1、第10讲函数与方程1函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数yf(x)，把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点(2)三个等价关系：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点2函数零点的判定如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是f(x)0的根我们把这一结论称为函数零点存在性定理3二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无
2、交点零点个数两个一个零个常用结论有关函数零点的三个结论1若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点()(2)函数yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)f(b)0.()(3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0时没有零点()(4)若函数f(x)在(a，b)上连续单调且f(a)f(b)0，得x2，所以函数f(x)的定义域为(2，)
3、，所以当f(x)0，即(x1)ln(x2)0时，解得x1(舍去)或x3.2函数f(x)x23x的零点是_解析：由f(x)0，得x23x0，即x0和x3.答案：0和33已知函数f(x)2axa3，若x0(1，1)，使得f(x0)0，则实数a的取值范围是_解析：依题意可得f(1)f(1)0，即(2aa3)(2aa3)0，解得a1.答案：(，3)(1，)函数零点所在区间的判断(自主练透)1设f(x)ln xx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选B因为f(1)ln 11210，f(2)ln 20，所以f(1)f(2)0，因为函数f(x)ln
4、 xx2的图象是连续的，且为单调递增函数，所以f(x)的零点所在的区间是(1，2)2若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间()A(a，b)和(b，c)内 B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析：选A因为abc，所以f(a)(ab)(ac)0，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0，由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内，故选A3设函数y1x3与y2的图象
5、的交点为(x0，y0)，若x0(n，n1)，nN，则x0所在的区间是_解析：令f(x)x3，则f(x0)0，易知f(x)为增函数，有f(1)0，所以x0所在的区间是(1，2)答案：(1，2)确定函数零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上(2)图象法：把方程转化为两个函数，看它的交点所在区间(3)利用函数零点的存在性定理：首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点(4)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断 函
6、数零点的个数(师生共研) (1)已知函数yf(x)的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x123456y124.4357414.556.7123.6则函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有()A2个B3个C4个 D5个(2)(一题多解)函数f(x)的零点个数为()A3 B2C1 D0【解析】(1)由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内均有零点，所以yf(x)在1，6上至少有3个零点故选B(2)方法一(方程法)：由f(x)0，得或解得x2或xe.因此函数f(x)共有2个零点方法二(图形法)：函数f(x)的图象如图所示，由图象知函数f(x)共
7、有2个零点【答案】(1)B(2)B判断函数零点个数的方法(1)解方程法：所对应方程f(x)0有几个不同的实数解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数 1已知函数f(x)则f(x)的零点个数为()A0 B1C2 D3解析：选C当x1时，令f(x)ln(x1)0，得x2；当x1时，令f(x)2x110，得x1.故选C2设函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：选C
8、因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)exx30.则exx3.分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，)上有一个零点又根据对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为3.函数零点的应用(多维探究)角度一根据函数零点个数或存在情况求参数范围 (1)函数f(x)x2ax1在区间上有零点，则实数a的取值范围是()A(2，) B2，)C D(2)(2020郑州模拟)已知函数f(x) (aR)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是()A(0，1 B1，)C
9、(0，1) D(，1【解析】(1)由题意知方程axx21在上有解，即ax在上有解，设tx，x，则t的取值范围是.所以实数a的取值范围是.(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示，因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(，0和(0，)上各有一个零点当x0时，f(x)有一个零点，需a01a，即00时，f(x)有一个零点，需a0，综上，0a1，故选A【答案】(1)D(2)A已知函数零点个数或存在情况求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决(3)数形结合法：先对解析式变形，在
10、同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解 角度二根据函数零点的范围求参数 (1)若函数f(x)(m2)x2mx(2m1)的两个零点分别在区间(1，0)和(1，2)内，则m的取值范围是_(2)若函数f(x)4x2xa，x1，1有零点，则实数a的取值范围是_【解析】(1)依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足即解得m0m，且f(2)f(2)(8m1)(8m3)0，解得m，且m0.综上，m的取值范围是.故选D2已知函数f(x)则使函数g(x)f(x)xm有零点的实数m的取值范围是()A0，1) B(，1)C(，1(2，) D(，0(1，)解析：选D函数g(x)f(x)xm的零点
11、就是方程f(x)xm的根，画出h(x)f(x)x的大致图象(图略)观察它与直线ym的交点，得知当m0或m1时，有交点，即函数g(x)f(x)xm有零点3已知函数f(x)与g(x)1sin x，则函数F(x)f(x)g(x)在区间2，6上所有零点的和为()A4 B8C12 D16解析：选DF(x)f(x)g(x)在区间2，6上所有零点的和等于函数g(x)，f(x)在区间2，6的图象交点横坐标的和，画出函数g(x)，f(x)的图象，注意到函数g(x)，f(x)的图象关于点(2，1)对称，则F(x)0共有8个零点，其和为16.故选D核心素养系列3直观想象利用图形快速解决几类常见问题直观想象是指借助几
12、何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路一、利用图形研究函数的性质 设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0，1时，f(x)，则下列命题：2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1，2)上单调递减，在(2，3)上单调递增；函数f(x)的最大值是1，最小值是0；当x(3，4)时，f(x).其中正确的命题是_(填序号)【解析】由已知条件得f(x2)f(x)，则y
13、f(x)是以2为周期的周期函数，正确；当1x0时，0x1，f(x)f(x)，函数yf(x)的部分图象如图所示，由图象知正确，不正确；当3x4时，1x40，f(x)f(x4)，因此正确，故正确命题的序号为.【答案】作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论 二、利用图形解不等式 使log2(x)x1成立的x的取值范围是_【解析】在同一直角坐标系内作出ylog2(x)，yx1的图象，知满足条件的x(1，0)【答案】(1，0)f(x)，g(x)之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和
14、图象的相对位置确定所求不等式的解集 三、利用图形求解不等式中的参数范围 若不等式|x2a|xa1对xR恒成立，则a的取值范围是_【解析】作出y|x2a|和yxa1的简图，依题意知应有2a22a，故a.【答案】对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围 四、利用图形研究零点问题 已知函数f(x)2xx，g(x)log3xx，h(x)x的零点依次为a，b，c，则()AabcBcbaCcab Dbac【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y2x，ylog3x，y的图象，如图，观察它们与yx的交点可知abc，故选A【答案】A零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解