1、第5讲二次函数与幂函数1二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)ax2bxc(a0)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)ax2bxc(a0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0”；(2)“ax2bxc0(a0)恒成立”的充要条件是“a0且0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，)上单调递增；当0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，)上单调递减一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y2x是幂函数()(2)如果幂函数的图象
2、与坐标轴相交，则交点一定是原点()(3)当n0时，幂函数yxn是定义域上的减函数()(4)二次函数yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(5)二次函数yax2bxc，xR不可能是偶函数()(6)在yax2bxc(a0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏常见误区|(1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数单调性规律掌握不到位；(3)忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错；(4)对幂函数的概念理解不到位1如图，若a0，则函数yax2bx的大致图象是_(填序号)解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故不正确
3、又a0，所以二次函数图象的对称轴为x0，故正确答案：2若函数ymx2x2在3，)上是减函数，则m的取值范围是_解析：因为函数ymx2x2在3，)上是减函数，所以即m.答案：3已知函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，则a的取值范围是_解析：因为函数f(x)ax2x5的图象在x轴上方，所以解得a.答案：4当x(0，1)时，函数yxm的图象在直线yx的上方，则m的取值范围是_答案：(，1)幂函数的图象及性质(自主练透)1幂函数yf(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是()A偶函数，且在(0，)上是增函数B偶函数，且在(0，)上是减函数C奇函数，且在(0，)上是增函数D非奇非偶函数，且在(0，)
4、上是减函数解析：选C设幂函数f(x)x，代入点(3，)，得3，解得，所以f(x)x，可知函数为奇函数，在(0，)上单调递增2若幂函数yx1，yxm与yxn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A1m0n1B1n0mC1m0nD1n0m0时，yx在(0，)上为增函数，且01时，图象上凸，所以0m1；当0时，yx在(0，)上为减函数，不妨令x2，根据图象可得212n，所以1n0，综上所述，选D3若a，b，c，则a，b，c的大小关系是()Aabc BcabCbca Dbab，因为y是减函数，所以ac，所以bac.4若(a1)(32a)，则实数a的取值范围是_解析：易知函数yx的定义域为
5、0，)，在定义域内为增函数，所以解得1a4ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正确；对称轴为x1，即1，2ab0，错误；结合图象，当x1时，y0，即abc0，错误；由对称轴为x1知，b2a，又函数图象开口向下，所以a0，所以5a2a，即5ab，正确故选B【答案】B确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象反之，也可以从图象中得到如上信息 角度二二次函数的单
6、调性 函数f(x)ax2(a3)x1在区间1，)上是单调递减的，则实数a的取值范围是_【解析】当a0时，f(x)3x1在1，)上单调递减，满足条件当a0时，f(x)的对称轴为x，由f(x)在1，)上单调递减知解得3a0.综上，a的取值范围为3，0【答案】3，0【迁移探究】(变条件)若函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间是1，)，求a为何值？解：因为函数f(x)ax2(a3)x1的单调递减区间为1，)，所以解得a3.对于二次函数的单调性，关键是确定其图象的开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解 角度三二次函数的最值问题 设函数f(x)x22x2，xt，
7、t1，tR，求函数f(x)的最小值【解】f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tR，函数图象的对称轴为x1.当t11，即t1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间t，t1上为增函数，所以最小值f(t)t22t2.综上可知，f(x)min二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论 角度四一元二次不等式恒成立问题 (1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)xk在区间3，1上恒成立，则k的取值范围为_【解析】(1)作出二次
8、函数f(x)的草图，对于任意xm，m1，都有f(x)0，则有即解得mk在区间3，1上恒成立设g(x)x2x1，x3，1，则g(x)在3，1上递减所以g(x)ming(1)1.所以k0，则二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解析：选DA项，因为a0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故A错B项，因为a0，所以b0.又因为abc0，所以c0，故B错C项，因为a0，0.又因为abc0，所以c0，而f(0)c0，0，所以b0，所以c0，而f(0)c0，故选D2函数f(x)ax22x3在区间1，3上为增函数的充要条件是()Aa0 Ba0C0a Da1解析：选D当a0时，f(x)为减函数，不
9、符合题意；当a0时，函数f(x)ax22x3图象的对称轴为x，要使f(x)在区间1，3上为增函数，则或解得a1.故选D3已知a是实数，函数f(x)2ax22x3在x1，1上恒小于零，则实数a的取值范围为_解析：2ax22x30在1，1上恒成立当x0时，30，成立；当x0时，a，因为(，11，)，当x1时，右边取最小值，所以a0时，f(x)ax22x的图象开口向上且对称轴为x.当01，即0a1时，f(x)ax22x的对称轴在0，1的右侧，所以f(x)在0，1上单调递减所以f(x)minf(1)a2；(3)当a0时，f(x)ax22x的图象开口向下且对称轴x0时，函数f(x)在区间1，2上是增函数，最大值为f(2)8a14，解得a；(3)当a0时，函数f(x)在区间1，2上是减函数，最大值为f(1)1a4，解得a3.综上可知，a的值为或3.