x(f(x)1)，所以 f(x)1 为奇函数，则 f121f12 10，所以 f12 f12 2.第45页返回导航 数学 方法探究“多法并举”解决抽象函数性质问题典例(2017山东泰安模拟)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且 f(x)在1,0上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于 x1 对称；f(x)在 1,2 上是 减 函数；f(2)f(0)，其中 正确 命 题 的序 号 是_(请把正确命题的序号全部写出来)第46页返回导航 数学 第47页返回导航 数学 解析 第一步：f(xy
15、)f(x)f(y)对任意 x，yR 恒成立(赋值法)：令 xy0，f(0)0.令 xy0，yx，f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数第二步：f(x)在 x1,0上为增函数，又 f(x)为奇函数，f(x)在0,1上为增函数第48页返回导航 数学 第三步：由 f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，(代换法)周期 T4，即 f(x)为周期函数第四步：f(x2)f(x)f(x2)f(x)(代换法)又f(x)为奇函数，f(2x)f(x)，关于 x1 对称第49页返回导航 数学 第五步：由 f(x)在0,1上为增函数，又关于 x1 对称，1,2上为减函数(对称法)
16、第六步：由 f(x2)f(x)，令 x0 得 f(2)f(0)f(0)(赋值法)答案 第50页返回导航 数学 回顾反思 此题用图象法更直观第51页返回导航 数学 第52页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考课标全国卷)设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数第53页返回导航 数学 解析：选 C.由题意可知 f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项 A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以 f(x)g(
17、x)是奇函数，故 A 项错误；对于选项 B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故 B 项错误；对于选项 C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以 f(x)|g(x)|是奇函数，故 C 项正确；对于选项 D，|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故 D 项错误，选C.第54页返回导航 数学 2(2016高考山东卷)已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)x31；当1x1 时，f(x)f(x)；当 x12时，fx12 fx12.则 f(6)()A2 B1C0
18、 D2第55页返回导航 数学 解析：选 D.由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当 x12时，f(x1)f(x)，所以 f(6)f(511)f(1)而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2.故选 D.第56页返回导航 数学 3(2016高考四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时，f(x)4x，则 f52 f(1)_.第57页返回导航 数学 解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值f(x)为奇函数，周期为 2，f(1)f(12)f(1)f(1)，f(1)0.f(x)4x，x(0,1)，f52 f522 f12 f124122.
19、f52 f(1)2.答案：2第58页返回导航 数学 4(2015高考课标全国卷)若函数 f(x)xln(x ax2)为偶函数，则 a_.第59页返回导航 数学 解析：由题意得 f(x)xln(x ax2)f(x)xln(ax2x)，所以 ax2x1ax2x，解得 a1.答案：1第60页返回导航 数学 5(2014高考四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当x1,1)时，f(x)4x22，1x0，x，0 x1，则 f32 _.第61页返回导航 数学 解析：由已知易得 f12 412221，又由函数的周期为2，可得 f32 f12 1.答案：1第62页返回导航 数学 课时规范训练
