1、2020-2021学年广东省阳江市高二（下）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1命题“x0，2x1”的否定为（）A x0，2x1Bx0，2x1Cx0，2x1Dx0，2x12设z（512i）13i，则（）ABCD3下列函数的求导正确的是（）A（x2）2xB（xcosx）cosxxsinxCD（e2x）2ex4“m4”是“函数的最小值大于4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5展开式中的第5项为常数项，则正整数n的值为（）A2B3C4D56已知A（1，y0）为抛物线C：y22px（p0）上一点，O是坐标原点，点A到C的焦点的距离为2，则|
2、OA|（）A2BC4D57用1，2，3，4，5这5个数组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中，比35241大的数有（）A8个B48个C50个D56个8若关于x的不等式在2，4上有解，则实数m的取值范围是（）A）B）CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9设等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，已知S321，S6189，则（）Aa12Ba13Cq2Dq310关于x，y的方程（其中m24）表示的曲线可能是（）A焦点在y轴上的双曲线B圆心为坐标原点的圆C焦点在x轴上的双曲线D长轴长为的椭
3、圆11设某车间的A类零件的质量m（单位：kg）服从正态分布N（10，2），且P（m10.1）0.2（）A若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg的概率为0.25B若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为0.4C若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg10.1kg的个数的期望为60D若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg10.1kg的个数的方差为2412已知a0，b0，且a+3b1，则（）ABCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知随机变量XB（n，0.8），且，若EY7，则DX 14在ABC中，内
4、角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinB+sinC）2sin2A+sinBsinC，bc2，则ABC的面积为 15某公司为了解某产品的研发费x（单位：万元）对销售量v（单位：百件）的影响，收集了该公司以往的5组数据，发现用函数模型yaekx（e为自然对数的底数）拟合比较合适令zlny得到x+4.06经计算，x，z对应的数据如表所示：研发费x58121520zlny4.55.25.55.86.5则aek 16若，则（ac）2+（bd）2的最小值是 四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱现随
5、机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：跑步公里数性别5，10）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35男461025105女2581762（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为5，15），15，25），25，35的概率；（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关初级高级总计男女总计附：K2，na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.
6、8416.63510.82818设Sn为数列an的前n项和，已知a12，Snan+12（1）求an的通项公式；（2）请从，bn（2n1）an，这三个条件选择一个，求数列bn的前n项和Tn19已知函数f（x）xlnxax2xg（x）ex12ax（1）当x（0，+）时，g（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）设函数F（x）f（x）g（x），其中f（x）为f（x）的导函数，求F（x）的最值20在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者
7、得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品已知前3次取球后，甲得2分，乙得1分（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望21如图，四边形ABCD是菱形，PA底面ABCD，PADE，P与E在平面ABCD的同侧且PA2AD2DE（1）证明：BD平面PCE；（2）若PC与平面ABCD所成角的正切值为2，求二面角DCEP的正弦值22已知函数f（x）（2a）（x1）2lnx（1）若a1求yf（x）x1处的切线方程（2）函数f（x）图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2），使得f（x1）
8、f（x2）f（x0）（x1x2）（其中）成立？请说明理由参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1命题“x0，2x1”的否定为（）AVx0，2x1Bx0，2x1Cx0，2x1Dx0，2x1【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，写出该命题的否定即可解：根据存在量词命题的否定是全称量词命题知，命题“x0，2x1”的否定是：“x0，2x1”故选：B2设z（512i）13i，则（）ABCD【分析】由复数代数形式的乘除运算化简，再求共轭复数即可解：z（512i）13i，z+i，故i，故选：D3下列函数的求导正确的是（）A（x2）2xB（xcosx）cosxxsinxCD（e2x）2
9、ex【分析】对各个选项进行导数运算验证即可解：（x2）2x3，A错；（xcosx）cosxxsinx，B对；（ln10）0，C错；（e2x）2e2x，D错故选：B4“m4”是“函数的最小值大于4”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【分析】根据基本不等式求出m的取值范围，再利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可解：若m4，x0，f（x）x+2，当且仅当x时取等号，f（x）min24，充分性成立，若的最小值大于4，当m0时，函数f（x）在（0，+）上为增函数，则函数无最小值，当m0时，f（x）min2，m4，必要性成立，故选：C5展开式中的第5项为常数项，则正
10、整数n的值为（）A2B3C4D5【分析】由二项式定理的通项公式化简求得解：展开式中的第5项为T5（xn）6（）4x6n12，故6n120，解得n2，故选：A6已知A（1，y0）为抛物线C：y22px（p0）上一点，O是坐标原点，点A到C的焦点的距离为2，则|OA|（）A2BC4D5【分析】由抛物线的定义可得1（）2，解得p，进而可得抛物线的方程，把点A（1，y0）代入抛物线的方程，解得A点坐标，即可计算出|OA|解：由抛物线的定义可得1（）2，所以p2，所以抛物线的方程为y24x，把点A（1，y0）代入抛物线的方程y024，所以y02或2，所以A（1，2）或（1，2），所以|OA|或|OA|，
11、故选：B7用1，2，3，4，5这5个数组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数中，比35241大的数有（）A8个B48个C50个D56个【分析】根据题意，分2种情况讨论：五位数的首位为4或5时，五位数的首位为3时，由加法原理计算可得答案解：根据题意，分种情况讨论：五位数的首位为4或5时，有2A4448个比35241大的数，五位数的首位为3时，有35421、35412，两个比35241大的数，则有48+250个比35241大的数，故选：C8若关于x的不等式在2，4上有解，则实数m的取值范围是（）A）B）CD【分析】根据题意，有m在2，4上有解，即m（）max，进一步可令g（x），x2，4，则g（
12、x），从而利用导数与最值的关系探究出g（x）max即可求出m的取值范围解：由x2，4，得lnx0，又关于x的不等式在2，4上有解，所以m在2，4上有解，即m（）max，令g（x），x2，4，则g（x），设h（x）2xlnxx+，x2，4，则h（x）2lnx+212lnx+10，所以h（x）在2，4上单调递增，所以h（x）h（2）4ln22+4ln220，所以h（x）0，所以g（x）0，即g（x）在2，4上单调递增，所以g（x）maxg（4），则m，所以m的取值范围是（，故选：D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的
13、得2分，有选错的得0分。9设等比数列an的前n项和为Sn，公比为q，已知S321，S6189，则（）Aa12Ba13Cq2Dq3【分析】根据题意列关于a1，q的方程组即可解决此题解：根据题意得：，解得a13，q2故选：BC10关于x，y的方程（其中m24）表示的曲线可能是（）A焦点在y轴上的双曲线B圆心为坐标原点的圆C焦点在x轴上的双曲线D长轴长为的椭圆【分析】分情况讨论4m2的正负，m2+2与4m2大小关系，即可得出答案解：对于A：若曲线表示焦点在y轴上的双曲线，则m2+20，无解，故A错误；对于B：若曲线表示圆心为坐标原点的圆，则m2+24m2，解得m1，故B正确；对于C：若曲线表示焦点在
14、x轴上的双曲线，则4m20，所以m2或m2，故C正确；对于D：若曲线表示长轴长为2的椭圆，则2a2，a，则或，无解，故D错误故选：BC11设某车间的A类零件的质量m（单位：kg）服从正态分布N（10，2），且P（m10.1）0.2（）A若从A类零件随机选取2个，则这2个零件的质量都大于10kg的概率为0.25B若从A类零件随机选取3个，则这3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为0.4C若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg10.1kg的个数的期望为60D若从A类零件随机选取100个，则零件质量在9.9kg10.1kg的个数的方差为24【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称
15、性和组合的概率公式，即可求解解：对于 A，A类零件中大于10kg的概率为P（m10）0.5，所以2个零件质量都大于10kg的概率为0.50.50.25，故 A 正确；对于B，A类零件中小于9.9kg的概率为P（m9.9）P（m10.1）0.2，所以3个零件的质量恰有1个小于9.9kg的概率为，故B错误；对于C，A 类零件中质量在9.9kg10.1kg的概率为12P（m10.1）0.6，所以零件质量在9.9kg10.1kg个数期望为1000.660，故C正确；对于D，零件质量在9.9kg10.1kg个数的方差为np（1p）1000.60.424，故D正确；故选：ACD12已知a0，b0，且a+3
16、b1，则（）ABCD【分析】根据条件可求出，进而得出16b1，从而得出选项A正确；根据a+3b1可得出3ab，并且，从而判断B正确；比如a，可得出log9a+log9b1，从而判断C错误；根据a2+9b216ab可判断出D正确解：a0，b0，a+3b1，a13b0，16b1，A正确；，当且仅当a3b时取等号，B正确；，C错误；，D正确故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知随机变量XB（n，0.8），且，若EY7，则DX1.6【分析】直接利用期望公式，转化求解n，然后求解方差即可解：随机变量XB（n，0.8），且，若EY7，可得7，解得n10，所以DX100.80.
17、21.6故答案为：1.614在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinB+sinC）2sin2A+sinBsinC，bc2，则ABC的面积为 【分析】利用正弦定理，将给的条件角化边，然后利用余弦定理求出cosA的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinA的值，进而根据三角形的面积公式即可求解解：因为（sinB+sinC）2sin2A+sinBsinC，bc2，所以由正弦定理可得b2+c2+2bca2+bc，即b2+c2a2bc，所以cosA，可得sinA，所以SABCbcsinA故答案为：15某公司为了解某产品的研发费x（单位：万元）对销售量v（单位：百件）的影响，收集了该公司
18、以往的5组数据，发现用函数模型yaekx（e为自然对数的底数）拟合比较合适令zlny得到x+4.06经计算，x，z对应的数据如表所示：研发费x58121520zlny4.55.25.55.86.5则aeke4.18【分析】利用回归直线过样本中心点求出b的值，从而得到回归方程z0.12x+4.06，再利用zlny得出a，k的值解：，所以，解得，所以z0.12x+4.06又因为zlny，所以yeze0.12x+4.06e4.06e0.12x所以aeke4.06e0.12e4.18故答案为：e4.1816若，则（ac）2+（bd）2的最小值是 2【分析】根据题意，得ba2lna，dc2，则问题转化为
19、曲线上的点（a，b）与直线上的点（c，d）之间的距离平方的最小值，利用切线以及平行线间的距离公式计算即可解：由1，得ba2lna，dc2，则问题转化为曲线上的点（a，b）与直线上的点（c，d）之间的距离平方的最小值，利用切线以及平行线间的距离公式计算即可，令yx2lnx，设曲线上一点P（x0，y0），在点P处的切线斜率为k2x0，依题意，得2x01，解得x01，或（舍去），所以P（1，1），函数图象在点P处的切线方程为yx，又yx2，所以切线方程为xy0，直线方程为xy20，由平行线间的距离公式，得d，所以（ac）2+（bd）2的最小值为2故答案为：2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应
20、写出文字说明、证明过程或演算步骤。17马拉松赛事是当下一项非常火爆的运动项目，受到越来越多人的喜爱现随机在“马拉松跑友群”中选取100人，记录他们在某一天马拉松训练中的跑步公里数，并将数据整理如下：跑步公里数性别5，10）10，15）15，20）20，25）25，30）30，35男461025105女2581762（1）分别估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为5，15），15，25），25，35的概率；（2）已知一天的跑步公里数不少于20公里的跑友被“跑友群”评定为“高级”，否则为“初级”，根据题意完成给出的22列联表，并据此判断能否有95%的把握认为“评定级别”与“性
21、别”有关初级高级总计男女总计附：K2，na+b+c+dP（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【分析】（1）分别用跑步公里数为5，15），15，25），25，35的频率估计概率；（2）完成列联表，计算K2的值，并与3.841比较得出结论解：（1）由频数分布表可知，估计“马拉松跑友群”中的人在一天的马拉松训练中的跑步公里数为5，15）的概率为，跑步公里数为15，25）的概率为，跑步公里数为25，35的概率为；（2）22列联表如下：初级高级总计男204060女152540总计3565100因为，所以没有95%的把握认为“评定级别”与“性别”有关18设Sn为数列a
22、n的前n项和，已知a12，Snan+12（1）求an的通项公式；（2）请从，bn（2n1）an，这三个条件选择一个，求数列bn的前n项和Tn【分析】（1）直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；（2）选条件时，利用分裂讨论思想的应用利用分组法求出数列的和；选条件时，利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和；选条件时，利用裂项相消法的应用求出数列的和解：（1）Sn为数列an的前n项和，已知a12，Snan+12，当n2时，Sn1an2，得：an+12an，即（常数）所以数列an是以2为首项，2为公比的等比数列，则（2）选条件时，当n1时，当n2时，.，所以当n为偶数时，当n为奇数时，选条件bn
23、（2n1）an时，所以，得：，整理得：选条件时，所以19已知函数f（x）xlnxax2xg（x）ex12ax（1）当x（0，+）时，g（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）设函数F（x）f（x）g（x），其中f（x）为f（x）的导函数，求F（x）的最值【分析】（1），构造，求函数h（x）的最值即可求出实数a的取值范围；（2）先求出F（x），再利用导数符号与函数单调性之间的关系求出函数F（x）的单调性，进而求出最值解：（1）当x（0，+）时，令，当0x1时，h（x）0，h（x）在（0，1）上单调递减；当x1时，h（x）0，h（x）在（1，+）上单调递增，所以，所以，即实数a的取值范围为（2）
24、f（x）lnx2ax，所以F（x）f（x）g（x）lnxex1，显然F（x）单调递减，又F（1）0，故当0x1时，F（x）0，F（x）在（0，1）上单调递增；当x1时，F（x）0，F（x）在（1，+）上单调递减，所以当x1时，F（x）取到最大值F（1）011，无最小值20在一个不透明的盒中，装有大小、质地相同的两个小球，其中1个是黑色，1个是白色，甲、乙进行取球游戏，两人随机地从盒中各取一球，两球都取出之后再一起放回盒中，这称为一次取球，约定每次取到白球者得1分，取到黑球者得0分，一人比另一人多3分或取满9次时游戏结束，并且只有当一人比另一人多3分时，得分高者才能获得游戏奖品已知前3次取球后，
25、甲得2分，乙得1分（1）求甲获得游戏奖品的概率；（2）设X表示游戏结束时所进行的取球次数，求X的分布列及数学期望【分析】（1）利用独立重复实验的概率求解即可（2）求出离散型随机变量X的取值，求出概率得到的分布列，然后求解期望解：（1）设甲获得游戏奖品为事件A：，所以甲获得游戏奖品的概率为；（2）X可能的取值为：5，7，9；，X的分布列为X579PX的数学期望21如图，四边形ABCD是菱形，PA底面ABCD，PADE，P与E在平面ABCD的同侧且PA2AD2DE（1）证明：BD平面PCE；（2）若PC与平面ABCD所成角的正切值为2，求二面角DCEP的正弦值【分析】（1）连接AC，设BD与AC交
26、于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，可证四边形OFED为平行四边形，可得BDEF，再由直线与平面平行的判定得BD平面PCE；（2）设PA2，则ADDE1，由已知求得AC1，可得ABC为等边三角形，设BC的中点为M，连接AM，则AMBC，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面PCE的一个法向量与平面CDE的一个法向量，可得两法向量所成角的余弦值，进一步求得二面角DCEP的正弦值【解答】（1）证明：连接AC，设BD与AC交于点O，取PC的中点F，连接OF，EF，O，F分别为AC，PC的中点，OFPA，OFPA，DEPA，且DEPA，OFDE
27、且OFDE，故四边形OFED为平行四边形，可得ODEF，即BDEF，EF平面PCE，BD平面PCE，BD平面PCE；（2）解：设PA2，则ADDE1，PC与平面ABCD所成角为PCA，tan，则AC1，ACADCD，故ABC为等边三角形，设BC的中点为M，连接AM，则AMBC，以A为坐标原点，分别以AM，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），C（，0），E（0，1，1），D（0，1，0），设平面PCE的一个法向量为，由，令y11，得；设平面CDE的一个法向量为，由，取x21，则cos则二面角DCEP的正弦值为22已知函数f（x）（2a）（x1）2lnx（1）若
28、a1求yf（x）x1处的切线方程（2）函数f（x）图象上的两点M（x1，y1），N（x2，y2），使得f（x1）f（x2）f（x0）（x1x2）（其中）成立？请说明理由【分析】（1）把a1代入函数解析式，求出导函数，再求出f（1）与f（1），利用直线方程的点斜式得答案；（2）若f（x1）f（x2）f（x0）（x1x2）成立，其中，则曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线的斜率等于直线MN的斜率，不妨设0x1x2，问题转化为，令t，则0t1，可得lnt+，再由导数证明该方程无解即可解：（1）若a1，则f（x）3（x1）2lnx，f（x）3，f（1）0，f（1）1，yf（x）x1处的切线方程为yx1，即xy10；（2）若f（x1）f（x2）f（x0）（x1x2）成立，其中，则曲线yf（x）在点（x0，f（x0）处的切线的斜率等于直线MN的斜率，不妨设0x1x2，2a，f（x0）2a，则，即，令t，则0t1，上式化为lnt，即lnt+，令h（t）lnt+，0t1，则h（t）0，可得h（t）在（0，1）上单调递增，则h（t）h（1）0，方程lnt+没有实数根，故f（x1）f（x2）f（x0）（x1x2）不成立，其中
