1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第11课时 导数与函数的单调性、极值、最值第3页返回导航 数学 1函数的单调性与导数在(a,b)内的可导函数 f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0.f(x)0f(x)在(a,b)上为f(x)0f(x)在(a,b)上为增函数减函数第4页返回导航 数学 2函数的极值与导数(1)函数的极小值函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近的其他点的函数值都小,f(a)0,而且在点 xa 附近的左侧,右侧,则点 a 叫做函数 yf(x)的极小值点,f(a)叫做函数yf
2、(x)的极小值f(x)0f(x)0第5页返回导航 数学(2)函数的极大值函数 yf(x)在点 xb 的函数值 f(b)比它在点 xb 附近的其他点的函数值都大,f(b)0,而且在点 xb 附近的左侧,右侧,则点 b 叫做函数 yf(x)的极大值点,f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点和极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值f(x)0f(x)0第6页返回导航 数学 3函数的最值与导数(1)在闭区间a,b上连续的函数 f(x)在a,b上必有最大值与最小值(2)若函数 f(x)在a,b上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数 f(x)在a,b上单调递减,则为函数的最大值,为
3、函数的最小值f(a)f(b)f(a)f(b)第7页返回导航 数学(3)设函数 f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求 f(x)在a,b上的最大值和最小值的步骤如下:求 f(x)在(a,b)内的;将 f(x)的各极值与进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值极值f(a),f(b)第8页返回导航 数学 4判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)f(x)0 是 f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小,函数的变化越慢,函数的图象就越“平缓”()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数 f(x),f(x0)0 是 x0 点为极值点的充要条件()
4、(5)函数的极大值一定是函数的最大值()第9页返回导航 数学(6)开区间上的单调连续函数无最值()(7)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的()(8)闭区间上的连续函数一定有最大值,也有最小值()(9)函数 f(x)3xb,在m,n上的极大值点为 m.()(10)函数 f(x)x21,其极值点为12,0.()第10页返回导航 数学 考点一 利用导数研究函数的单调性命题点1.判断函数的单调性2.求函数的单调区间3.利用导数与单调性的关系求参数第11页返回导航 数学 例 1(1)函数 f(x)1xsin x 在(0,2)上是()A增函数B减函数C在(0,)上增,在(,2)上减D在(0,)上减,在
5、(,2)上增第12页返回导航 数学 解析:f(x)1cos x0 恒成立,f(x)在 R 上递增,在(0,2)上为增函数答案:A第13页返回导航 数学(2)设函数 f(x)13x3(1a)x24ax24a,其中常数 a1,则 f(x)的单调减区间为_第14页返回导航 数学 解析:f(x)x22(1a)x4a(x2)(x2a),由 a1 知,当 x2 时,f(x)0,故 f(x)在区间(,2)上是增函数;当 2x2a 时,f(x)0,故 f(x)在区间(2,2a)上是减函数;第15页返回导航 数学 当 x2a 时,f(x)0,故 f(x)在区间(2a,)上是增函数综上,当 a1 时,f(x)在区
6、间(,2)和(2a,)上是增函数,在区间(2,2a)上是减函数答案:(2,2a)第16页返回导航 数学(3)函数 f(x)x3ax为 R上增函数的一个充分不必要条件是()Aa0 Ba0Ca0 Da0第17页返回导航 数学 解析:函数 f(x)x3ax 为 R 上增函数的一个充分不必要条件是f(x)3x2a0 在 R 上恒成立,所以 a(3x2)min.因为(3x2)min0,所以 a0.故选 B.答案:B第18页返回导航 数学 方法引航 1利用导数的符号来判断函数的单调性;2已知函数的单调性求函数范围可以转化为不等式恒成立问题;3fx为增函数的充要条件是对任意的 xa,b都有 fx0 且在a,
7、b内的任一非空子区间上 fx0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解.第19页返回导航 数学 1若将本例(2)改为已知函数 f(x)13x3(1a)x24ax24a.(aR),求 f(x)的单调区间第20页返回导航 数学 解:xR,f(x)x22(1a)x4a(x2a)(x2),令 f(x)0,得 x12a,x22,当 2a2,即 a1 时由 f(x)0 得 x2a 或 x2;由 f(x)0 得 2x2a.当 2a2,即 a1 时,f(x)0 恒成立;当 2a2,即 a1 时,由 f(x)0 得 x2 或 x2a;由 f(x)0 得 2ax2.第21页返回导航 数学 综上所述,当 a1 时
8、,增区间为(2a,),(,2);减区间为(2,2a)当 a1 时,增区间为(,),无减区间当 a1 时,增区间为(,2a),(2,),减区间为(2a,2)第22页返回导航 数学 2若函数 f(x)13x332x2ax4 恰在1,4上单调递减,则实数a 的值为_第23页返回导航 数学 解析:f(x)13x332x2ax4,f(x)x23xa,又函数 f(x)恰在1,4上单调递减,1,4是 f(x)0 的两根,a(1)44.答案:4第24页返回导航 数学 考点二 利用导数求函数的极值命题点1.求函数的极值2.已知极值求参数第25页返回导航 数学 例 2(1)求函数 f(x)x22mln x(m0)
9、的极值第26页返回导航 数学 解:由条件知函数 f(x)的定义域为(0,)因为 m0,则 f(x)2x mx mx.当 x 变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:第27页返回导航 数学 x(0,m)m(m,)f(x)0f(x)极小值由上表可知,函数 f(x)的单调递减区间是(0,m),单调递增区间是(m,)当 x m时,f(x)极小值(m)22mln mmmln(m)第28页返回导航 数学(2)已知 a,b 是实数,1 和1 是函数 f(x)x3ax2bx 的两个极值点求 a 和 b 的值;设函数 g(x)的导函数 g(x)f(x)2,求 g(x)的极值点第29页返回导航 数学 解:由题
10、设知 f(x)3x22axb,且 f(1)32ab0,f(1)32ab0.解得 a0,b3.由(1)知 f(x)x33x.因为 f(x)2(x1)2(x2),所以 g(x)0 的根为 x1x21,x32,于是函数 g(x)的极值点只可能是 1或2.当 x2 时,g(x)0;当2x1 时,g(x)0,故2 是g(x)的极值点当2x1 或 x1 时,g(x)0,故 1 不是 g(x)的极值点所以 g(x)的极值点为2.第30页返回导航 数学 方法引航 1.求可导函数 f(x)的极值的步骤(1)确定函数的定义区间,求导函数 f(x);(2)求方程 f(x)0 的根;(3)用函数的导数值为 0 的点,
11、顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间,并列成表格检查在方程根的左右 f(x)的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值如果函数在某些点处连续但不可导,也需要考虑这些点是否是极值点第31页返回导航 数学 2已知极值求参数时,要注意检验所求是否有极值的条件第32页返回导航 数学 1若本例(1)中函数不变,m 变为“m0”,其极值如何第33页返回导航 数学 解:当 m0 时,f(x)x2,在(,0),f(x)为减函数,(0,)为增函数,当 x0 时,f(x)极小值为 0,无极大值
12、当 m0 时,f(x)2x2mx 0 恒成立f(x)在(0,)上为增函数,无极值第34页返回导航 数学 2若本例(2)改为已知函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极值10,则 f(2)等于()A11 或 18 B11C18 D17 或 18第35页返回导航 数学 解析:选 C.函数 f(x)x3ax2bxa2 在 x1 处有极值 10,f(1)10,且 f(1)0,即1aba210,32ab0,解得a3,b3,或a4,b11.而当a3,b3时,函数在 x1 处无极值,故舍去f(x)x34x211x16,f(2)18.第36页返回导航 数学 考点三 利用导数求函数的最值命题点1.求函
13、数的最值2.利用最值求参数第37页返回导航 数学 例 3(1)已知函数 f(x)ex,g(x)ln x1,对aR,b(0,),使得 f(a)g(b),则 ba 的最小值为()A1 B2C2 e1 De21第38页返回导航 数学 解析:设 f(a)g(b)t,即 ealn b1t(t0),所以 aln t,bet1,则 baet1ln th(t),h(t)ete 1tet11t,令h(t)0,得 t1,可判断 t1 为函数 h(t)的极小值点,所以所求的最小值为 h(1)1.答案:A第39页返回导航 数学(2)设函数 f(x)xexxa2x1 2.若 a1,求 f(x)的单调区间;当 x0 时,
14、f(x)x2x2 恒成立,求 a 的取值范围第40页返回导航 数学 解:a1,f(x)xexx12x1 2xex12x2x2,f(x)(ex1)(x1),当1x0 时,f(x)0;当 x1 或 x0 时,f(x)0,f(x)在1,0上单调递减,在(,1,0,)上单调递增由 f(x)x2x2,得 xexa22 x 0,即要满足exa22 x,第41页返回导航 数学 当 x0 时,显然成立;当 x0 时,即exxa22,记 g(x)exx,则 g(x)exx1x2,易知 g(x)的最小值为 g(1)e,a22 e,得a2(e1)第42页返回导航 数学 方法引航 设函数 fx在a,b上连续,在a,b
15、内可导,则求 fx在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:1求 fx在a,b内的极值,若函数 fx中含有参数,则需要讨论参数的范围,从而决定极值存在的位置;2将 fx的各极值与 fa、fb比较,得出函数 fx在a,b上的最值.第43页返回导航 数学 1函数 f(x)x33x23x4 在0,2上的最小值是()A173 B103C4 D643第44页返回导航 数学 解析:选 A.f(x)x22x3,令 f(x)0 得 x1(x3 舍去),又 f(0)4,f(1)173,f(2)103.故 f(x)在0,2上的最小值是 f(1)173.第45页返回导航 数学 2设函数 f(x)x3x222x5,若对任
16、意的 x1,2,都有 f(x)a,则实数 a 的取值范围是_第46页返回导航 数学 解析:f(x)3x2x2,令 f(x)0,得 3x2x20,解得 x1 或 x23,又 f(1)72,f23 15727,f(1)112,f(2)7,故 f(x)min72,a72.答案:,72第47页返回导航 数学 规范答题用导数研究函数单调性和极值典例(2017山东济南模拟)(本小题满分 13 分)已知函数 f(x)exaxa(aR 且 a0)(1)若函数 f(x)在 x0 处取得极值,求实数 a 的值;并求此时 f(x)在2,1上的最大值;(2)若函数 f(x)不存在零点,求实数 a 的取值范围第48页返
17、回导航 数学 解(1)函数 f(x)的定义域为 R,f(x)exa,1 分f(0)e0a0,a1.2 分f(x)ex1,在(,0)上 f(x)0,f(x)单调递减,在(0,)上 f(x)0,f(x)单调递增,当 x0 时,f(x)取极小值a1.3 分易知 f(x)在2,0上单调递减,在(0,1上 f(x)单调递增,且 f(2)1e23,f(1)e,f(2)f(1).4 分第49页返回导航 数学 f(x)在2,1的最大值为1e23.5 分(2)f(x)exa,由于 ex0.当 a0 时,f(x)0,f(x)是增函数,7 分且当 x1 时,f(x)exa(x1)0.8 分当 x0 时,取 x1a,
18、则 f1a 1a1a1 a0,函数 f(x)存在零点,不满足题意.9 分第50页返回导航 数学 当 a0 时,令 f(x)exa0,xln(a)在(,ln(a)上 f(x)0,f(x)单调递减,在(ln(a),)上 f(x)0,f(x)单调递增,xln(a)时,f(x)取最小值.11 分函数 f(x)不存在零点,等价于 f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0,解得e2a0.综上所述,所求的实数 a 的取值范围是e2a0.13 分第51页返回导航 数学 规范建议(1)正确求导和 f(0)(2)通过极值并检验 a 的值(3)利用单调变化求最大值(4)讨论 a,确定单调变化与最值
19、,构建关于 a 的不等式(5)注意(1)与(2)两问无关系第52页返回导航 数学 第53页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国乙卷)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(,)单调递增,则 a 的取值范围是()A1,1 B.1,13C.13,13D.1,13第54页返回导航 数学 解析:选 C.f(x)123cos 2xacos x123(2cos2x1)acos x43cos2xacos x53f(x)在 R 上单调递增,则 f(x)0 在 R 上恒成立,令 cos xt,t1,1,则43t2at530 在1,1上恒成立,即 4t23at50 在1,1上恒成立,令 g
20、(t)4t23at5,则g143a50,g143a50,解得13a13,故选 C.第55页返回导航 数学 2(2014高考课标卷)设函数 f(x)aln x1a2 x2bx(a1),曲线 yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为 0.(1)求 b;(2)若存在 x01,使得 f(x0)aa1,求 a 的取值范围第56页返回导航 数学 解:(1)f(x)ax(1a)xb.由题设知 f(1)0,解得 b1.(2)f(x)的定义域为(0,),由(1)知,f(x)aln x1a2 x2x,f(x)ax(1a)x11axx a1a(x1)()若 a12,则 a1a1,故当 x(1,)时,f(x)0,f
21、(x)在(1,)上单调递增第57页返回导航 数学 所以,存在 x01,使得 f(x0)aa1的充要条件为 f(1)aa1,即1a2 1 aa1,解得 21a 21.()若12a1,则 a1a1,故当 x1,a1a 时,f(x)0;当xa1a,时,f(x)0.f(x)在1,a1a 上单调递减,在a1a,上单调递增第58页返回导航 数学 所以,存在 x01,使得 f(x0)aa1的充要条件为 fa1a aa1.而 fa1a aln a1aa221a aa1 aa1,所以不合题意()若 a1,则 f(1)1a2 1a12 aa1.综上,a 的取值范围是(21,21)(1,)第59页返回导航 数学 3
22、(2013高考课标全国卷)已知函数 f(x)ex(axb)x24x,曲线 yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a,b 的值;(2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值第60页返回导航 数学 解:(1)f(x)ex(axab)2x4.由已知得 f(0)4,f(0)4,故 b4,ab8.从而 a4,b4.(2)由(1)知 f(x)4ex(x1)x24x,f(x)4ex(x2)2x44(x2)ex12.第61页返回导航 数学 令 f(x)0,得 xln 2 或 x2.从而当 x(,2)(ln 2,)时,f(x)0;当 x(2,ln 2)时,f(x)0.故 f(x)在(,2),(ln 2,)上单调递增,在(2,ln 2)上单调递减当 x2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(2)4(1e2)第62页返回导航 数学 课时规范训练