1、山东省青岛市第二中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分.题110为单选题，题11-13为多选题，多选题错选得0分，漏选得2分.）1.椭圆的一个焦点是，那么（ ）A. 5B. 25C. -5D. -25【答案】B【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得，由此列方程求得的值.【详解】椭圆的标准方程为，由于椭圆焦点为，故焦点在轴上，且.所以，解得.故选：B【点睛】本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于基础题.2.双曲线的一条渐近线的方程为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写
2、出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.【详解】双曲线的一条渐近线的方程为，即双曲线的一条渐近线的方程为，所以.故选：A【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线方程求双曲线标准方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a，b.3.命题“，”的否定是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项.【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论，所以A选项正确.故选：A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题.4.下列语句中，是命题的是（ ）A. ，B. 不是无限不循环小数C. 直线与平面相交D. 在
3、线段上任取一点【答案】B【解析】【分析】ACD三个选项不能判断真假，不是命题，B能够判断真假，是命题.【详解】根据命题的概念，必须能够判断真假，其中ACD均不能判断真假，B选项满足题意是命题.故选：B【点睛】此题考查命题的概念辨析，关键在于熟练掌握命题的概念，能够判断真假即是命题.5.平面内，一个动点，两个定点，若为大于零的常数，则动点的轨迹为（ ）A. 双曲线B. 射线C. 线段D. 双曲线的一支或射线【答案】D【解析】分析】根据双曲线的定义，对动点的轨迹进行判断，由此确定正确选项.【详解】两个定点的距离为,当时，点的轨迹为双曲线的一支；当时，点的轨迹为射线；不存在的情况.综上所述，的轨迹为
4、双曲线的一支或射线.故选：D【点睛】本小题主要考查双曲线定义的辨析，属于基础题.6.下列命题是全称命题且是真命题的是（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的概念判断，根据函数关系判断真假.【详解】A. ，当，所以该命题是假命题；B. ，当，所以该命题是假命题；C. ，满足题意；D. ，当，所以该命题是假命题.故选：C【点睛】此题考查全称命题的辨析和真假判断，关键在于熟练掌握命题概念，根据函数关系准确求解.7.如果方程表示双曲线，则实数的取值范围是（ ）A. B. 且C. D. 或【答案】B【解析】【分析】根据双曲线方程形式得，即可得解.【详解】方程表示双曲
5、线，则，解得：且.故选：B【点睛】此题考查双曲线概念辨析，根据方程表示双曲线求解参数的取值范围，关键在于熟练掌握双曲线方程的形式.8.已知，是椭圆的两个焦点，是上一点.若，则的面积为（ ）A. B. C. D. 与有关【答案】A【解析】【分析】根据椭圆几何性质结合余弦定理求得，利用三角形面积公式即可得解.【详解】根据椭圆几何性质可得：，中，由余弦定理：，即，解得：的面积为.故选：A【点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，结合余弦定理和面积公式求三角形面积，关键在于熟练掌握椭圆基本性质和三角形相关定理公式.9.已知，是椭圆的左，右焦点，直线与该椭圆交于，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.
6、 B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】联立直线和椭圆求出交点坐标，分别讨论直角情况即可得解.【详解】联立直线和椭圆方程：所以直线与椭圆交点坐标，因为椭圆焦点在x轴，所以角B不可能为直角，当角C为直角时，即；当角为直角时，即，.所以离心率为或故选：D【点睛】此题考查根据直线与椭圆位置关系，结合三角形形状求解离心率，关键在于准确求出直线与椭圆的交点坐标，根据垂直关系建立等量关系求椭圆离心率.10.已知双曲线的左，右焦点分别为，为右支上一点，且，则内切圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据求出三角形的边长和面积，利用等面积法求出内切圆的半径，即可得到面积.【
7、详解】由题：，则，为右支上一点，中由余弦定理：解得，的面积，设其内切圆半径为r，解得：则内切圆的面积为【点睛】此题考查根据双曲线的几何性质求解焦点三角形的面积和内切圆的半径，根据等面积法求解半径得到圆的面积.11.（多选题）下列命题中，是真命题的是（ ）A. 若，则B. 正数，若，则C. ，使D. 正数，则是的充要条件【答案】BCD【解析】【分析】考虑可判定A选项是假命题，其余选项均为真命题.【详解】A选项：若，任意向量，不能推出，该命题为假命题；B选项考虑其逆否命题“正数，若，则”是真命题，所以该选项为真命题；C选项：当满足题意，所以该命题为真命题；D选项：正数，等价于，等价于，则是的充要条
8、件故选：BCD【点睛】此题考查判断命题的真假，涉及向量数量积，基本不等式，对数运算，特称命题真假性的判断，知识面广.12.（多选题）已知双曲线与双曲线的渐近线将第三象限三等分，则双曲线的离心率可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据渐近线的平分关系求出斜率，根据斜率为或即可得到离心率可能的取值.【详解】双曲线与双曲线的渐近线将第三象限三等分，根据双曲线对称性可得：双曲线与双曲线的渐近线将第一象限三等分，所以第一象限的两条渐近线的倾斜角为30和60，其斜率为或，所以其离心率为2或.故选：CD【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线关系求离心率，关键在于对题目所给条件进行等价
9、转化，利用双曲线基本量之间的关系求解.13.（多选题）下列说法正确的是（ ）A. 方程表示两条直线B. 椭圆的焦距为4，则C. 曲线关于坐标原点对称D. 双曲线的渐近线方程为【答案】ACD【解析】【分析】B选项漏掉考虑焦点在y轴的情况，ACD说法正确.【详解】方程即，表示，两条直线，所以A正确；椭圆的焦距为4，则或，解得或，所以B选项错误；曲线上任意点，满足，关于坐标原点对称点也满足，即在上，所以曲线关于坐标原点对称，所以C选项正确；双曲线即，其渐近线方程为正确，所以D选项正确.故选：ACD【点睛】此题考查曲线方程及简单性质辨析，涉及认识曲线方程，研究对称性，根据椭圆性质求参数的取值，求双曲线
10、的渐近线.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.）14.方程表示椭圆，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据方程表示椭圆，列不等式组可得，即可求解.【详解】由题方程表示椭圆，则，解得故答案为：【点睛】此题考查根据曲线方程表示椭圆求参数的取值范围，关键在于熟练掌握椭圆的标准方程特征，此题容易漏掉考虑a=6的情况不合题意.15.若“，”是真命题，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据，实数的取值范围，即.【详解】，即，在单调递增，即.故答案为：【点睛】此题考查根据命题的真假求解参数的取值范围，关键在于准确求出函数的最值，熟练掌握函数的单调性.16.是椭圆的右焦点
11、，是椭圆上的动点，为定点，则的最小值为_.【答案】【解析】【分析】将问题进行转化，根据动点到两个定点距离之差的最值求解.【详解】是椭圆的右焦点，是椭圆的左焦点，在椭圆内部，当P为的延长线与椭圆交点时取得最小值.故答案为：【点睛】此题考查椭圆上的点到椭圆内一点和焦点的距离之和最值问题，关键在于利用椭圆的几何性质进行等价转化，结合平面几何知识求解.17.已知点，分别是射线，上的动点，为坐标原点，且的面积为定值4.则线段中点的轨迹方程为_.【答案】，【解析】【分析】设出中点坐标，根据面积关系建立等量关系化简即可得到轨迹方程.【详解】由题：，相互垂直，设线段中点，的面积为定值4，即，即，两式平方得：，
12、两式相减得：即，故答案为：，【点睛】此题考查求轨迹方程，关键在于根据已知给定的条件建立等量关系，此类题目容易漏掉考虑取值范围的限制.三、解答题（本大题共6小题，满分82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.已知集合，.若是假命题.求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】将问题转化考虑是真命题，求出实数a的取值范围，即可得到若是假命题，实数的取值范围.【详解】考虑是真命题，即没有正根，得；得，或，当时符合题意，当时，不合题意，所以；无解；综上当是真命题，所以若是假命题【点睛】此题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键在于准确求解二次方程根的分布问题，利用转化与化归思想和补集思想求
13、解.19.已知对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，该椭圆过，且长轴长与短轴长之比为4:3.求该椭圆的标准方程.【答案】或【解析】【分析】根据椭圆的长轴短轴长度之比设椭圆的标准方程，根据椭圆经过的点求解参数即可得解.【详解】由题：对称中心在坐标原点的椭圆关于坐标轴对称，长轴长与短轴长之比为4:3，当焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为，m0，椭圆过，解得：m=1，所以椭圆标准方程为同理可得当焦点在y轴上，椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为或【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据长轴短轴长度关系设方程，根据椭圆上的点的坐标求解，易错点在于漏掉考虑焦点所在位置.20.已知命题：“，使方程
14、有解”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将问题转化为在有解，即可求解；（2）分类讨论求解即可得到参数的取值范围.【详解】（1）命题：“，使方程有解”真命题.即在有解，所以即；（2）不等式的解集为集合，若是的必要不充分条件，当不合题意；当时，得；当时，得；所以【点睛】此题考查根据方程有解求参数的取值范围，根据充分条件和必要条件关系求解参数的取值范围，关键在于弄清充分条件和必要条件关系，利用分类讨论求解.21.设，分别是椭圆的左，右焦点，若是该椭圆上的一个动点，的最大值为1.求椭圆的方程
15、.【答案】【解析】【分析】设出焦点坐标，表示出利用函数关系求出最大值，即可得到.【详解】由题：，分别是椭圆的左，右焦点，设施椭圆上的动点，即，当=4时，取得最大值，即，所以椭圆的方程为.【点睛】此题考查求椭圆的标准方程，关键在于根据椭圆上的点的坐标准确计算，结合取值范围求解最值.22.已知平面直角坐标系中两个不同的定点，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率之积为，求动点的轨迹方程，并说明此轨迹是何种曲线.【答案】见解析.【解析】【分析】根据斜率关系化简得，分类讨论得解【详解】设，过点的直线与过点的直线相交于点，若直线与直线的斜率之积为，即，当轨迹是圆，不含点，；当，轨迹是以，为顶
16、点的双曲线，不含顶点，；当，轨迹是以，为长轴顶点的椭圆，不含，；当，轨迹是以，为短轴顶点的椭圆，不含，【点睛】此题考查曲线轨迹的辨析，关键在于根据题意建立等量关系，根据曲线轨迹方程分类讨论得解.23.已知椭圆和双曲线，点，为椭圆的左，右顶点，点在双曲线上，直线与椭圆交于点（不与点，重合），设直线，的斜率分别为，.（1）求证：；（2）求证：的值为定值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设，表示出斜率即可求得斜率之积；（2）设直线，依次求解P，Q坐标，表示出斜率之和化简即可得解.【详解】（1）由题：满足，；（2）根据曲线的对称性不妨设直线，联立得，不妨取，同理可得：所以的值为定值.【点睛】此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率求解斜率之积和斜率之和证明结论.