1、第1页返回导航 数学 基础知识导航考点典例领航 智能提升返航 课时规范训练 第2页返回导航 数学 第4课时 直线、平面的垂直关系第3页返回导航 数学 1直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线 l 与平面 内的直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直任意第4页返回导航 数学 文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的都垂直，则该直线与此平面垂直a、babOlalbl性质定理垂直于同一个平面的两条直线ab ab(2)判定定理与性质定理两条相交直线平行第5页返回导航 数学 2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面
2、互相垂直直二面角第6页返回导航 数学 文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的一条，则这两个平面互相垂直ll 性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于的直线与另一个平面垂直lalal(2)判定定理和性质定理垂线交线第7页返回导航 数学 3.判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)已知直线 a，b，c：若 ab，bc，则 ac.()(2)直线 l 与平面 内无数条直线都垂直，则 l.()(3)设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，若 mn，m，则 n.()(4)设 l 为直线，是两个不同的平面，若，l，则 l.()(5)若两平面垂直，则其中一个平面内的任
3、意一条直线垂直于另一个平面()第8页返回导航 数学(6)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则.()(7)若直线 a平面，直线 b，则直线 a 与 b 垂直()(8)直线 a，b，则 ab.()(9)若，aa.()(10)垂直于同一平面的两个平面平行()第9页返回导航 数学 考点一 直线与平面垂直的判定与性质命题点1.直线与平面垂直的判定2.直线与平面垂直的性质例 1(1)(2016高考浙江卷)已知互相垂直的平面，交于直线l，若直线 m，n 满足 m，n，则()Aml BmnCnlDmn第10页返回导航 数学 解析：因为l，所以l，又n，所以nl.故选C.答案：C第11页返回导航
4、数学(2)如图，三棱锥 P-ABC 中，平面 PAC平面 ABC，ABC2，点 D，E 在线段 AC 上，且 ADDEEC2，PDPC4，点 F在线段 AB 上，且 EFBC.证明：AB平面 PFE；若四棱锥 P-DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长第12页返回导航 数学 解：证明：由 DEEC，PDPC 知，E 为等腰PDC 中 DC边的中点，故 PEAC.又平面 PAC平面 ABC，平面 PAC平面ABCAC，PE平面 PAC，PEAC，所以 PE平面 ABC，从而PEAB.因为ABC2，EFBC，所以 ABEF.从而 AB 与平面 PFE 内两条相交直线 PE，EF 都垂直，所以
5、AB平面 PFE.第13页返回导航 数学 设 BCx，则在 RtABC 中，AB AC2BC2 36x2，从而 SABC12ABBC12x 36x2.由 EFBC 知，AFABAEAC23，得AFEABC，故SAFESABC23249，即 SAFE49SABC.第14页返回导航 数学 由 AD12AE，SAFD12SAFE1249SABC29SABC19x 36x2，从而四边形 DFBC 的面积为 SDFBCSABCSAFD12x 36x219x 36x2 718x 36x2.由知 PE平面 ABC，所以 PE 为四棱锥 P-DFBC 的高在 RtPEC 中，PE PC2EC2 42222 3
6、，第15页返回导航 数学 所以 VP-DFBC13SDFBCPE13 718x 36x22 37，所以 x436x22430，解得 x29 或 x227.由于 x0，因此 x3 或 x3 3.所以 BC3 或 BC3 3.第16页返回导航 数学 方法引航 1证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；,垂直于平面的传递性ab，ab；,面面平行的性质a，a；面面垂直的性质.2证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.3线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.第17页返回导航 数学 1在空间内，设 l，m，n 是三条不
7、同的直线，是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A，l，则 lBl，l，m，则 lmCl，m，n，若 lm，则 lnD，则 或 第18页返回导航 数学 解析：选 D.对于 A，如果两个相交平面均垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，该命题是真题；对于 B，如果一条直线平行于两个相交平面，那么该直线平行于它们的交线，该命题是真命题；对于 C，如果三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或相互平行，该命题是真命题；对于 D，当两个平面同时垂直于第三个平面时，这两个平面可能不垂直也不平行，D 是假命题综上所述，选 D.第19页返回导航 数学 2在本例(2)中，若 GB
8、C 上且 CG13BC.求证：PGBC.第20页返回导航 数学 证明：CG13BC，CE13CA.EGAB.BCAB，BCEG又PE面 ABC，PEBC.PEEGEBC面 PEG，PGBC.第21页返回导航 数学 考点二 平面与平面的垂直关系命题点1.平面与平面垂直的判定2.平面与平面垂直的性质第22页返回导航 数学 例 2(1)如图，P 是正方形 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD，则平面 PAB 与平面PBC、平面 PAD 的位置关系是()A平面 PAB 与平面 PBC、平面 PAD 都垂直B它们两两垂直C平面 PAB 与平面 PBC 垂直，与平面 PAD 不垂直D平面 PAB 与平
9、面 PBC、平面 PAD 都不垂直第23页返回导航 数学 解析：DAAB，DAPA，ABPAA，DA平面 PAB，又DA平面 PAD，平面 PAD平面 PAB，同理可证平面 PAB平面 PBC.答案：A第24页返回导航 数学(2)(2016高考北京卷)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.求证：DC平面 PAC；求证：平面 PAB平面 PAC；设点 E 为 AB 的中点在棱 PB 上是否存在点 F，使得 PA平面 CEF？说明理由第25页返回导航 数学 证明：因为 PC平面 ABCD，所以 PCDC.又因为 DCAC，PCCAC，所以 DC平面 PAC.因为
10、ABDC，DCAC，所以 ABAC.因为 PC平面 ABCD，所以 PCAB，且 PCACC，所以 AB平面 PAC，且 AB面 PAB.所以平面 PAB平面 PAC.第26页返回导航 数学 棱 PB 上存在点 F，使得 PA平面 CEF.证明如下：如图，取 PB 中点 F，连接 EF，CE，CF.又因为 E 为 AB 的中点，所以 EFPA.又因为 PA平面 CEF，所以 PA平面 CEF.第27页返回导航 数学 方法引航 面面垂直的判定定理是利用了线面垂直，因此证其中一个平面的垂线是第一步，而面面垂直的性质必须是在其中一个平面内作交线的垂线，才可得出线面垂直.第28页返回导航 数学 如图，
11、在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD平面 ABCD，ABDC，PAD 是等边三角形，已知 AD4，BD4 3，AB2CD8.(1)设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD平面 PAD；(2)求四棱锥 P-ABCD 的体积第29页返回导航 数学 解：(1)证明：在ABD 中，AD4，BD4 3，AB8，AD2BD2AB2.ADBD.又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 ABCD，BD平面 PAD.又 BD平面 MBD，平面 MBD平面 PAD.第30页返回导航 数学(2)过点 P 作 POAD 于 O，则 POAD.平面 PAD平面 ABCD，PO平面
12、 ABCD.即 PO 为四棱锥 P-ABCD 的高第31页返回导航 数学 又PAD 是边长为 4 的等边三角形，PO4 32 2 3.在RtADB中，斜边AB上的高为44 382 3，此即为梯形ABCD的高S 梯形 ABCD482 2 312 3.VP-ABCD1312 32 324.第32页返回导航 数学 考点三 空间垂直关系的探索命题点1.探索点、线元素使之垂直2.探索数量使之垂直第33页返回导航 数学 例 3(1)如图，已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，ACB90，ACBC2，AA14，D 是棱 AA1 上的任一点，M，N 分别为 AB，BC1 的中点求证：MN平面 DCC1；试确
13、定点 D 的位置，使得DC1平面 DBC.第34页返回导航 数学 解：证明：法一：如图，连接 AC1，因为 M，N 分别为 AB，BC1的中点，故 MNAC1，又 AC1平面 DCC1，MN平面 DCC1，故 MN平面 DCC1.法二：如图，取 BC 的中点 G，连接 GN，GM，则 GNCC1，又 CC1平面 DCC1，GN平面 DCC1，故 GN平面 DCC1.同理可知 GM平面 DCC1，又 GN，GM 是平面 NMG内的两条相交直线，故平面 NMG平面 DCC1，又 MN平面NMG，故 MN平面 DCC1.第35页返回导航 数学 当点 D 为 AA1 的中点时，满足 DC1平面 DBC
14、.证明：由题意可知 BCAC，BCCC1，而 AC，CC1 是平面 AA1C1C内的两条相交直线，故 BC平面 AA1C1C，又 DC1平面 AA1C1C，故 DC1BC.在CDC1 中，CD2 2，DC12 2，CC14，满足 CD2DC21CC21，所以 DC1DC，又 BC，DC 是平面 DBC 内的两条相交直线，故 DC1平面 DBC.第36页返回导航 数学(2)(2017河南郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABC-ABC的侧棱垂直于底面，ABAC，BAC90，点 M，N 分别为 AB 和BC的中点证明：MN平面 AACC；设 ABAA，当 为何值时，CN平面 AMN，试证明你的结论第37
15、页返回导航 数学 证明：连接 AB，AC，MAB，M 是 AB的中点，在BAC中，MN 为其中位线，MNAC，AC面 AACC，MN面 AACC.MN面 AACC.第38页返回导航 数学 连接 BN，设 AAa，则 ABAAa，由题意知 BC 2a，CNBNa2122a2，因为三棱柱 ABC-ABC的侧棱垂直于底面，所以平面 ABC平面 BBCC，因为 ABAC，点 N 是 BC的中点，所以 AN平面BBCC，所以 CNAN，第39页返回导航 数学 要使 CN平面 AMN，只需 CNBN 即可，所以 CN2BN2BC2，即 2a2122a2 22a2，解得 2，故当 2时，CN平面AMN.第4
16、0页返回导航 数学 方法引航 证明线线、线面、面面垂直的问题时，要掌握好线面垂直、面面垂直的判定与性质定理，并依据定理准确地找出或作出有关的直线或平面，这是解决问题的关键.第41页返回导航 数学 1如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，底面是ABC 为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D 是 A1C1 的中点，点 F 在线段 AA1 上，当 AF_时，CF平面 B1DF.第42页返回导航 数学 解析：B1D平面 A1ACC1，CFB1D，为了使 CF平面 B1DF，只要使 CFDF(或 CFB1F)，设 AFx，则 CD2DF2FC2，x23ax2a20，xa 或 x2a.答案
17、：a或2a第43页返回导航 数学 2如图，在四棱锥 S-ABCD 中，平面 SAD平面 ABCD.四边形ABCD 为正方形，且 P 为 AD 的中点(1)求证：CD平面 SAD；(2)若 SASD，M 为 BC 的中点，在棱SC 上是否存在点 N，使得平面 DMN 平面 ABCD？并证明你的结论第44页返回导航 数学 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为正方形，所以 CDAD.又平面 SAD平面 ABCD，且平面 SAD平面 ABCDAD，所以CD平面 SAD.(2)存在点 N 为 SC 的中点，使得平面 DMN平面 ABCD.证明：连接 PC、DM 交于点 O，连接 PM、SP、NM、N
18、D、NO，因为 PDCM，且 PDCM，第45页返回导航 数学 所以四边形 PMCD 为平行四边形，所以 POCO.又因为 N 为 SC 的中点，所以 NOSP.易知 SPAD，因为平面 SAD平面 ABCD，平面 SAD平面 ABCDAD，并且 SPAD，所以 SP平面ABCD，所以 NO平面 ABCD.又因为 NO平面 DMN，所以平面 DMN平面 ABCD.第46页返回导航 数学 规范答题利用平行与垂直求空间距离的规范答题典例(本题满分 12 分)已知四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面ABCD 是边长为 2 的菱形，AA12 3，BDA1A，BADA1AC60，点 M 是棱 AA
19、1 的中点(1)求证：A1C平面 BMD；(2)求点 C1 到平面 BDD1B1 的距离第47页返回导航 数学 规范解答(1)证明：设 AC 与 BD 交于点 O，连接 MO.A1MMAAOOCMOA1C MO平面BMD A1C平面BMDA1C平面 BMD.4 分第48页返回导航 数学(2)连接 A1O，由 BDAA1，BDAC 得 BD平面 A1AC，于是 BDA1O.四边形ABCD为菱形 BAD60 AB2AO12AC 3 AA12 3 A1AC60A1OAC A1OBDA1O平面 ABCD.8 分第49页返回导航 数学 又因为平面 ABCD平面 A1B1C1D1，所以点 B 到平面 A1
20、B1C1D1 的距离等于点 A1 到平面 ABCD 的距离，即 A1O3.设 C1 到平面 BDD1B1 的距离为 d，10 分由 VB-B1C1D1VC1-BB1D1133122 313d1222 3d32，12 分故所求距离为32.第50页返回导航 数学 规范建议(1)先证出 MOA1C(必须证明，不能直接说出)，再写出线面平行的条件(MO面 BMD、A1C面 BMD)，不可省略；(2)利用已知垂直关系得出 A1OAC，再证出 A1O平面 ABCD(备用)；(3)利用面 ABCD面 A1B1C1D1 转化两平面间的距离；(4)利用等积转化三棱锥 B-B1C1D1 的体积第51页返回导航 数
21、学 高考真题体验1(2016高考全国甲卷)，是两个平面，m，n 是两条直线，有下列四个命题：如果 mn，m，n，那么.如果 m，n，那么 mn.如果，m，那么 m.如果 mn，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号)第52页返回导航 数学 解析：对于命题，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设 AA为直线 m，CD 为直线 n，ABCD 所在的平面为，ABCD所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但 不成立第53页返回导航 数学 命题正确，证明如下：设过直线 n 的某平面与平面 相交于直线 l，则 ln，由 m 知 ml，从而 mn
22、，结论正确由平面与平面平行的定义知命题正确由平行的传递性及线面角的定义知命题正确答案：第54页返回导航 数学 2(2015高考课标全国卷)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为AC 与 BD 的交点，BE平面 ABCD.(1)证明：平面 AEC平面 BED；(2)若ABC120，AEEC，三棱锥 E-ACD 的体积为 63，求该三棱锥的侧面积第55页返回导航 数学 解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD.因为 BE平面 ABCD，所以 ACBE.且 BDBEB，故 AC平面 BED.又 AC平面 AEC，所以平面 AEC平面 BED.(2)设 ABx，在菱形 ABCD 中
23、，由ABC120，可得 AGGC 32 x，GBGDx2.第56页返回导航 数学 因为 AEEC，所以在 RtAEC 中，可得 EG 32 x.由 BE平面 ABCD，知EBG 为直角三角形，可得 BE 22 x.由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 VE-ACD1312ACGDBE 624x3 63.故 x2.第57页返回导航 数学 从而可得 AEECED 6.所以EAC 的面积为 3，EAD 的面积与ECD 的面积均为 5.故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 32 5.第58页返回导航 数学 3(2014高考课标卷)如图，三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧面 BB1C1C为菱形，B1C 的
24、中点为 O，且 AO平面 BB1C1C.(1)证明：B1CAB；(2)若 ACAB1，CBB160，BC1，求三棱柱 ABC-A1B1C1 的高第59页返回导航 数学 解：(1)证明：连接 BC1，则 O 为 B1C 与 BC1 的交点因为 BB1C1C为菱形，所以 B1CBC1.又 AO平面 BB1C1C，所以 B1CAO，故 B1C平面 ABO.由于 AB平面 ABO，故 B1CAB.第60页返回导航 数学(2)作 ODBC，垂足为 D，连接 AD.作 OHAD，垂足为 H.由于 BCAO，BCOD，故 BC平面 AOD，所以 OHBC.又 OHAD，所以 OH平面 ABC.因为CBB16
25、0，所以CBB1 为等边三角形，又 BC1，可得OD 34.由于 ACAB1，所以 OA12B1C12.第61页返回导航 数学 由 OHADODOA，且 AD OD2OA2 74，得 OH 2114.又 O 为 B1C 的中点，所以点 B1 到平面 ABC 的距离为 217.故三棱柱 ABC-A1B1C1 的高为 217.第62页返回导航 数学 4(2015高考湖南卷)如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 BC，CC1 的中点(1)证明：平面 AEF平面 B1BCC1；(2)若直线 A1C 与平面 A1ABB1 所成的角为 45，求三棱锥 F-A
26、EC 的体积第63页返回导航 数学 解：(1)证明：如图所示，因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 AEBB1.又 E 是正三角形 ABC 的边 BC 的中点，所以 AEBC.且 BB1BCB，因此 AE平面 B1BCC1.而 AE平面 AEF，所以平面AEF平面 B1BCC1.第64页返回导航 数学(2)如图，设 AB 的中点为 D，连接 A1D，CD.因为ABC 是正三角形，所以 CDAB.又三棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，所以 CDAA1.因此 CD平面 A1ABB1，于是CA1D 为直线 A1C 与平面 A1ABB1所成的角由题设，CA1D45，所以 A1DCD 32 AB 3.第65页返回导航 数学 在 RtAA1D 中，AA1 A1D2AD2 31 2，所以 FC12AA1 22.故三棱锥 F-AEC 的体积 V13SAECFC13 32 22 612.第66页返回导航 数学 课时规范训练
