1、第1讲集合及其运算1集合与元素(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR注意N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.2集合间的基本关系表示关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同AB3.集合的基本运算集合
2、的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU且xA4.集合的运算性质(1)AAA，A，ABBA.(2)AAA，AA，ABBA.(3)A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.常用结论(1)对于有限集合A，其元素个数为n，则集合A的子集个数为2n，真子集个数为2n1，非空真子集个数为2n2.(2)ABABAABBUAUB.(3)U(AB)(UA)(UB)，U(AB)(UA)(UB)一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2，10，1，则x0，1.()(3)x|x1t|t1()(4
3、)对于任意两个集合A，B，(AB)(AB)恒成立()(5)若ABAC，则BC.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏常见误区|(1)忽视集合中元素的互异性致误；(2)忽视空集的情况致误；(3)忽视区间端点值致误1已知集合A1，3，B1，m，若BA，则m_解析：因为BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，根据集合元素的互异性可知，m1，所以m0或3.答案：0或32已知集合Mx|x20，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是_解析：易得M2因为MNN，所以NM，所以N或NM，所以a0或a.答案：0或3已知集合Ax|x24x30，Bx|2x4，则AB_，AB_，(RA)B_解析：由已
4、知得Ax|1x3，Bx|2x4，所以ABx|2x3，ABx|1x4，(R A)Bx|x1或x2答案：(2，3)(1，4)(，1(2，)集合的概念(自主练透)1设集合A0，1，2，3，Bx|xA，1xA，则集合B中元素的个数为()A1B2C3 D4解析：选A若xB，则xA，故x只可能是0，1，2，3，当0B时，101A；当1B时，1(1)2A；当2B时，1(2)3A；当3B时，1(3)4A，所以B3，故集合B中元素的个数为1.2已知集合Ax|xZ，且Z，则集合A中的元素个数为()A2 B3C4 D5解析：选C因为Z，所以2x的取值有3，1，1，3，又因为xZ，所以x的值分别为5，3，1，1，故集
5、合A中的元素个数为4.3已知集合Am2，2m2m，若3A，则m的值为_解析：由题意得m23或2m2m3，则m1或m.当m1时，m23且2m2m3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，符合题意，故m.答案：4设a，bR，集合1，ab，a，则ba_解析：因为1，ab，a，a0，所以ab0，则1，所以a1，b1.所以ba2.答案：2解决集合概念问题的3个关键点(1)确定构成集合的元素；(2)确定元素的限制条件；(3)根据元素特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题提醒含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性 集合的基本关系(典例迁移) (1)
6、已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则()ABABABCAB DBA(2)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2C3 D4(3)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_【解析】(1)由x23x20得x1或x2，所以A1，2由题意知B1，2，3，4，比较A，B中的元素可知AB，故选C(2)因为A1，2，B1，2，3，4，ACB，则集合C可以为1，2，1，2，3，1，2，4，1，2，3，4，共4个(3)因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2.若B，则解得2m3.由可得，符合题意的实数
7、m的取值范围为m3.【答案】(1)C(2)D(3)(，3【迁移探究1】(变条件)本例(3)中，若BA，求m的取值范围？解：因为BA，若B，成立，此时m2.若B，则且边界点不能同时取得，解得2m3.综合，m的取值范围为(，3【迁移探究2】(变条件)本例(3)中，若AB，求m的取值范围解：若AB，则即所以m的取值范围为.【迁移探究3】(变条件)若将本例(3)中的集合A改为Ax|x5，试求m的取值范围解：因为BA，所以当B时，2m1m1，即m4.综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，)提醒题目中若有条件BA，则应分B和B两种情况进行分类讨论 1设集合Mx|x2x0，N，则()AMN BNMCMN
8、 DMNR解析：选C集合Mx|x2x0x|x1或x1或x0，所以MN.故答案为C2设M为非空的数集，M1，2，3，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有()A6个 B5个C4个 D3个解析：选A由题意知，M1，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3，共6个3若集合A1，2，Bx|x2mx10，xR，且BA，则实数m的取值范围为_解析：若B，则m240，解得2m2，符合题意；若1B，则12m10，解得m2，此时B1，符合题意；若2B，则222m10，解得m，此时B，不合题意综上所述，实数m的取值范围为2，2)答案：2，2)集合的基本运算(多维探究)角度一集合的运算 (1)(2020高考全
9、国卷)已知集合Ax|x23x40，B4，1，3，5，则AB()A4，1B1，5C3，5 D1，3(2)(2021东北三校第一次联考)已知全集UR，集合Ax|x22x30，B，则U(AB)()A(，1)(3，) B(，13，)C3，) D(，11，)(3)(2020高考全国卷)已知集合A(x，y)|x，yN*，yx，B(x，y)|xy8，则AB中元素的个数为()A2 B3C4 D6【解析】(1)方法一：由x23x40，得1x4，即集合Ax|1x0，所以4A，故排除A；又123140，所以1A，则1(AB)，故排除C；又323340，所以5A，5(AB)，排除C故选D(2)由已知，得Ax|1x3，
10、Bx|0x1，所以ABx|1x3，所以U(AB)x|x1或x3，故选B(3)由题意得，AB(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)，所以AB中元素的个数为4，选C【答案】(1)D(2)B(3)C集合运算的常用方法(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况角度二利用集合的运算求参数 (1)(2020高考全国卷)设集合Ax|x240，Bx|2xa0，且ABx|2x1，则a()A4 B2C2 D4(2)(2021福州市适应性考试)已知集合A(x，y)|2xy0，B(x，y)|xmy10若AB，则实数m()A2 BC D2
11、【解析】(1)方法一：易知Ax|2x2，Bx|x，因为ABx|2x1，所以1，解得a2.故选B方法二：由题意得Ax|2x2若a4，则Bx|x2，又Ax|2x2，所以ABx|2x2，不满足题意，排除A；若a2，则Bx|x1，又Ax|2x2，所以ABx|2x1，满足题意；若a2，则Bx|x1，又Ax|2x2，所以ABx|2x1，不满足题意，排除C；若a4，则Bx|x2，又Ax|2x2，所以ABx|x2，不满足题意故选B(2)因为AB，所以直线2xy0与直线xmy10平行，所以m，故选C【答案】(1)B(2)C利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法(1)对于与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要
12、注意端点值能否取到；(2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解提醒在求出参数后，注意对结果的验证(满足互异性)1(2021河北九校第二次联考)已知集合Ax|x2x20，xZ，By|y2x，xA，则AB()A1 B0，1，2C D0，1，2，4解析：选BAx|1x2，xZ0，1，By|y2x，xA1，2，所以AB0，1，2，故选B2(2021四省八校第二次质量检测)若全集UR，集合A(，1)(4，)，Bx|x|2，则如图阴影部分所表示的集合为()Ax|2x4 Bx|x2或x4Cx|2x1 Dx|1x2解析：选DUAx|1x4，Bx|2x2，则所求阴影
13、部分所表示的集合为C，则C(UA)Bx|1x23(2021广东省七校联考)设集合A1，2，4，Bx|x24xm0，若AB1，则B()A1，3 B1，0C1，3 D1，5解析：选C由题意可得14m0，解得m3，所以Bx|x24x301，3，故选C核心素养系列1数学抽象集合的新定义问题以集合为背景的新定义问题常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题只是以集合为依托，考查考生对新概念的理解，充分体现了核心素养中的数学抽象 若集合A具有以下性质：(1)0A，1A；(2)若xA，yA，则xyA，且x0时，A.则称集合A是“好集”给出下列说法：集合B1，0，1是“好集”；有理数集Q
14、是“好集”设集合A是“好集”，若xA，yA，则xyA.其中，正确说法的个数是()A0B1C2 D3【解析】集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为1B，1B，所以112B，这与2B矛盾有理数集Q是“好集”，因为0Q，1Q，对任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0时，Q，所以有理数集Q是“好集”因为集合A是“好集”，则0A，由性质(2)知，若yA，则0yA，知yA，因此x(y)xyA，所以正确故正确的说法是.故选C【答案】C解决集合的新定义问题的两个切入点(1)正确理解新定义这类问题不是简单的考查集合的概念或性质问题，而是以集合为载体的有关新定义问题常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等；(
15、2)合理利用集合性质运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，但关键之处还是合理利用集合的运算与性质 1如果集合A满足若xA，则xA，那么就称集合A为“对称集合”已知集合A2x，0，x2x，且A是对称集合，集合B是自然数集，则AB_解析：由题意可知2xx2x，所以x0或x3.而当x0时不符合元素的互异性，所以舍去当x3时，A6，0，6，所以AB0，6答案：0，62设A，B是非空集合，定义ABx|xAB且xAB已知集合Ax|0x2，By|y0，则AB_解析：由已知Ax|0x2，By|y0，又因为新定义ABx|xAB且xAB，结合数轴得AB02，)答案：02，)