1、2015-2016学年宁夏银川市育才中学勤行校区高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD122抛物线y=x2的焦点坐标为（）ABCD3双曲线的焦距为（）A3B4C3D44m2是方程=1表示双曲线的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5双曲线=1的渐近线的方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x6已知椭圆的焦点F1（0，1），F2（
2、0，1），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，则椭圆的方程为（）ABCD7已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定定点M与点A、B、C一定共面的是（）ABCD8若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A2B3C4D49已知有相同的两焦点F1，F2的椭圆+y2=1（m1）和双曲线y2=1（n0），P是它们的一个交点，则等于（）A1BC0D随m，n的变化而变化10已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）ABC（1，2）D（1，2）11F1、F2是双曲线的
3、两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF2=60，则F1PF2的面积是（）ABC8D1612已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D，1）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知椭圆的离心率，则a的值等于 14已知，是空间二向量，若=3，|=2，|=，则与的夹角为15已知双曲线的一条渐近线方程是x2y=0，若双曲线经过点，此双曲线的标准方程是16在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点A（5，0），C（5，0），顶点B在双曲线=1左支上，则=三.解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证
4、明过程或演算步骤17（文科）已知椭圆的方程为3x2+y2=18（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程18空间四边形OABC各边以及AC、BO的长都是1，点D、E分别是边OA，BC的中点，连接DE（1）求直线AC与OB所成角；（2）计算DE的长19已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，若点M（2，y）在抛物线上，且点M到该抛物线焦点的距离为3，（1）求抛物线的标准方程及点M的坐标（2）过点C（3，）做直线l，使得直线l与抛物线相交于A，B两点恰好C为弦AB的中点，求直线l的方程20已知椭圆的两焦点为F1（，0），F2（，0），离心率e=（1）求
5、此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值21如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到0.1m）22已知双曲线C：y2=1，P为C上的任意点（1）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离
6、的乘积是一个常数2015-2016学年宁夏银川市育才中学勤行校区高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1已知ABC的顶点B，C在椭圆+y2=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是（）AB6CD12【考点】椭圆的简单性质【分析】由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长【解答】解：由椭圆的定义：椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长2a，可得ABC的周长为4a=，故选C2抛物线y=x2的焦点坐标为（）A
7、BCD【考点】抛物线的简单性质【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线 x2=2py 的焦点坐标为（0，），求出物线y=x2的焦点坐标【解答】解：抛物线y=x2，即 x2=y，p=， =，焦点坐标是 （0，），故选B3双曲线的焦距为（）A3B4C3D4【考点】双曲线的简单性质【分析】本题比较简明，需要注意的是容易将双曲线中三个量a，b，c的关系与椭圆混淆，而错选B【解答】解析：由双曲线方程得a2=10，b2=2，c2=12，于是，故选D4m2是方程=1表示双曲线的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】根据
8、充分条件和必要条件的定义结合双曲线的方程进行判断即可【解答】解：若方程=1表示双曲线，则（m2）（6m）0，即（m2）（m6）0，解得m6或m2，则m2是方程=1表示双曲线的充分不必要条件，故选：A5双曲线=1的渐近线的方程是（）Ay=xBy=xCy=xDy=x【考点】双曲线的简单性质【分析】在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程【解答】解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为=0，化简可得，故选C6已知椭圆的焦点F1（0，1），F2（0，1），P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，则椭圆的方程为（）ABCD【考点】椭圆的标准方程【分析】
9、根据2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，且|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，就可求出a，b的值，再判断焦点所在坐标轴，就可得到椭圆方程【解答】解：2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，2|F1F2|=|PF1|+|PF2|又|F1F2|=2c，|PF1|+|PF2|=2a，4c=2a，a=2c椭圆的两焦点为F1（0，1），F2（0，1），c=1，a=2，b2=a2c2=3，又椭圆的焦点在y轴上，椭圆方程为故选B7已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定定点M与点A、B、C一定共面的是（）ABCD【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】由共面向
10、量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得，即=+y，即可判断出【解答】解：由共面向量定理可得：若定点M与点A、B、C一定共面，则存在实数x，y，使得，化为=+y，AC中的系数不满足和为1，而B的可以化为： =，因此OM平行与平面ABC，不满足题意，舍去而D中的系数： =1，可得定点M与点A、B、C一定共面故选：D8若双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为（）A2B3C4D4【考点】双曲线的简单性质【分析】先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根据双曲线的左焦点在抛物线y2=2px的准线上可得到关系式，求出p的值【解答】
11、解：双曲线的左焦点坐标为：，抛物线y2=2px的准线方程为，所以，解得：p=4，故选C9已知有相同的两焦点F1，F2的椭圆+y2=1（m1）和双曲线y2=1（n0），P是它们的一个交点，则等于（）A1BC0D随m，n的变化而变化【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质【分析】利用双曲线和椭圆的定义、余弦定理和三角形的面积计算公式，即可得【解答】解：如图所示，不妨设两曲线的交点P位于双曲线的右支上，设|PF1|=s，|PF2|=t由双曲线和椭圆的定义可得，解得s2+t2=2m+2n，st=mn在PF1F2中，cosF1PF2=m1=n+1，mn=2，cosF1PF2=0，F1PF2=90=0故选
12、：C10已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）ABC（1，2）D（1，2）【考点】抛物线的简单性质【分析】先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在S，P，Q三点共线时取得，可得到答案【解答】解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PS+PQ，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是1，故选A11F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且F1PF2=60，则F1PF2的面积是（）ABC8D16【考点
13、】双曲线的简单性质【分析】由题意可得 F2（0，），F1 （0，），由余弦定理可得 PF1PF2，由S=PF1PF2sin60，求得F1PF2的面积即为所求【解答】解：由题意可得双曲线即的a=1，b=2，c=，得F2（0，），F1 （0，），又F1F22=20，|PF1PF2|=2，由余弦定理可得：F1F22=PF12+PF222PF1PF2cos60=（PF1PF2）2+PF1PF2=4+PF1PF2，PF1PF2=16F1PF2=PF1PF2sin60=16=4故选B12已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A（0，1）B（0，C（0，）D
14、，1）【考点】椭圆的应用【分析】由=0知M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，cb，c2b2=a2c2由此能够推导出椭圆离心率的取值范围【解答】解：设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a，b，c，=0，M点的轨迹是以原点O为圆心，半焦距c为半径的圆又M点总在椭圆内部，该圆内含于椭圆，即cb，c2b2=a2c2e2=，0e故选：C二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13已知椭圆的离心率，则a的值等于 4或【考点】椭圆的简单性质【分析】由于焦点位置不确定，所以要分两种情况，当焦点在x轴上时：则有c2=a+89=a1；当焦点在y轴上时：则有c2=98a=1
15、a，再分别结合离心率求解【解答】解：当焦点在x轴上时：则c2=a+89=a1又a=4当焦点在y轴上时：则c2=98a=1a又a=故答案为：4或14已知，是空间二向量，若=3，|=2，|=，则与的夹角为60【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【分析】把|=两边平方，整理出两个向量的数量积的值，根据两个向量的夹角的公式，代入两个向量的数量积和两个向量的模长，得到余弦值，根据角的范围得到结果【解答】解：|=，=3，cos=与的夹角为60故答案为：6015已知双曲线的一条渐近线方程是x2y=0，若双曲线经过点，此双曲线的标准方程是【考点】双曲线的标准方程【分析】根据题意，双曲线的渐近线方程是x2
16、y=0，因此设双曲线方程为x24y2=（0），代入M的坐标求出=16，即可求出双曲线的标准方程【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是x2y=0，双曲线的另一条渐近线方程是x+2y=0因此，设双曲线方程为（x+2y）（x2y）=（0），即x24y2=（0）双曲线经过点，=16，可得双曲线的方程为x24y2=16化成标准方程得：故答案为：16在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点A（5，0），C（5，0），顶点B在双曲线=1左支上，则=【考点】双曲线的简单性质【分析】根据双曲线的几何性质，可得AC=10，BCBA=2a=8，根据正弦定理：在ABC中，有=，可得答案【解答】解：由题意，ABC的顶点A（5
17、，0）和C（5，0），顶点B在双曲线=1左支上，可得AC=10，BCBA=2a=8根据正弦定理：在ABC中，有=故答案为：三.解答题：本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（文科）已知椭圆的方程为3x2+y2=18（1）求椭圆的焦点坐标及离心率；（2）求以椭圆的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程【考点】双曲线的标准方程；椭圆的简单性质【分析】（1）首先将椭圆方程化成标准方程，能够得出ab，c然后根据椭圆的焦点坐标及离心率公式求出结果即可（2）先求出椭圆的顶点和焦点坐标，从而得到双曲线的焦点和顶点，进而得到双曲线方程【解答】解：（1）椭圆3x2+y2=18即，a=
18、3，b=由 c2=a2b2，得c=2，离心率：e=，焦点坐标：F1（0，2），F2（0，2）（2）椭圆在y轴上的顶点坐标：（0，3），（0，3），焦点坐标：（0，2），（0，2）双曲线的焦点坐标是：（0，3），（0，3），顶点为（0，2），（0，2）双曲线的半实轴长为：2，半虚轴长为： =双曲线方程为18空间四边形OABC各边以及AC、BO的长都是1，点D、E分别是边OA，BC的中点，连接DE（1）求直线AC与OB所成角；（2）计算DE的长【考点】平面向量的基本定理及其意义【分析】（1）可画出图形，取AC的中点F，并连接OF，BF，容易说明AC平面BOF，从而便可得到ACOB，从而直线AC与O
19、B所成的角便为直角；（2）可取OC的中点G，并连接AG，BG，从而可得到OCAB，连接DF，EF，便得到直角三角形DEF，且DF=EF=，从而可以求出斜边DE的长【解答】解：如图，（1）取AC中点F，连接OF，BF；ABC和AOC都是等边三角形；ACOF，ACBF，OFBF=F；AC平面BOF，OB平面BOF；ACOB；直线AC和OB所成的角为90；（2）取OC中点G，连接AG，BG，则：OC平面ABG；OCAB；连接EF，DF，则EFAB，DFOC，且；EFDF；19已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，若点M（2，y）在抛物线上，且点M到该抛物线焦点的距离为3，（1）求抛物线的标准
20、方程及点M的坐标（2）过点C（3，）做直线l，使得直线l与抛物线相交于A，B两点恰好C为弦AB的中点，求直线l的方程【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的简单性质【分析】（1）由题意可设抛物线的方程为：y2=2px（p0）由于点M（2，y）到该抛物线焦点F的距离为3，可得2=3，解得p即可得出，再代值计算即可求出M的坐标，（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法和中点坐标公式即可求出直线AB的斜率，再根据点斜式方程即可求出答案【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为：y2=2px（p0）点M（2，y）到该抛物线焦点F的距离为3，2=3，解得p=2抛物线的方程为：y2=4x，点M
21、（2，y）在抛物线上，y2=8，y=，M（2，2），或（2，2）（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），y12=4x1，y22=4x2，y12y22=（y1y2）（y1+y2）=4（x1x2）C（3，），恰好C为弦AB的中点，y1+y2=2=1，k=4，直线方程为y=4（x+3），即8x+2y+23=020已知椭圆的两焦点为F1（，0），F2（，0），离心率e=（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m的值【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）先设椭圆方程为，有c=，求得a，b，最后写出椭圆方程；
22、（2）由，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题【解答】解：（1）设椭圆方程为，则c=，a=2，b=1，所求椭圆方程（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m21）=0，则0得m25（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，y1y2=x1x2，|PQ|=2，解得m=，满足（*）m=21如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米（1）以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的
23、直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；（2）若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米？（精确到0.1m）【考点】抛物线的应用【分析】（1）依题意，选择合适的抛物线解析式x2=2py（p0）把有关数据转化为相应点的坐标，即可求得抛物线的方程；（2）设车辆高h，则得出D（3.5，h6.5）利用（1）的方程，将点的坐标代入方程x2=5y，即可求出车辆通过隧道的限制高度【解答】解：如图所示（1）依题意，设该抛物线的方程为x2=2py（p0）因为点C（5，5）在抛物线上，所以该抛物线的方程为x2=5y（2）设车辆高h，则|DB|=h+0.5故D（3.5，h6.5
24、）代入方程x2=5y，解得h=4.05答：车辆通过隧道的限制高度为4.0米22已知双曲线C：y2=1，P为C上的任意点（1）设点A的坐标为（3，0），求|PA|的最小值（2）求证：点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数【考点】双曲线的简单性质【分析】（1）P（x，y），利用两点间的距离公式，结合消元法转化为一元二次函数形式进行求解即可（2）求出双曲线的渐近线，结合点到直线的距离公式进行求解【解答】解：（1）设P（x，y），则1=y2，则|PA|=当x=时，PA的最小值为=，（2）双曲线的渐近线：y=，设P（x，y），则y2=1，即=1则x24y2=4，P到两条渐近线的距离乘积=为常数2016年5月28日