1、一、填空题1已知A可逆，则实数a的取值范围是 .解析：矩阵A可逆当且仅当det(A)0，即63a0，a2，a的取值范围为(，2)(2，)答案：(，2)(2，)2设矩阵M，则矩阵M的特征向量可以是 .解析：矩阵M的特征多项式f()21.由于f()0得矩阵M的特征值为11，21.经计算可得，矩阵M属于特征值1的一个特征向量为，而属于特征值1的一个特征向量为.答案：3设可逆矩阵A的逆矩阵A1，则a_，b_，c_.解析：由AA1E得，即解方程组得a2，b，c.答案：24已知二元一次方程组从线性变换的角度求解时应把向量绕原点作顺时针旋转_的旋转变换解析：因为方程组的矩阵形式是，它是把向量绕原点作逆时针旋
2、转变换得到，所以解方程组就是把向量绕原点作顺时针旋转的旋转变换答案：5A，则A1_.解析：A，|A|10.A1.答案：6现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a1，b2，z26，双方约定的矩阵为，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为_解析：因为A，所以det A20，所以A1，而密码矩阵为B，故明码矩阵XA1B，对应信息为“good”答案：good7矩阵M的特征值与特征向量分别为_解析：由(1)(3)(2)()2280，得矩阵M的特征值为14，22.设属于特征值14的特征向量为，则它满足方程(11)x(2)y0，即5x2y0.故可取为属于特征值14的一个特征
3、向量设属于特征值22的特征向量为，同理可得x2y0.故可取为属于特征值22的一个特征向量综上所述，矩阵M有两个特征值14，22，属于14的一个特征向量为1；属于22的一个特征向量为2.答案：14，1和22，28已知矩阵A，B，则满足方程AXB的二阶矩阵X_.解析：A，|A|23(1)(4)20.A1.AXB，XA1B，X.答案：二、解答题9已知矩阵A，B，C，求满足AXBC的矩阵X.解析：AXBC，所以(A1A)XBB1A1CB1而A1AXBB1EXBB1X(BB1)X，所以XA1CB1因为A1，B1，所以XA1CB1 .10已知矩阵A.(1)求矩阵A的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A
4、n.解析：(1)矩阵A的特征方程为(6)(4)8210160.得矩阵A的特征值为18，22.当18时，A属于1的特征向量为1；当22时，A属于2的特征向量为2.(2)设AnAn18n1，An22n2，即 ，即解得a，b，c，d.故An.11给定矩阵M，N，向量.(1)求证：M和N互为逆矩阵；(2)求证：向量同时是M和N的特征向量；(3)指出矩阵M和N的一个公共特征值解析：(1)证明：因MN ，且NM ，所以M和N互为逆矩阵(2)证明：因为M ，所以是N的特征向量因为N ，所以是N的特征向量(3)由(2)知，M对应于特征向量的特征值为1，N对应于特征向量的特征值也为1，故1是矩阵M和N的一个公共特征值12(2011年福建)设矩阵M(其中a0，b0)若a2，b3，求M的逆矩阵M1；若曲线C：x2y21，在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C：y21，求a，b的值解析：设M1，则MM1又M， .2x11,2y10,3x20,3y21.即x，y10，x20，y2.M1.设C上任一点P(x，y)，在M作用下得点P(x，y)则 ，又点P(x，y)在C上，所以y21.即b2y21为曲线C的方程又C的方程为x2y21，又a0，b0，所以高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k s 5 )
