1、四川省仁寿第二中学2020届高三数学第三次模拟试题 文（含解析）考生注意事项：1答题前，先将自己的姓名、考号填写在试题卷和答题卡上.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合,则A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出与中不等式解集
2、确定出，求出的补集，找出补集与的公共部分，能求出结果【详解】 则 故选C.【点睛】本题考查补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键2. 已知，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】因为，所以由，得，所以，所以，则充分性成立；当时，但是无意义，故必要性不成立.综上，已知，则“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个式子不成立，可以采用
3、举反例法，给出一个反例即可.3. 已知函数是奇函数，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】因为，所以可令，求出的值，再利用为奇函数，可求出的值，从而求出.【详解】令，因为，所以，令，则，因为是奇函数，所以，所以故选：A.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，考查特殊值法解题，属于中档题.4. 已知是第一象限角，sin=，则tan=（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意首先求得tan的取值范围，然后结合二倍角公式和同角三角函数基本关系得到关于的方程，解方程即可确定的值.【详解】是第一象限角，sin，2k2k，kZ，kk，kZ，0tan1，sin2sinc
4、os，整理得：12tan225tan120，解得tan（舍去）或tan故选D【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5. 设向量，与的夹角为，且，则的坐标为（ ）A. B. C. 或D. 以上都不对【答案】C【解析】【分析】设向量，根据向量的数量积的运算和夹角公式，得到关于的方程组，即可求解.【详解】设向量，则，即 ，又，即，则由，得或，故或故选：C.【点睛】本题主要考查了的坐标表示，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.6. 已知数列的前项和为， 则()A. B. C.
5、 D. 【答案】B【解析】【分析】利用公式计算得到，得到答案.【详解】由已知得，即，而，所以.故选B.【点睛】本题考查了数列前N项和公式的求法，利用公式是解题的关键.7. 已知为锐角，则的最小值为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】D【解析】【分析】方法一：根据为锐角，可知，再对化简，可得，再利用基本不等式即可求出结果；方法二：根据为锐角，可知，再利用同角基本关系和二倍角关系对化简，可得 ，再利用基本不等式即可求出结果.【详解】方法一：为锐角，当且仅当，即，时等号成立方法二：为锐角，当且仅当，即时，等号成立【点睛】本题主要考查了三角函数同角的基本关系和二倍角公式应用，以及基本不等式在求最
6、值中的应用.8. 已知是两条异面直线,直线与都垂直,则下列说法正确的是（ ）A. 若平面，则B. 若平面，则,C. 存在平面，使得,D. 存在平面，使得,【答案】C【解析】【分析】在A中，a与相交、平行或a；在B中，a，b与平面平行或a，b在平面内；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面，使得c，a，b；在D中，ab，与已知a，b是两条异面直线矛盾【详解】由a，b是两条异面直线，直线c与a，b都垂直，知：在A中，若c平面，则a与相交、平行或a，故A错误；在B中，若c平面，则a，b与平面平行或a，b在平面内，故B错误；在C中，由线面垂直的性质得：存在平面，使得c，a，b，故C正确；在D中，若存在平
7、面，使得c，a，b，则ab，与已知a，b是两条异面直线矛盾，故D错误故选C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题对于这种题目的判断一般是利用课本中的定理和性质进行排除，判断,还可以画出样图进行判断，利用常见的立体图形，将点线面放入特殊图形，进行直观判断.9. 已知两点,若曲线上存在点，使得,则正实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】把圆的方程化为，以为直径的圆的方程为，若曲线上存在点，使得，则两圆有交点，所以，解得 ，选B.10. 在区间0，2上随机取一个数x，使的概率为（ ）A. B. C. D.
8、 【答案】A【解析】【分析】先求解出的结果，运用几何概型求出概率【详解】在区间上随机取一个数，使则解得所求概率故选【点睛】本题主要考查了几何概型，先根据题意求出不等式的解集，然后运用几何概型求出概率，较为基础11. 如图，已知双曲线C：（，），过右顶点A作一条渐近线的垂线交另一条渐近线于点B，若，则双曲线的离心率为（ ）A. 或B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得：直线的方程为，由，求得点B的坐标，再根据求解.【详解】设点在渐近线上，易知直线的方程为，由，解得，因为，所以，即，化简得，解得或，所以或3，所以或.由图可知，即.故（舍去）故选：C【点睛】本题主要考查双曲线简单几何
9、性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12. 已知函数，若对于，恒成立，则实数a的取值范围是（ ）A. B. C. 或D. 【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性，把不等式对于恒成立，转化为对于恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且所以函数是上的偶函数，且在上单调递增，又由，所以不等式对于恒成立，等价于对于恒成立，即对于恒成立令，则，解得或，满足式令，令，则当时，即时，满足式子；当，即时，不满足式；当，即或时，由，且或，知不存在a使式成立综上所述，实数a的取值范围是故选：A.【点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的
10、综合应用，着重考查转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.第卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知i为虚数单位，复数的实部与虚部相等，则实数_【答案】【解析】【分析】化简复数为，利用复数的实部与虚部相等，即可求出【详解】因为，由题意知，解得故答案为：.【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题14. 执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为_【答案】2017【解析】【分析】由三角函数的性质，可得的周期为，得到各项依次为2，1，0，1，2，1，0，1，结合判断条件，即可求解.【详解】由三角函数的性质，可得的周期为，可得各项依次为
11、2，1，0，1，2，1，0，1，执行程序框图，；，；，；，；，；，不满足判断框中的条件，退出循环，此时输出的故答案为：.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算与输出，其中解答中结合三角函数的图象与性质，求得计算的周期性是解答的关键，着重考查推理与运算能力.15. 某工厂为了解某车间生产的每件产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了200件产品的净重，所得数据均在内，将所得数据按，分成五组，其频率分布直方图如图所示，且五个小矩形的高构成一个等差数列，则在抽测的200件产品中，净重在区间内的产品件数是_【答案】100【解析】【分析】设公差为t，根据矩形的高为等差数列以及矩形的面积和为1可
12、建立关于公差的等量关系，从而解出t，进而解出，即可求出产品件数.【详解】由题意可知0.050，a，b，c，d构成等差数列，设公差为t，由小矩形的面积之和为1，可得，即，所以，解得，所以，所以净重在内的频率为，则净重在区间内的产品件数为故答案为：100.【点睛】本题考查频率分布直方图和数列的综合应用，考查频率分布直方图频数的求法以及等差数列求和，属于中档题.16. 在平面直角坐标系中，是双曲线的一条渐近线上的一点，、分别为双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的左顶点到直线的距离为_【答案】【解析】【分析】求得直线的方程为，由可求得的值，进而可得出、的值，然后利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】
13、由于点在双曲线渐近线上，则，所以，直线的方程为，在中，原点为线段的中点，所以，又，所以，又，所以，双曲线的左顶点的坐标为，该点到直线的距离为故答案为：.【点睛】本题考查双曲线渐近线相关的问题，结合题意求得、的值是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：本大题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在中，E是的中点，（1）求；（2）求C【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先根据同角三角函数平方关系化简，再根据正弦定理化边，即得结果；（2）设，根据余弦定理列式，即得，回代即得结果.【详解】（1），即，由正弦定理，得，又，（2）设，则，由余弦定理，得，【点
14、睛】本题考查正弦定理、余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.18. 某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划，收集了近6个月广告投入量（单位：万元）和收益（单位：万元）的数据如下表：月份123456广告投入量/万元24681012收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67用两种模型，分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：7301464.24364（1）根据残差图，比较模型，的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：(i)剔除的异常数据是哪一组？(ii)剔除异常数
15、据后，求出（1）中所选模型的回归方程；(iii)广告投入量时，(ii)中所得模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.【答案】（1）模型，理由见解析；(2)(i)是3月份的数据； (ii)； (iii)62.04万元.【解析】【分析】（1）根据残差图中体现出的残差点分布，结合其均匀程度以及带状区域的宽窄，即可分析比较；（2）(i)根据题意，结合残差图，即可求得月份的数据异常，应该剔除；(ii)根据已知数据和月份的数据，结合和的计算公式，即可求得结果；(iii)令，代入(ii)中所求回归直线方程，即可求得结果.【详解】（1）应该选择模型，因为模型的
16、残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且模型的带状区域比模型的带状区域窄，所以模型的拟合精度高，回归方程的预报精度高.（2）(i)剔除异常数据是3月份的数据，即；(ii)剔除异常数据，即3月份的数据后，得，.，.所以关于的回归方程为.(iii)把代入(i)中所求回归方程得，故预报值为62.04万元.【点睛】本题考查残差分析、回归直线方程的求解，以及利用回归方程进行数据预测，属综合中档题.19. 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.()求证：；()若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】 【分析】（）取的中点为，连结 ，可证明四边形为平行四边形，得
17、 ，由等腰三角形的性质得 ，可得，由面面垂直的性质可得 平面，从而可得结果；（）由三棱台 的底面是正三角形，且，可得 ，由此 ， .根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（）取的中点为，连结 . 由是三棱台得，平面 平面， . ， ， 四边形为平行四边形， . ，为 的中点， ， . 平面平面 ，且交线为，平面 ， 平面，而 平面， . （）三棱台的底面是正三角形，且 ， ， ， . 由（）知，平面. 正的面积等于， ，. 直角梯形的面积等于， ， . 【点睛】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系
18、时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1 ）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4 ）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 . 20. 已知抛物线：（）的焦点是椭圆：（）的右焦点，且两条曲线相交于点（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆右顶点的两条直线，分别与抛物线相交于点A，C和点B，D，且，设M是的中点，N是的中点，证明：直线恒过定点【答案】（1）；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由抛物线过点可求
19、得出椭圆焦点求出，利用椭圆过点联立方程即可求解；（2）设直线：，直线：，联立椭圆方程，根据根与系数的关系及中点坐标公式可求出中点的坐标，利用斜率公式写出直线的斜率，写出直线的方程，根据即可求解.【详解】（1）在抛物线上，解得，抛物线的焦点坐标为，则 易知，由可得，椭圆的方程为（2）设直线：，直线：，由，得，设，则，则，即，同理得，直线的斜率，则直线的方程为，即，即，直线的方程为，即直线恒过定点【点睛】本题主要考查了抛物线、椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，直线的方程，考查了运算能力，属于中档题.21. 已知函数，.（1）当时，求的单调区间；（2）若有两个零点，求实数的取
20、值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）记t=lnx+x，通过讨论a的范围，结合函数的单调性以及函数的零点的个数判断a的范围即可【详解】（1）定义域：，当时，.在时为减函数；在时为增函数.（2）记，则在上单增，且. .在上有两个零点等价于在上有两个零点.在时，在上单增，且，故无零点；在时，在上单增，又，故在上只有一个零点；在时，由可知在时有唯一的一个极小值.若，无零点；若，只有一个零点；若时，而，由于在时为减函数，可知：时，.从而，在和上各有一个零点.综上讨论可知：时有两个零点，即所求的取值范围是.【点睛】已
21、知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数图象，然后数形结合求解请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-4：坐标系与参数方程】22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线普通方程和的直角坐标方程；（2）已知曲线是过坐标原点且倾斜角为的直线，点A是曲线与的交点，点B
22、是曲线与的交点，且点A，B均异于坐标原点O，求的值【答案】（1）：，：；（2）【解析】【分析】（1）根据，消去参数即可；由得到，再将代入上式求解.（2）由（1）得，曲线极坐标方程为，设，由求解.【详解】（1）因为，消去参数，得，所以曲线的普通方程是；，又因为曲线的直角坐标方程为（2）由（1）得，曲线：，其极坐标方程为，由题意设，则，（），（），【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程和直角坐标方程的转化以及弦长公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.【选修4-5：不等式选讲】23. 已知函数（1）解关于x的不等式；（2）存在，使得不等式，求实数a的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）原不等式可化为，作出函数与的图象，利用数形结合法求解.（2）原不等式可化为，利用绝对值三角不等式转化为，再变形为，利用（1）的结论求解.【详解】（1）原不等式可化为，作出函数与的图象如图所示，当时，直线与的斜率相等，结合图象可知，原不等式的解集为（2）原不等式可化为，即，上式可化为，由（1）得，解得，故a的取值范围为【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.