1、2019-2020学年天津市静海一中高三（下）期中数学试卷一、选择题：（每小题5分，共45分，每小题只有一个正确选项.）1.已知，则( )A. ，B. ，C. ，D. ，2，【答案】D2.设是首项大于零等比数列，则“”是“数列为递增数列”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B3.我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A. B. C. D. 【答案】A4.函数在，上的图象大致为( )A.
2、 B. C. D. 【答案】C5.已知函数，则，的大小关系是( )A. B. C. D. 【答案】C6.直线与圆截得的弦长为4，则的最小值是( )A. 3B. 2C. D. 1【答案】B7.关于函数有下述四个结论：的周期为；在上单调递增；函数在，上有3个零点；函数的最小值为.其中所有正确结论的编号为( )A. B. C. D. 【答案】A8.已知双曲线左右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则的渐近线方程为( )A. B. C. D. 【答案】D9.已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上，则实数的取值范围是( )A. B. ，C. D. 【答案】C
3、二、填空题（每小题5分，共25分）10.若，则复数的虚部为_.【答案】11.二项式，则该展开式中的常数项是_.【答案】12.在三棱锥中，平面，是等腰三角形，其中，则三棱锥的外接球的表面积为_.【答案】13.已知，均为正数，且，则当_时，代数式的最小值为_.【答案】 (1). (2). 14.在中，已知，为边的中点.若，垂足为，则的值为_.【答案】三、解答题（共50分）15.在中，内角，所对的边分别为，.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【详解】（1）由，可得，由，可得：，由，可得：.（2），.16.某地有、四人先后感染了新冠状病毒，其中只有到过疫区.（1）如果、受到感
4、染的概率分别为，那么、三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是多少？（2）若肯定受感染，对于，因为难以判断他是受还是受感染的，于是假定他受和受感染的概率都是，同样也假设受、和感染的概率都是，在这种假定之下，、中直接受感染的人数为一个随机变量，求随机变量的分布列和均值（数学期望）.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【解析】【详解】（1）、三人中恰好有一人感染新冠状病毒的概率是.（2）一定被感染，主要考虑和的感染情况，随机变量的可能取值为1，2，3，的分布列为 1 2 3 数学期望.17.如图所示，直角梯形中，四边形为矩形，平面平面.（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在线段上是否存
5、在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，或.【解析】【详解】（1）证明：四边形矩形，又平面平面，平面平面，平面.取为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，则，0，2，2，0，2，设平面的法向量，2，由，取，得，0，又，2，又平面，平面；（2），0，0，2，0，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，1，设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值.（3）假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，设，则，解得，平面的法向量，直线与平面所成角的正弦值为，解得或，或.18.
6、已知椭圆的右焦点，右顶点为，点是椭圆上异于点的任意一点，的面积的最大值为.（1）求椭圆的离心率；（2）设经过点且斜率为的直线与椭圆在轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.【答案】（1）；（2）【解析】【详解】（1）当点位于椭圆的上或下顶点时，的面积最大，此时有，即，得或（舍，离心率.故椭圆的离心率为.（2）由题可知，直线的方程为，椭圆的方程为，联立，得，解得或，当时，；当时，点的坐标为.点在直线上，可设点为，又，即，点.圆同时与轴和直线相切，即，解得，故椭圆的方程为.19.已知数列是公差为1的等差数列，是单调递增的等比数列，且，.（1）求和的通项公式；（2）设，
7、数列的前项和，求；（3）若数列的前项积为，求.（4）数列满足，其中，求.（5）解决数列问题时，经常需要先研究陌生的通项公式，只有先把通项公式研究明白，然后尽可能转化为我们熟悉的数列问题，由此使问题得到解决.通过对上面（2）（3）（4）问题的解决，你认为研究陌生数列的通项问题有哪些常用方法，要求介绍两个.【答案】（1），；（2）；（3）；（4）；（5）见解析.【解析】【详解】（1），则，解得，故，即，解得或（舍去），故.（2）故.（3），故；（4），即.（5）根据题意：（2）中应用了裂项相消求和法，裂项相消求和法是将数列分解为一个数列的前后项，方便计算；（4）中应用了分组求和法，分组求和法是将有
8、规律的某一部分集中起来计算，易于计算.20.设函数，其中，为自然对数的底数.（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：函数无零点；（3）确定的所有可能取值，使得在区间内恒成立.（4）数学题目虽然千变万化，有很多形式虽然陌生新颖，但仔细分析其条件后又可以转换为若干熟悉的老问题，使新问题得以解决.因此，会将新问题转化为老问题的思想方法是学好数学的重要方法之一.下面你将问题（3）中的条件“在区间内恒成立”变化为两种新形式（不作解答）.【答案】（1）当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，上单调递增；（2）证明见解析；（3）；（4）见解析.【解析】【详解】（1），.当时，函数在上单调递减.当时，由，函数在上单调递减，上单调递增.综上可得：当时，函数上单调递减.当时，函数在上单调递减，上单调递增.（2）证明：当时，要证明：函数无零点.即可证明：，即证明.令，.，函数在上单调递增，（1）.当时，因此当时，函数无零点.（3）解：化为：.令，.可得.（1），在恒成立.令，当时，.令，.函数在，上单调递增.的最小值为（1）.时，.综上可得：时，.在上单调递增.（1），即在上单调递增.，解得.（4）变化：时，证明在区间内恒成立.变化：在区间内恒成立，求实数的取值范围.
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