1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第3课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形第3页返回导航 数学 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)公式cos()(C()cos()(C()sin()(S()sin()(S()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin 第4页返回导航 数学 tan()tan tan 1tan tan (T()tan()tan tan 1tan tan (T()(2)公式变形tan tan tan()(1tan tan)t
2、an tan tan()(1tan tan)第5页返回导航 数学 2二倍角公式(1)公式sin 2，cos 2，tan 22tan 1tan2.2sin cos cos2sin22cos2112sin2第6页返回导航 数学(2)公式变形cos2 1cos 22，sin2 1cos 22；1sin 2(sin cos)2,1sin 2(sin cos)2，sin cos 2sin4.第7页返回导航 数学 3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角，是任意的()(2)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(3)在锐角ABC 中，sin A
3、sin B 和 cos Acos B 大小不确定()(4)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角()第8页返回导航 数学(6)存在角，使得 sin 22sin 成立()(7)若 4，则(1tan)(1tan)2.()(8)不存在实数，使得 cos()sin cos.()(9)存在实数，使 tan 22tan.()(10)y 12cos2x的 x 无意义()第9页返回导航 数学 考点一 三角函数式的给角求值命题点1.已知非特殊角求函数式的值2.已知含参
4、数的角化简函数或求值第10页返回导航 数学 例 1(1)求值：1cos 202sin 20 sin 101tan 5tan 5；第11页返回导航 数学 解：原式2cos21022sin 10cos 10sin 10cos 5sin 5sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10cos25sin25sin 5cos 5 cos 102sin 10sin 10 cos 1012sin 10 cos 102sin 102cos 10cos 102sin 202sin 10第12页返回导航 数学 cos 102sin30102sin 10cos 10212cos 10 32 sin 1
5、02sin 10 3sin 102sin 10 32.第13页返回导航 数学(2)化简：sin2sin2cos2cos212cos 2cos 2.第14页返回导航 数学 解：法一：(复角单角，从“角”入手)原式sin2sin2cos2cos212(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos212(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos212sin2sin2cos2sin2cos212sin2cos21211212.第15页返回导航 数学 法二：(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos212cos 2
6、cos 2cos2sin2(cos2sin2)12cos 2cos 2cos2sin2cos 212cos 2cos 2cos2cos 2sin212cos 21cos 22cos 2sin21212sin2第16页返回导航 数学 1cos 2212cos 212.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式1cos 221cos 221cos 221cos 2212cos 2cos 214(1cos 2cos 2cos 2cos 2)14(1cos 2cos 2cos 2cos 2)12cos 2cos 212.第17页返回导航 数学 方法引航 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要
7、注意：1观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.2观察名，尽可能使函数统一名称.3观察结构，利用公式，整体化简.第18页返回导航 数学 1求值 sin 50(1 3tan 10)第19页返回导航 数学 解：sin 50(1 3tan 10)sin 50(1tan 60tan 10)sin 50cos 60cos 10sin 60sin 10cos 60cos 10sin 50cos6010cos 60cos 102sin 50cos 50cos 10sin 100cos 10 cos 10cos 101.第20页返回导航 数学 2在ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，则 t
8、anA2tanC2 3tanA2tanC2的值为_第21页返回导航 数学 解析：因为三个内角 A，B，C 成等差数列，且 ABC，所以 AC23，AC23，tanAC2 3，所以 tanA2tanC2 3tanA2tanC2tanA2C2 1tan A2tan C2 3tan A2tan C2 31tan A2tan C2 3tanA2tan C2 3.答案：3第22页返回导航 数学 考点二 三角函数式的给值求值命题点1.已知某角的三角函数值求其它的三角函数值2.已知某角的三角函数值，求三角函数的值3.已知三角函数式的值，求三角函数值第23页返回导航 数学 例 2(1)(2016高考全国丙卷)
9、若 tan 13，则 cos 2()A45 B15C.15D.45第24页返回导航 数学 解析：法一：cos 2cos2sin2cos2sin2cos2sin21tan21tan245.故选 D.法二：由 tan 13，可得 sin 110，因而 cos 212sin245.答案：D第25页返回导航 数学(2)已知 tan4 12，且20，则2sin2sin 2cos4等于()A2 55B3 510C3 1010D.2 55第26页返回导航 数学 解析：由 tan4 tan 11tan 12，得 tan 13.又20，所以 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin sin co
10、s 22 sin cos 2 2sin 2 55.答案：A第27页返回导航 数学(3)已知 0，2，且 2sin2sin cos 3cos20，则sin4sin 2cos 21_.第28页返回导航 数学 解析：2sin2sin cos 3cos20则(2sin 3cos)(sin cos)0，由于 0，2，sin cos 0，则 2sin 3cos.又 sin2cos21，cos 213，第29页返回导航 数学 sin4sin 2cos 2122 sin cos sin cos 2sin2cos2 268.答案：268第30页返回导航 数学 方法引航 三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角
11、表示：1已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差.2已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”的关系.3已知三角函数时，先化简三角函数式，再利用整体代入求值.第31页返回导航 数学 1在本例(1)中，已知条件不变，求 tan6 的值第32页返回导航 数学 解：tan6 tan 6tan 1tan6tan 33 131 33 135 3613.第33页返回导航 数学 2在本例(1)中，已知条件不变，求 2sin2sin cos 3cos2 的值第34页返回导航 数学 解：原式2sin2sin cos 3cos2sin2cos22tan2tan 3tan212132133
12、1321115.第35页返回导航 数学 3已知 cos2 sin23 2 35，则 cos23 _.第36页返回导航 数学 解析：由 cos2 sin23 2 35，得sin sin23 cos cos 23sin 2 3532sin 32 cos 2 35，即 3sin6 2 35，第37页返回导航 数学 sin6 25，因此 cos23 12sin26 122521725.答案：1725第38页返回导航 数学 考点三 已知三角函数式的值求角命题点1.利用弦函数值求角2.利用切函数值求角第39页返回导航 数学 例 3(1)已知 cos 17，cos()1314，02，则 _.第40页返回导航
13、 数学 解析：cos 17，02.sin 4 37.又 cos()1314，且 02.02，则 sin()3 314.则 cos cos()第41页返回导航 数学 cos cos()sin sin()1713144 37 3 314 4971412由于 02，所以 3.答案：3第42页返回导航 数学(2)已知，(0，)，且 tan()12，tan 17，则 2 的值为_第43页返回导航 数学 解析：tan tan()tantan 1tantan 121711217130，02.又tan 2 2tan 1tan22131132340，022，第44页返回导航 数学 tan(2)tan 2tan
14、1tan 2tan 3417134171.tan 170，2，20，234.答案：34第45页返回导航 数学 方法引航 1.解决给值求角问题应遵循的原则(1)已知正切函数值，选正切函数(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且若角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，)，选余弦较好；若角的范围是2，2，选正弦较好第46页返回导航 数学 2解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值(2)确定角的范围(3)根据角的范围写出所求的角第47页返回导航 数学 1设，为钝角，且 sin 55，cos 3 1010，则 的值为()A.34 B.54C.74D.54 或74第48
15、页返回导航 数学 解析：选 C.，为钝角，sin 55，cos 3 1010，cos 2 55，sin 1010，cos()cos cos sin sin 22 0.又(，2)，32，2，74.第49页返回导航 数学 2已知 tan 13，cos 55，2，0，2，求 tan()的值，并求出 的值第50页返回导航 数学 解：由 cos 55，0，2，得 sin 2 55，tan 2.tan()tan tan 1tan tan 1321231.2，0，2，232，54.第51页返回导航 数学 方法探究三角恒等变换在化简、求值、证明中的综合应用三角恒等变换要重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变
16、角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形第52页返回导航 数学 典例 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin 13cos 17；(2)sin215cos215sin 15cos 15；(3)sin218cos212sin 18cos 12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos 48；(5)s
17、in2(25)cos255sin(25)cos 55.()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论第53页返回导航 数学 解()选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 15112sin 3011434.()法一：三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin)2sin(cos 30cos sin 30sin)sin234cos2 32sin cos 14sin2 32 si
18、n cos 12sin234sin234cos234.第54页返回导航 数学 法二：三角恒等式为 sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2 cos2(30 )sin cos(30 )1cos 221cos6022sin(cos 30cos sin 30sin)1212cos 21212(cos 60cos 2sin 60sin 2)32 sin cos 12sin21212cos 21214cos 2 34 sin 2 34 sin 214(1cos 2)114cos 21414cos 234.第55页返回导航 数学 高考真题体验1(2016高考全国甲卷)若 co
19、s4 35，则 sin 2()A.725 B.15C15D 725第56页返回导航 数学 解析：选 D.因为 cos4 cos4cos sin4sin 22(sin cos)35，所以 sin cos 3 25，所以 1sin 21825，所以 sin 2 725，故选 D.第57页返回导航 数学 2(2016高考全国丙卷)若 tan 34，则 cos22sin 2()A.6425B.4825C1 D.1625第58页返回导航 数学 解析：选 A.法一：由 tan sin cos 34，cos2sin21，得sin 35cos 45或sin 35cos 45，则 sin 22sin cos 2
20、425，则 cos22sin 2162548256425.法二：cos22sin 2cos24sin cos cos2sin214tan 1tan2 131 9166425.第59页返回导航 数学 3(2015高考课标全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10()A 32B.32C12D.12第60页返回导航 数学 解析：选 D.sin 20cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin 3012.第61页返回导航 数学 4(2014高考课标全国卷)设 0，2，0，2，且 tan 1sin cos ，则()A32B22C32D22第
21、62页返回导航 数学 解析：选 B.由条件得sin cos 1sin cos ，即 sin cos cos(1sin)，sin()cos sin2，因为22，022，所以 2，所以 22，故选 B.第63页返回导航 数学 5(2015高考四川卷)已知 sin 2cos 0，则 2sin cos cos2的值是_第64页返回导航 数学 解析：由 sin 2cos 0，得 tan 2.所以 2sin cos cos22sin cos cos2sin2cos22tan 1tan214141 1.答案：1第65页返回导航 数学 6(2016高考四川卷)cos28sin28_.第66页返回导航 数学 解析：由二倍角公式，得 cos28sin28cos28 22.答案：22第67页返回导航 数学 课时规范训练