1、江苏省如皋市2020-2021学年高二数学下学期第一次月考试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若（i为虚数单位），则复数的实部是（ ）A.4B.-4C.-3D.32.对于函数，若，则（ ）A.1B.C.1和D.43.下列关于复数的命题中（i为虚数单位），说法正确的是（ ）A.若关于x的方程有实根，则B.复数z满足，则z在复平面对应的点位于第二象限C.，（i为虚数单位，），若，则D.是关于x的方程的一个根，其中p、q为实数，则4.已知过点的直线与图象切于点（如图所示），且，则 （ ） A.-1B.-2C.-3D.-45.函数在上
2、的最大值是（ ）A.B.C.D.6.若（i为虚数单位），则（ ）A.1B.C.D.7.已知圆锥的母线长为3，则该圆锥体积的最大值为（ ）A.B.C.D.8.已知若且，则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得3分，有项选错得0分.9.已知曲线的一条切线的斜率是，则切点横坐标可能是（ ）A.B.C.D.10.在复平面内，若复数满足，其中为正实数，则对应点的集合组成的图形可能是（ ）A.线段B.圆C.椭圆D.双曲线11.定义在上的函数，满足，则下列说法正确的有（ ）A.若，则B. 在处取
3、得极小值C. 只有一个零点D.若对任意的，恒成立，则12.丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别在函数的凹凸性与不等式方面留下了很多宝贵的成果。若为上任意n个实数，满足，则称函数在上为“上凸函数”.设可导函数在上的导函数为，在上的导函数为，当时，函数在上为“上凸函数”.下列结论成立的是（ ）A.在上为“上凸函数”B.在上为“上凸函数”C.在中，D.在中，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把箐案直接填写在答题卡相应位置上.13.已知函数，则的极值是 .14.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，若，则z的共轭复数 . 15.函数在上单调递增
4、，则实数的最小值是 .16.已知定义在R上的函数的导函数为，满足，若恒成立，则实数的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在；复平面上表示的点在直线上；三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答：已知复数，；（i为虚数单位），满足_.若，求：（1）复数，以及；（2）复数，以及.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）18.已知函数.（1）求的单调区间；（2）对于给定的正数，若存在，使得，求正数的取值范围.19.若函数.（1）求的极值；（2）判断的零点个数，并说明理由.20.“我将来要当一名
5、麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦地里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是.除了我”.麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田，假设霍尔顿在一块凸四边形ABCD的麦田里成为守望者，为了分割麦田，他将AC连结，经测量，.霍尔顿发现无论AC多长，是定值1.霍尔顿还发现麦田的生长与土地面积的平方的权重相关，记和的面积分别为和，为了更好地规划麦田，霍尔顿需要求出的最大值.（1）记，用表示；（2）求的最大值， 21.直线为函数图象上任意一点处的切线（P为切点），若函数图象上除P点外的所有点都在直线的同侧，则称函数为“单侧函数”.（1）若.（）求在处的切线方程；（）
6、证明不是“单侧函数”；（2）函数，判断是否是“单侧函数”.若是，写出证明过程；若不是，请说明理由，22.（本小题满分12分）定义在上的函数在处取到极小值，（1）若对任意的，不等式恒成立，求实数b的取值范围；（2）令，若函数的图象与x轴有两个不同的交点，且，求证： （其中是的导函数）高二数学参考答案1-5AADCD 6-8CDC 9AD 10AC 11AB 12ACD 13 14 15 1617【解答】（1）若选，又，所以.若选，又复平面上表示的点在直线上，所以，所以.若选，得，所以.所以.（1） ，.（2），.18【解答】（1）因为，所以当时，所以的增区间为当时，若，；若，所以的增区间为，减区
7、间为综上，当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为（2）法一：由（1）得，当时，取最大值因为若存在，使得，所以，解得所以正数的取值范围为法二：若存在，使得，即若存在，使得令，则，由，解得当时，单调递增，当时，单调递减，所以在处取到极大值，也即是最大值，最大值是.所以正数的取值范围为19 【解答】（1）因为，所以令，解得列表如下极大值所以，当时，有极大值（说明：列表时未列出或者列成扣1分）（2）由（1）得，0是的零点.当时，；当时，所以连续函数在上有零点因为在上单调递减，所以在上有一个零点所以在上有两个零点（赋值方法：，使得，则）20【解答】（1）在中，同理可得，在中，因为，所以令，则令，则
8、，由且，解得当时，；当时，所以当时，取得极小值且是最小值，最小值为，所以，当时，的最大值为（说明：的范围错且结果对扣3分）20 【解答】（1）（）若，则，所以所以在处的切线方程是 （）令，当时，；当时，所以不是“单侧函数”（2）当时，是“单侧函数”函数图象上任意一点处的切线为，即令，则当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，所以，所以，当且仅当时取等号，所以是“单侧函数”22 【解答】（1）因为，所以 因为函数在处取到极小值，所以，解得此时，当时，单调递减，当时，单调递增，所以在处取到极小值.所以符合题意，即.（说明：不检验扣1分）若对任意的，不等式恒成立，即恒成立.令，则，令，则恒成立，所以在上单调递增，即在上恒成立所以在上为减函数，故实数的取值范围为.（说明：本小题含参讨论酌情给分，可以先取特值将参数的范围缩成再讨论）（2）由（1）得，因为函数的图象与轴有两个不同的交点，所以方程的两个根为，则，两式相减得，又，则.下证：（*），即证明，即证明在时恒成立.因为又，所以. 所以，在上是增函数，则，从而. 故，即成立.（说明：本小题利用其他方法证明酌情评分）11