1、第47课 椭圆的几何性质一、考纲要求1熟练掌握椭圆的几何性质，会利用几何性质解决简单的问题；2能够依据椭圆的几何性质获得参数间的关系，并能够处理与其它曲线进行综合的简单问题二、知识梳理1 阅读教材第33页36页，熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率），会从椭圆方程及图形两个角度研究某些性质；2.椭圆的离心率是反映了椭圆形状的一个重要量，它与之间满足一个什么关系，试从这个角度说明椭圆的扁圆程度，要求离心率关键要寻找何种等式？3.阅读第35页例1，在画出椭圆前，先把其方程化成函数形式的，思考：椭圆方程与函数的关系？4.阅读第35页例2，思考：是椭圆上的点到某一焦点的最小与最大距离吗？你能
2、证明吗？要点解析1熟练掌握由椭圆方程求出6点、短轴长、长轴长、离心率、焦距、通径长、焦准距，两准距、等基本量；2椭圆的变量范围主要应用于：（1）构造某一函数时作为定义域考虑，（2）在求离心率范围时作为构造不等关系的依据；3.椭圆的特征三角形是什么？其中哪个量对应于离心率？椭圆上点从某一长轴的端点出发向短轴端点运动过程中它对两个焦点形成的张角如何变化？形成的焦点三角形的面积如何变化？你能证明吗？4.求椭圆的离心率及离心率的范围其实质是去寻找含的齐次等式与齐次不等式，建立等量关系与不等关系通常有哪些手段呢？5.在椭圆的焦点三角形中研究问题一般离不开使用第一定义，有时还会结合正（余)弦定理解决问题；
3、6、涉及椭圆上点到焦点距离时一般会想到焦半径公式：，此公式来源于椭圆的第二定义。三、诊断练习1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力2、诊断练习点评题1若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则_【分析与点评】焦点在轴上的椭圆，对应的一目了然，列出方程求解得【变式】：若椭圆的离心率为，则 分析：显然应分焦点在轴、轴两种情况讨论求解，结果为或题2已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_题3椭圆的短轴长为2，
4、长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 【分析与点评】让学生画出图形，结合图形确定出基本性质，要让学生注意长轴、短轴的概念，注意与长半轴、短半轴的区别，题4过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为 【分析与点评】(1)容易求出P点纵坐标，也就得出长度，由于，所以根据定义有，于是有(2)求离心率时如何对条件进行转化？消去，寻求的关系式，消元途径【变式】：已知椭圆的长轴长不小于短轴长的4倍，则椭圆的离心率的范围是 【分析与点评】（1）条件怎样转化？ 结合上例，平方得， 得（2）也可让学生在题4的基础上直接通过图像猜想结论，使学生了解参数变化后，的变化情况（3）
5、离心率问题是考察中常见的题型，教师应引导学生归纳总结求离心率的方法与技巧.有关离心率问题，往往得到含的方程或不等式，化简方法：利用关系消去，得到的关系式。若得到的是的二次齐次式，可两边同除，直接化为的一元二次方程（或不等式），再解之3、要点归纳（1）强化解析几何的作图（简图）意识，通过图像自行给出相应的四线（两条对称轴、两条准线）；六点（两个焦点、四个顶点），准线方程以及离心率（2）注重归纳总结求解椭圆问题的一般步骤通常是“定位，定量”（3）总结求解离心率问题的实质是求出参数的比例关系（或不等式）四、范例导析例1：如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆1(ab0)的左、右焦点
6、，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.(1)若点C的坐标为，且BF2，求椭圆的方程；(2)若F1CAB，求椭圆离心率e的值答案为：设椭圆的焦距为2c, 则 F1(c, 0), F2(c, 0)(1)因为B(0, b), 所以BF2a.又BF2， 故a.因为点C在椭圆上，所以1，解得b21.故所求椭圆的方程为y21.(2)因为B(0, b), F2(c, 0)在直线 AB 上，所以直线 AB 的方程为 1.解方程组得所以点 A 的坐标为.又AC 垂直于x 轴， 由椭圆的对称性，可得点 C 的坐标为.因为直线 F1C的斜率为，直线
7、AB的斜率为，且F1CAB，所以1.又b2a2c2，整理得a25c2，故e2，因此e.例2 已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF260.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关【变式】：设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆与点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 .【分析与点评】可问学生为等腰直角三角形这个条件怎么处理?分析得,方法一：如何计算？利用直角三角形解得（注：该结论在双曲线中同样成立）后面可得，利用前面知识化为，结果为【点评】： 该方法涉及的这个结论学生需要知道如何推导，这也是个常考题型方法二：考虑到所给直角三角形
8、刚好是焦点三角形，结合椭圆的定义，还可做如下处理。该方法在解离心率问题非常有效【点评】：建议教师让两组学生分别计算，看看那个效果好？指出这两种方法是解决离心率问题的常用方法例3 在直角坐标系中，设椭圆 C: 的左右两个焦点分别为 ,过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为（1） 求椭圆的方程；（2） 设椭圆的一个顶点为，直线交椭圆与另一点N，求的面积【教学处理】指导学生圈出题中的关键词,画图并独立思考，指名回答，教师点评并板书解题过程【引导分析与精讲建议】第一题方法很明确，先设方程然后带点坐标可得接着可借助于上题得到（也有学生得出 ，效果一样）再解方程组求解第二题，对学生有一定难度，
9、可提出以下问题与学生交流：问题1：如何计算三角形的面积？ 问题2：在中知道哪些量？（三边长均可求得），下面怎么算？（再算其中一点如到的距离，即可求得）问题3：有其他方法吗？还有哪些已知量？（的长） 问题4：如何转化所求面积？经过分析引导得出以下解法：分割成两个三角形求和，其中是可求的，而要求解，只需计算N的纵坐标，可通过联立方程组求解N的纵坐标【点评】：第二种方法还可引申为 当中分为的纵坐标。此题的两种解法也是常见方法，但前者在思考上要简单一些，后者在计算上要简单一些。引导鼓励同学解题前认真全面的思考，或许能得到更佳的解法！五、解题反思1、椭圆的几何性质是高考中考察较多的问题明确解椭圆问题主要是“定位，定量”，前者是指通过判断比较得出椭圆的图形（及焦点所在坐标轴），后者是指得到参数的具体数值2、要注意数形结合思想和化归思想在解题中的应用，如例2，例3等。此外待定系数法也是常见方法3、求解离心率问题通常的方法总结。即方法1通过消去,由的关系式（或不等式）求离心率方法2利用焦点三角形，计算4、强化作简图的意识，这也是解解析几何的常用工具