1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第7课时 解三角形的实际应用第3页返回导航 数学 1实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角第4页返回导航 数学 方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角方位角的范围是方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度例：(1)北偏东 m：(2)南偏西 n：(0，360)第5页返回导航 数学 坡角坡面与水平面的夹角坡度坡面与水平
2、面所成的二面角度数坡比坡面的垂直高度 h 和水平宽度 l 的比设坡角为，坡比度为 i，则 ihltan 第6页返回导航 数学 2.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为0，2.()(2)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(3)从 A 处望 B 处的仰角为，从 B 处望 A 处的俯角为，则，的关系为 180.()(4)若点 P 在 Q 的北偏东 44，则 Q 在 P 的东偏北 46.()第7页返回导航 数学(5)如果在测量中，某渠道斜坡坡比为34，设 为坡角，那么 cos 34.()(6)仰角与俯角都是目标视
3、线与水平线的夹角，因此二者没有区别()(7)如图，为了测量隧道口 AB 的长度，可测量数据 a，b，进行计算()第8页返回导航 数学(8)若点 A 在点 C 的北偏东 30方向上，则 C 点在 A 点南偏西 60方向上()(9)如图所示，已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于a km，灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 20，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为 3a km.()第9页返回导航 数学(10)如图所示，D，C，B 三点在地面的同一直线上，DCa，从 C，D 两点测得 A 点的仰角分别为 60，30，则 A 点离地面的高度 AB等
4、于 3a()第10页返回导航 数学 考点一 测量距离命题点1.河对岸山两侧两点间的距离2.河两岸两点间的距离3.海面上两点间的距离第11页返回导航 数学 例 1(1)要测量对岸 A，B 两点之间的距离，选取相距 3km 的C，D 两点，并测得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45，则 A，B 之间的距离为_km.第12页返回导航 数学 解析：如图所示，在ACD 中，ACD120，CADADC30，ACCD 3(km)在BCD 中，BCD45，BDC75，CBD60.BC 3sin 75sin 60 6 22.在ABC 中，由余弦定理，得第13页返回导航 数学 AB2(3)26 2222
5、 3 6 22cos 7532 335，AB 5(km)，即 A，B 之间的距离为 5km.答案：5第14页返回导航 数学(2)为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 A，B(如图)，要测量 A，B 两点的距离，测量人员在岸边定出基线 BC，测得 BC50 m，ABC105，BCA45.则 A，B 两点的距离为_m.第15页返回导航 数学 解析：由正弦定理得ABsinBCABCsinCAB，ABBCsinBCAsinCAB 50 221250 2(m)答案：50第16页返回导航 数学(3)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km，B 船在灯
6、塔 C 北偏西 40处，A，B 两船间的距离为 3 km，则B 船到灯塔 C 的距离为_km.第17页返回导航 数学 解析：如图，由已知得ACB120，AC2，AB3.设 BCx，则由余弦定理得 AB2BC2AC22BCACcos 120，即 3222x222xcos 120即 x22x50，解得 x 61.答案：61第18页返回导航 数学 方法引航 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题.首先是明确题意，根据条件和图形特点寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解.第19页返回导航 数学 1如图，为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找到
7、一个点 C，从点 C 可以观察到点 A、B；找到一个点 D，从点 D 可以观察到点 A、C；找到一个点 E，从点 E 可以观察到点 B、C.并测量得到一些数据：CD2，CE2 3，D45，ACD105，ACB48.19，BCE75，E60，则 A、B 两点之间的距离为_.其中cos 48.19取近似值23 第20页返回导航 数学 第21页返回导航 数学 解析：依题意知，在ACD 中，A30，由正弦定理得 ACCDsin 45sin 30 2 2.在BCE 中，CBE45，由正弦定理得 BCCEsin 60sin 45 3 2.在ABC 中，由余弦定理 AB2AC2BC22ACBCcosACB1
8、0，所以 AB 10.答案：10第22页返回导航 数学 2在本例(2)中，若已知条件不变，求 A、C 两点间的距离第23页返回导航 数学 解析：ACsinABCBCsinBACACBCsinABCsinBAC 50sin 105sin 3050 6 241225(6 2)答案：25(6 2)第24页返回导航 数学 3如图，一船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔 B 在北偏东 60，行驶 4 h 后，船到达 C 处，看到这个灯塔在北偏东 15.求此时船与灯塔间的距离第25页返回导航 数学 解：BCsinBACACsinABC，且BAC30，AC60，ABC180301
9、0545.BC30 2.即船与灯塔间的距离为 30 2km.第26页返回导航 数学 考点二 测量高度命题点1.同一平面内的高度测量2.不同平面内的高度测量第27页返回导航 数学 例 2(1)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶 D到其正上方 A 点的距离，他站在地面 C 处，利用皮尺量得 BC9米，利用测角仪测得仰角ACB45，测得仰角BCD 后通过计算得到 sinACD 2626，则 AD 的距离为_米第28页返回导航 数学 解析：设 ADx，则 BD9x，CD 929x2，在ACD 中应用正弦定理得CDsinDACADsinACD，即 929x222 x2626，所以 292(9
10、x)226x2，即 818118xx213x2，所以 2x23x270，即(2x9)(x3)0，所以 x3 米答案：3第29页返回导航 数学(2)如图，地面上有一旗杆 OP，为了测得它的高度，在地面上选一基线 AB，测得 AB20 m，在 A 处测得点 P 的仰角为 30，在 B处测得点 P 的仰角为 45，同时可测得AOB60，求旗杆的高度(结果保留 1 位小数)第30页返回导航 数学 解：设旗杆的高度为 h，由题意，知OAP30，OBP45.在 RtAOP 中，OA OPtan 30 3h.在 RtBOP 中，OB OPtan 45h.第31页返回导航 数学 在AOB 中，由余弦定理，得
11、AB2OA2OB22OAOBcos 60，即 202(3h)2h22 3hh12.解得 h2 4004 3176.4.h13(m)旗杆的高度约为 13 m.第32页返回导航 数学 方法引航 高度问题一般是把它转化成三角形的问题，要注意三角形中的边角关系的应用，若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合.第33页返回导航 数学 1如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取 A，B 两点，从 A，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为 30，45，且 A，B 两点间的距离为 60 m，则该建筑物的高度为()A(3030 3)m B(3015 3)mC(1530 3)m D(1515 3)m第34页返
12、回导航 数学 解析：选 A.在PAB 中，PAB30，APB15，AB60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30 6 24.由正弦定理得 PBABsin 30sin 15 30(6 2)，建筑物的高度为PBsin 4530(6 2)22(3030 3)m.故选 A.第35页返回导航 数学 2要测量底部不能到达的电视塔 AB 的高度，在 C 点测得塔顶 A的仰角是 45，在 D 点测得塔顶 A 的仰角是 30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A10 2m B20 mC20 3m D40 m第36页返回导航 数学 解析：选
13、D.设电视塔的高度为 x m，则 BCx，BD 3x.在BCD中，根据余弦定理得 3x2x2402240 xcos 120，即 x220 x8000，解得 x20(舍去)或 x40.故电视塔的高度为 40 m.第37页返回导航 数学 考点三 测量角度命题点1.测量方向角或方位角2.测量仰角、俯角、张角或视角第38页返回导航 数学 例 3(1)如图所示，两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、50 m，BD 为水平面，则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角的大小是_第39页返回导航 数学 解析：依题意，得 AD20 10 m，AC30 5m.在ACD 中，
14、CD50 m，由余弦定理，得cosCADAC2AD2CD22ACAD 6 0006 000 2 22，由 0CAD180，知CAD45.答案：45第40页返回导航 数学(2)某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为 45，距离为 10 n mile 的 C处，并测得渔轮正沿方位角为 105的方向，以 9 n mile/h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以 21 nmile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间(参考数据 sin 21.83 314)第41页返回导航 数学 解：如图所示，根据题意可知 AC10，ACB120，设
15、舰艇靠近渔轮所需的时间为 t h，并在 B 处与渔轮相遇，则 AB21t，BC9t，在ABC 中，根据余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos 120，所以 212t210292t22109t12，即 360t290t1000，解得 t23或 t 512(舍去)所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h.此时 AB14，BC6.第42页返回导航 数学 在ABC 中，根据正弦定理得BCsinCABABsin 120，所以 sinCAB6 32143 314，即CAB21.8或CAB158.2(舍去)即舰艇航行的方位角为 4521.866.8.所以舰艇以 66.8的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮
16、第43页返回导航 数学 方法引航 求解测量问题的关键是把测量目标纳入到一个可解三角形中，三角形可解，则至少要知道这个三角形的一条边长.解题中注意各个角的含义，根据这些角把需要的三角形的内角表示出来，注意不要把角的含义弄错，不要把这些角与要求解的三角形的内角之间的关系弄错.第44页返回导航 数学 1如图所示，A，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8 时从 A 岛出发，以 10 海里/小时的速度沿北偏东 75方向直线航行，下午 1 时到达 B 处然后以同样的速度沿北偏东 15方向直线航行，下午 4 时到达 C 岛(1)求 A，C 两岛之间的距离；(2)求BAC 的正弦值第45页返回导航 数
17、学 解：(1)在ABC 中，由已知，得AB10550(海里)，BC10330(海里)，ABC1807515120，由余弦定理，得 AC250230225030 cos 1204 900，所以 AC70(海里)故 A，C 两岛之间的距离是 70 海里第46页返回导航 数学(2)在ABC 中，由正弦定理，得BCsinBACACsinABC，所以 sinBACBCsinABCAC30sin 120703 314.故BAC 的正弦值是3 314.第47页返回导航 数学 2在本例(1)中，若已知条件不变，从 A 点看 C 点的仰角的正弦值是多少？第48页返回导航 数学 解：如图，作 AECD 于 E 点
18、从 A 看 C 点的仰角为CAE.在 RtACE 中，CE502030，AC30 5sinCAECECA 3030 5 55.即从 A 看 C 点的仰角的正弦值为 55.第49页返回导航 数学 思想方法函数方程思想在解三角形实际问题中的应用典例 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇第50页返回导航 数学(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小
19、应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由第51页返回导航 数学 解(1)设相遇时小艇航行的距离为 S 海里，则S 900t2400230t20cos9030 900t2600t400900t132300.故当 t13时，Smin10 3，v10 31330 3.即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小第52页返回导航 数学(2)如图，设小艇与轮船在 B 处相遇则 v2t2400900t222030tcos(9030)，故 v2900600t 400t2.
20、0v30，900600t 400t2 900，即2t23t0，解得 t23.又 t23时，v30，第53页返回导航 数学 故 v30 时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在OAB 中，有 OAOBAB20.故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东 30，航行速度为 30 海里/小时第54页返回导航 数学 回顾反思(1)三角形中的最值问题，可利用正、余弦定理建立函数模型(或三角函数模型)，转化为函数最值问题(2)求最值时要注意自变量的范围，要考虑问题的实际意义第55页返回导航 数学 高考真题体验1(2014高考四川卷)如图，从气球 A 上测得正前方的河流的两岸B，C 的俯角分别为 75，3
21、0，此时气球的高是 60 m，则河流的宽度 BC 等于()A240(31)m B180(21)mC120(31)m D30(31)m第56页返回导航 数学 解析：选 C.由题图知 AB60sin 752406 2，ACB30，BAC45，在ABC 中，由正弦定理得ABsin 30 BCsin 45，可得 BC120(31)第57页返回导航 数学 2(2014高考课标全国卷)如图，为测量山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点从 A 点测得 M 点的仰角MAN60，C 点的仰角CAB45以及MAC75；从 C 点测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山高 MN_m.第58页
22、返回导航 数学 解析：根据题图所示，AC100 2m.在MAC 中，CMA180756045.由正弦定理得 ACsin 45 AMsin 60AM100 3m.在AMN 中，MNAMsin 60，MN100 3 32 150(m)答案：150第59页返回导航 数学 3(2015高考湖北卷)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m.第60页返回导航 数学 解析：依题意，BAC30，ABC105.在ABC 中，由ABCBACACB1
23、80，所以ACB45，因为 AB600 m由正弦定理可得 600sin 45 BCsin 30，即 BC300 2m.在 RtBCD 中，因为CBD30，BC300 2m，所以 tan 30CDBC CD300 2，所以 CD100 6m.答案：100 6第61页返回导航 数学 4(2013高考江苏卷)如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至C 处有两种路径一种是从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B，然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 m/min.在甲出发 2 min后，乙从 A 乘缆车到 B，在 B 处
24、停留 1 min 后，再从 B 匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min，山路 AC 长为 1 260 m，经测量，cos A1213，cos C35.第62页返回导航 数学(1)求索道 AB 的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？第63页返回导航 数学 解：(1)在ABC 中，因为 cos A1213，cos C35，所以 sin A 513，sin C45.从而 sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C 5133512
25、13456365.由 ABsin C ACsin B，得第64页返回导航 数学 AB ACsin Bsin C1 2606365451 040(m)所以索道 AB 的长为 1 040m.(2)设乙出发 t 分钟后，甲、乙两游客距离为 d m，此时，甲行走了(10050t)m，乙距离 A 处 130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22130t(10050t)1213200(37t270t50)，因 0t1 040130，即 0t8，第65页返回导航 数学 故当 t3537min 时，甲、乙两游客距离最短(3)由 BCsin A ACsin B，得 BC ACsin Bsin A1 2606365 513500(m)乙从 B 出发时，甲已走了 50(281)550(m)，还需走 710 m才能到达 C.第66页返回导航 数学 设乙步行的速度为 v m/min，由题意得3500v 71050 3，解得1 25043 v62514，所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在1 25043，62514(单位：m/min)范围内第67页返回导航 数学 课时规范训练