1、第二章 不等式第37课 基本不等式及其简单应用（1）一、教学目标1、 掌握两个正数的算术平均数不小于它的几何平均数的定量，了解其证明过程2、 能熟练地应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题二、知识回顾【回顾要求】1、 阅读必修五第9699页，完成以下任务：（1） 理解基本不等式的内容， ，当且仅当_时，等号成立理解“当且仅当时取“=”号”这句话的含义。其中和分别称为正数的_和_（2）基本不等式的重要变形：_；_注意：对于基本不等式中的正数，可以是具体的正实数，也可以是大于的代数式（3）已知，则：若（和为定值），则当时，积取得最_值为_；若（积为定值），则当时，和取得最_值为_.（4）拓展：若
2、时,当且仅当时等号成立.2、第98页的例2你会解吗？阅读教材上的解题过程。掌握利用基本不等式求某些函数的最值时，首先应将所给表达式进行恰当的变形和转化，然后再使用基本不等式来求最值。这题也可以进行拓展：将改为，求此函数的最小值。3、 在教材上的空白处做以下题目：第99页的练习第4、第5题答案：（1）、；算数平均数；几何平均数（2）、；（3）、大；小；【要点解析】1、基本不等式应用的条件：应用基本不等式求最大（小）值时，需要注意“一正、二定、三相等”，即第一注意;第二注意积为定值或和为定值；第三注意等号成立的条件。2、创设应用基本不等式的条件,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧,而拆与凑的原因
3、在于使等号能够成立.3、对于基本不等式，不仅要记住原始形式，而且还要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，例如：ab()2， (a0，b0)等，同时还要注意不等式成立的条件和等号成立的条件4、利用基本不等式求最值时常见的模型：（1）5、连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.三、诊断练习1、已知函数，当时，函数最小值_；当时，函数最大值_。【答案】由基本不等式的应用范围，首先应该考虑的符号，故：当时, .当时.2、已知x0， x0分类讨论，2题分离常数，3利用基本不等式直接求最值，而4中则强化了等号成立的条件。四、范例导析例1 已知且.（1） 求的最大值，及此时的的值；（2） 求的最
4、小值解 （1），当且仅当即：时等号成立。（2），当且仅当时，等号成立。点评 应用极值定理求极值要注意极值定量的使用条件;一正、二定、三相等，特别是多次应用极值定量时，要注意这些等号成立的条件是否一致，若一致，则等号成立，若不一致，则等号不成立，此时就不能使用极值定理来求极值。例2(1)当x时，求函数yx的最大值；(2)设0x2，求函数y的最大值答案为：解(1)yx().当x0，24，当且仅当，即x时取等号于是y4.故函数的最大值为.(2)0x0，y，当且仅当x2x，即x1时取等号，当x1时，函数y的最大值为.变式训练：(1)已知0x2)在xa处取最小值，则a_.答案(1)(2)3解析(1)因为
5、0x0,33x0.由基本不等式可得x(33x)3x(33x)()2，当且仅当3x33x，即x时，等号成立(2)因为x2，所以x20，则f(x)x(x2)2224，当且仅当x2，即x3时取等号即当f(x)取得最小值时，x3，即a3.点评：1、注意配凑思想的应用2、和定积最大；积定各最大例3已知满足，求（1）的最小值；（2）的最小值；（3）的最小值.例3答案：点评：二元变量最值问题一是直接利用基本不等式放缩，二是消元转化为一元函数。当堂反馈1、已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数a的最小值为_答案为：4解析不等式对任意正实数恒成立，则 (舍去)正实数的最小值为4.2、下列命题中，其正确命题的个数为_4个_。的最小值为2；的最小值为2；的最小值为2的最小值为2；的最小值为23、设x，yR，a1，b1，若axby3，ab2，则的最大值为_答案为：1解析由axby3，得：xloga3，ylogb3，由a1，b1知x0，y0，log3alog3blog3ablog321，当且仅当ab时“”成立，则的最大值为1.4、已知正数x，y满足x2(xy)恒成立，则实数的最小值为_答案为： 2解析 依题意得x2x(x2y)2(xy)，即2(当且仅当x2y时取等号)，即的最大值是2；又，因此有2，即的最小值是2.