1、宁夏六盘山高级中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题一、选择題：本大題共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念，两个集合的交集表示的是两者公共的元素，即表示内大于的整数，由此求得两个集合的交集，并得出正确选项.【详解】表示两个集合的交集，即表示内大于的整数，故，故选C.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的概念以及交集的求解，考查区间的定义以及整数集符号的识别，属于基础题.2.复数在复平面内对应的点位于A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第
2、四象限【答案】D【解析】【分析】直接由复数的乘法运算化简，求出z对应点的坐标，则答案可求【详解】复数.对应的点为，位于第四象限.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘法运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3.在中，角的对边分别为，且，则（ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理，求得的值，由此求得的大小，从而得出正确选项.【详解】由正弦定理得，即，解得，故或，所以选D.【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.4.已知向量，若，则（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出 ，利用向量垂直
3、数量积为零列方程求解即可.【详解】由，得 ，若，则，所以.故选B.【点睛】利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.5.己知双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的 离心率为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求得渐近线的斜率，在利用离心率公式求得双曲线的离心率.【详解】由于渐近线和直线平行，故渐近线的斜率，所以双曲线的离心率为，故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线离心率的求法，考查两条直线平行的条件，考查化归与转化的数学思想方法以及运算求解能力，属于基础题.两条直线平行，那
4、么它们的斜率相等，截距不相等.双曲线的离心率公式除了以外，还可以转化为来求解出来.6.设等比数列前项和为，若,，则（ ）A. 8 B. 16 C. 32 D. 79【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质可知成等比数列，通过这个数列的前项求得公比，进而求得即的值.【详解】由于数列是等比数列，故有成等比数列，而，故这个数列的公比为，首项为，所以，故选B.【点睛】本小题主要考查等比数列的性质，属于基础题.若一个数列是等比数列，则也成等比数列.同样，如果一个数列是等差数列，则也成等差数列.要熟练记忆一些有关等差数列和等比数列的性质，对于解题有很大的帮助.7.函数f(x)= 的大致图像为（ ）A.
5、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】此题主要利用排除法，当时，可得，故可排除C，D，当时，可排除选项B，故可得答案.【详解】当时，故可排除C，D选项；当时，故可排除B选项，故选A.【点睛】本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗:“我有一壶酒，携着C开游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶
6、中， 当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的时，则一开始输入的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】将输入的代入程序，运算程序，直到退出循环结构，利用最后的值等于列方程，由此求得输出的的值.【详解】输入，.，判断否，判断否，判断否，判断是，输出，即.故选C.【点睛】本小题主要考查程序框图的知识，考查已知输出的结果，求输入的值，属于基础题.9.在正四棱锥中，直线与平面所成角为，为的中点，则异面直线与所成角为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：连接AC，BD交于点O，连接OE，OP；因为E为PC中点，所以OEPA，所以OEB即为异面直线PA与
7、BE所成的角因为四棱锥P-ABCD为正四棱锥，所以PO平面ABCD，所以AO为PA在面ABCD内的射影，所以PAO即为PA与面ABCD所成的角，即PAO=60，因为PA=2，所以OA=OB=1，OE=1所以在直角三角形EOB中OEB=45，即面直线PA与BE所成的角为45故选：C考点：异面直线及其所成的角10.将函数的图像向左平移个单位长度后，得到的图像，则函数的单调递减区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用降次公式化简，平移后得到的表达式，再由此求的单调减区间.【详解】依题意 ，向左平移各单位长度后得到 .由，解得，故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，
8、考查三角函数图像变换，考查三角函数的单调区间的求解方法.三角函数的降次公式有两个，一个是.另一个是，只有一个正负号的差别，所以很容易记错，要注意区分和记忆.还要注意到和的单调性是相反的.11.已知是椭圆：的右焦点，点在椭圆上，线段与圆相切于点(其中为椭圆的半焦距)，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设椭圆的左焦点为F1，确定PF1PF，|PF1|=b，|PF|=2ab，即可求得椭圆的离心率【详解】设椭圆的左焦点为F1，连接F1，设圆心为C，则圆心坐标为，半径为r=|F1F|=3|FC|PF1QC，|PF1|=b|PF|=2ab线段PF与圆（其中c2=a
9、2b2）相切于点Q，CQPFPF1PFb2+（2ab）2=4c2b2+（2ab）2=4（a2b2）故选：A【点睛】本题考查椭圆的几何性质，考查直线与圆的位置关系，确定几何量的关系是关键求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出，代入公式；只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范围).12.已知，若存在，使得，则称函数与互为“度零点函数”.若与互为“度零点函数”，则实数的取值范围为A. B. C. D. 【答案】B【解析】易知函数在上单调递增，且，所以函数只有一个零点2，故
10、.由题意知，即，由题意，函数在内存在零点，由，得，所以，记，则，所以当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.所以.而，所以，所以的取值范围为.故选B.点睛：本题通过新定义满足“度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域.第卷（非选择题 共90分） 二.填空题：共4小题，每小题5分.13.若x，y满足约束条件，则的最小值为_【答案】-11【解析】【分析】画出可行域如图,平移动直线根据纵截距
11、的变化情况得到最小值.【详解】画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最小值，故答案为：-11【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.14.求曲线在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积_.【答案】【解析】【分析】先求得函数的导数，然后求得切线的斜率，由点斜式求得切线方程，然后求得横截距以及纵截距，由此计算出三角形的面积.【详解】依题意，故，由点斜式得，与两个坐标轴交点的坐标为，故三角形的
12、面积为.【点睛】本小题主要考查切线方程的求解，考查两个函数相乘的导数，考查直线的点斜式方程以及三角形的面积公式，属于基础题.15.为坐标原点,为抛物线的焦点,为上一点,若,则的面积为_.【答案】【解析】【分析】利用焦半径公式可以计算的横坐标，再由抛物线方程得到的纵坐标后可求面积.【详解】设，则，故，所以.又，所以，填【点睛】一般地，抛物线 上的点到焦点的距离为；抛物线 上的点到焦点的距离为.16.三棱锥中，面，且，则该三棱锥的外接球的表面积是_.【答案】【解析】【分析】作的外接圆，过点作圆的直径，连结则为三棱锥 的外接球的直径，由此能求出三棱锥的外接球表面积【详解】作的外接圆，过点作圆的直径，
13、连结，则为三棱锥 的外接球的直径，三棱锥平面，且 ， 平面， 三棱锥的外接球表面积为： 故答案为：【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列为等差数列，其中，（1）求数列的通项公式；（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得成立【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可列方程组，即可求解（2）根据，可裂项相消求和，解不等式即可求解.【详解】（1）设等差数列的公差为，依题意可得，解得，从而数列的通项
14、公式为（2）由（1）知，所以，所以令，解得，故使得成立的最小的正整数的值为【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，裂项相消法，属于中档题.18.在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为，且（1）求角A的值；（2）若三角形面积为，且，求三角形ABC的周长.【答案】（1）（2）【解析】解:（1）因为 ，由正弦定理得， 即=sin(A+C) 因为BAC，所以sinB=sin(A+C)，所以因为B(0，)，所以sinB0， 所以，因为，所以 （2）ABC的面积为，且由，所以 周长19.如图，在直三棱锥中， 分别是，的中点.（1）证明：； （2）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析.（2）.【解析
15、】试题分析：（1）连接，由几何关系可证得平面，而，故平面，由勾股定理可得，则平面，.（2）设点到平面的距离为，转化顶点有，据此得到关于d的方程，解方程可得点到平面的距离为.试题解析：（1）连接，由直三棱柱知，又有，平面，分别为的中点，则，平面，所以，平面，.（2）设点到平面的距离为，平面，由知，很明显是边长为的等边三角形，其面积为，即，解得.点到平面的距离为.20.已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆交于两点，延长交椭圆于点，的周长为8.（1）求的离心率及方程；（2）试问：是否存在定点，使得为定值？若存在，求；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,； （2）存在点，且.【解析】【分析】
16、（1）由已知条件得，即可计算出离心率和椭圆方程（2）假设存在点，分别求出直线的斜率不存在、直线的斜率存在的表达式，令其相等，求出结果【详解】（1）由题意可知，则，又的周长为8，所以，即，则，.故的方程为.（2）假设存在点，使得为定值.若直线的斜率不存在，直线的方程为，则.若直线的斜率存在，设的方程为，设点，联立，得，根据韦达定理可得：，由于，则 因为为定值，所以，解得，故存在点，且.【点睛】本题考查了椭圆方程的求法以及定值问题，在解答定值问题时先假设存在，分别求出斜率不存在和斜率存在情况下的表达式，令其相等求出结果，此类题型的解法需要掌握21.已知函数，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，若
17、恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，无单调递减区间；（2）.【解析】【分析】（1）化简，求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）设，则，对求导，分类讨论，分别判断的单调性，根据单调性求导的最值，验证是否合题意即可【详解】（1）因为（且），所以.设，则.当时，是增函数，所以.故在上为增函数；当时，是减函数，所以，所以在上为增函数.故的单调递增区间为和，无单调递减区间.（2）设，则.已知条件即为当时.因为为增函数，所以当时，.当时，当且仅当，且时等号成立.所以在上为增函数.因此，当时，.所以满足题意.当时，由，得，解得.因为，所
18、，所以.当时，因此在上为减函数.所以当时，不合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求最值以及不等式恒成立问题，考查分类讨论的思想，属于难题. 不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.请考生在第22、23题中任选-题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.在平面直角坐标系，曲线，曲线（为参数），以坐标原点为 极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（1）求曲线，的极坐标方程；（2）射线分别交，于，两点，求的最大值.【答案】（1），；（2）【解
19、析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用三角函数关系式的恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最值【详解】（1）因为 ，所以 的极坐标方程为 ，因为 的普通方程为 ，即 ，对应极坐标方程为 （2）因为射线，则 ，则，所以又 ，所以当 ，即 时， 取得最大值 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用23.已知函数，其中.（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】(1) 利用零点区分区间，在每个区间内解不等式，等不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式求函数的最小值，因为存在，使得，所以的最小值小于，解得的取值范围【详解】（1）当时，所以或或，解得或，因此不等式的解集的或（2） ，易知，由题意，知，解得，所以实数的取值范围是【点睛】求含绝对值的函数最值时，常用的方法有：1.利用绝对值的几何意义；2.利用绝对值三角不等式，即；3.利用零点区分区间，求每个区间内最值再求函数最值