1、第三节函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性1函数的奇偶性奇偶性定义特点偶函数图像关于y轴对称的函数叫作偶函数f(x)f(x)奇函数图像关于原点对称的函数叫作奇函数f(x)f(x)2周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，对定义域内的任意一个x值，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期
2、1若函数f(x)在区间a，b(ab)上有奇偶性，则实数a，b之间有什么关系？提示：ab0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称2若f(x)是奇函数且在x0处有定义，那么f(0)为何值？如果是偶函数呢？提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)f(0)，则f(0)0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)x21.3是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如f(x)0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个4若T为yf(x)的一个周期，那么nT(nZ)是函数f(x)的周期吗？提示：不一定由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当nZ且n0时，n
3、T是f(x)的周期1(2013广东高考)定义域为R的四个函数yx3，y2x，yx21，y2sin x中，奇函数的个数是()A4 B3 C2 D1解析：选C函数yx3，y2sin x为奇函数，y2x为非奇非偶函数，yx21为偶函数，故奇函数的个数是2.2(2013山东高考)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时， f(x) x2，则f(1)()A2 B0 C1 D2解析：选A因为函数f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.3(2013湖北高考)x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f(x)xx在R上为()A奇函数 B偶函数 C增函数 D周期函数解析：选D函数f(x)xx在R上的图象如下图：故
4、f(x)在R上为周期函数4若f(x)(xa)(x4)为偶函数，则实数a_.解析：f(x)x2(a4)x4a为二次函数，其图象的对称轴为x，因为偶函数的图象关于y轴对称，所以0，解得a4.答案：45设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.解析：f(x)是周期为2的奇函数，ffff2.答案：考点一函数奇偶性的判断 例1(1)若函数f(x)3x3x与g(x)3x3x的定义域均为R，则()Af(x)与g(x)均为偶函数 Bf(x)为偶函数，g(x)为奇函数Cf(x)与g(x)均为奇函数 Df(x)为奇函数，g(x)为偶函数(2)下列函数：f(x)；f(x)x3x；f(x
5、)ln(x)；f(x)ln.其中奇函数的个数是()A1 B2 C3 D4自主解答(1)由f(x)3x3xf(x)可知f(x)为偶函数，由g(x)3x3x(3x3x)g(x)可知g(x)为奇函数(2)f(x)的定义域为1,1，又f(x)f(x)0，则f(x)既是奇函数又是偶函数；f(x)x3x的定义域为R，又f(x)(x)3(x)(x3x)f(x)，则f(x)x3x是奇函数；由xx|x|0知f(x)ln(x)的定义域为R，又f(x)ln (x)lnln(x)f(x)，则f(x)ln(x)为奇函数；由0，得1x1，即f(x)ln的定义域为(1,1)，又f(x)lnln1lnf(x)，则f(x)为奇
6、函数答案(1)B(2)D【互动探究】 若将本例(2)中对应的函数改为“f(x)”，试判断其奇偶性解：函数f(x)的定义域为1，不关于原点对称，函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【方法规律】判断函数奇偶性的方法(1)判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(x)与f(x)的关系作出判断(2)分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数，分段函数奇偶性的判断，要分别从x0或x0来寻找等式f(x)f(x)或f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)
7、(x1) ；(2)f(x)；(3)f(x)解：(1)由得，定义域为(1,1，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数(2)由得，定义域为(1,0)(0,1)x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数考点二函数奇偶性的应用 例2(1)(2013湖南高考)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(1)g(1)2，f(1)g(
8、1)4，则g(1)等于()A4 B3 C2 D1 (2)(2013重庆高考)已知函数f(x)ax3bsin x4(a，bR)，f(lg(log210)5，则f(lg(lg 2)()A5 B1 C3 D4(3)已知函数yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，若f(a)f(2)，则实数a的取值范围是_自主解答(1)由已知得f(1)f(1)，g(1)g(1)，则有解得g(1)3.(2)f(x)ax3bsin x4， f(x)a(x)3bsin(x)4，即f(x)ax3bsin x4， 得f(x)f(x)8，又lg(log210)lglg(lg 2)1lg(lg 2)，f(lg(log2 10
9、)f(lg(lg 2)5，又由式知f(lg(lg 2)f(lg(lg 2)8，5f(lg(lg 2)8，f(lg(lg 2)3.(3)yf(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，函数yf(x)在0，)上是增函数当a0时，由f(a)f(2)可得a2，当a0时，由f(a)f(2)f(2)，可得a2.所以实数a的取值范围是(，22，)答案(1)B(2)C(3)(，22，)【互动探究】若本例(3)中的f(x)为奇函数，求实数a的取值范围解：因为f(x)为奇函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在R上为减函数又f(a)f(2)，故a2，即实数a的取值范围为(，2【方法规律】与函数奇偶性有关的问题及
10、解决方法(1)已知函数的奇偶性，求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量，转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值常常利用待定系数法：利用f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解(4)应用奇偶性画图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性1若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)g(x)ex，则g(x)()Aexex B.(exex)
11、C.(exex) D.(exex)解析：选Df(x)g(x)ex， f(x)g(x)ex.又f(x)f(x)，g(x)g(x)，f(x)g(x)ex.由得解得g(x)(exex)2设f(x)为定义在R上的奇函数当x0时，f(x)2x2xb(b为常数)，则f(1)()A3 B1 C1 D3解析：选A因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)2020b0，解得b1.所以当x0时，f(x)2x2x1，所以f(1)f(1)(21211)3.考点三函数的周期性 例3定义在R上的函数f(x)满足f(x6)f(x)当3x1时，f(x)(x2)2；当1x3时，f(x)x.则f(1)f(2)f(3)f(2
12、012)() A335 B338 C1 678 D2 012 自主解答由f(x6)f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(3)f(3)1，f(2)f(4)0，f(1)f(5)1，f(0)f(6)0，f(1)1，f(2)2，所以在一个周期内有f(1)f(2)f(6)1210101，所以f(1)f(2)f(2 012)f(1)f(2)335112335338.答案B【方法规律】函数周期性的判定判断函数的周期只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f
13、(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_解析：因为f(x)是定义在R上且周期为2的函数，所以ff，且f(1)f(1)，故ff，所以a1，即3a2b2.由f(1)f(1)，得a1，即b2a.由得a2，b4，从而a3b10.答案：10高频考点考点四 函数性质的综合应用 1高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题2高考对函数性质综合应用的考查主要有以下几个命题角度：(1)单调性与奇偶性相结合；(2)周期性与奇偶性相结合；(3)单调性、奇偶性与周期性相结合例4(1)(2013北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，)上单调递减的是()A
14、y ByexCyx21 Dylg|x| (2)(2014南昌模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)(3)(2012浙江高考)设函数f(x)是定义在R上的周期为2的偶函数，当x0,1时，f(x)x1，则f_.自主解答(1)A中y是奇函数，A不正确；B中yexx是非奇非偶函数，B不正确；C中yx21是偶函数且在(0，)上是单调递减的，C正确；D中ylg|x|在(0，)上是增函数，D不正确故选C.(2)f(x)满足f(x
15、4)f(x)，f(x8)f(x)，函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3)由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1)f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间2,2上是增函数，f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11)(3)fff1.答案(1)C(2)D(3)函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性
16、及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解1函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在1,3上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选Cf(x)的图象如图当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)2(2014九江模拟)已知函数f(x1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不相等实数x1、x
17、2，不等式(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，则不等式f(1x)0的解集为_解析：f(x1)是定义在R上的奇函数，f(x1)f(x1)，令x0，则f(1)0.又(x1x2)f(x1)f(x2)0，f(x)在R上单调递减，f(1x)0f(1)，1x1，解得x0，不等式f(1x)0的解集为(，0)答案：(，0)3已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数若方程f(x)m(m0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解析：f(x)为奇函数并且f(x4)f(x)f(x4)f(4x)f(x)，即f(4x)f(x)，且f(x8)
18、f(x4)f(x)，即yf(x)的图象关于x2对称，并且是周期为8的周期函数f(x)在0,2上是增函数，f(x)在2,2上是增函数，在2,6上为减函数，据此可画出yf(x)的图象，其图象也关于x6对称，x1x212，x3x44，x1x2x3x48.答案：8课堂归纳通法领悟1条规律奇、偶函数定义域的特点奇、偶函数的定义域关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件2个性质奇、偶函数的两个性质(1)若奇函数f(x)在x0处有定义，则f(0)0.(2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇3条结论与周期性
19、和对称性有关的三条结论(1)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称 (2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)，且f(2bx)f(x)(其中ab)，则yf(x)是以2(ba)为周期的周期函数 (3)若对于定义域内的任意x都有f(xa)f(xb)(ab)，则函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T2|ab|. 前沿热点(二)与奇偶性、周期性有关的交汇问题1函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起与函数图象、函数零点等问题相交汇命题2函数的奇偶性主要体现为f(x)与f(x)的相等或相反关系，而根
20、据周期函数的定义知，函数的周期性主要体现为f(xT)与f(x)的关系函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律因此，在解题时，往往需借助函数的奇偶性或周期性来确定函数在另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性来解决相关问题典例(2012辽宁高考)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)，f(x)f(2x)，且当x0,1时，f(x)x3.又函数g(x)|xcos (x)|，则函数h(x)g(x)f(x)在上的零点个数为()A5 B6 C7 D8 解题指导由f(x)f(x)，f(x)f(2x)可知该函数是周期为2的偶函数，可画出g(x)与f(
21、x)的图象，利用数形结合的思想求解解析由题意知函数f(x)是偶函数，且周期是2.作出g(x)，f(x)的函数图象，如图由图可知函数yg(x)，yf(x)在上有6个交点，故函数h(x)g(x)f(x)在上的零点有6个答案B名师点评解决本题的关键有以下几点：(1)正确识别函数f(x)的性质；(2)注意到x0是函数h(x)的一个零点，此处极易被忽视；(3)正确画出函数的图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题(2014合肥模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(x)当0x1时，f(x)x2.若直线yxa与函数yf(x)的图象在0,2内恰有两个不同的公共点，则实数
22、a的值是()A0 B0或C或 D0或解析：选Df(x2)f(x)，T2.又0x1时，f(x)x2，可画出函数yf(x)在一个周期内的图象如图显然a0时，yx与yx2在0,2内恰有两个不同的公共点另当直线yxa与yx2(0x1)相切时也恰有两个不同公共点，由题意知y(x2)2x1，x.即切点为A，又A点在yxa上，a，综上可知a0或.全盘巩固1下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是()AyByx33x3xCylog3x Dyex解析：选B选项A，y的定义域为(，0)(0，)，但其在定义域上不是单调递增函数；选项B，yf(x)x33x3x在其定义域R上是增函数，又f(x)x33x3x(x
23、33x3x)f(x)，所以yf(x)为奇函数；选项C，ylog3x的定义域为(0，)，是增函数但不是奇函数；选项D，yex在其定义域R上是增函数，但为非奇非偶函数2设函数D(x)则下列结论错误的是()AD(x)的值域为0,1 BD(x)是偶函数CD(x)不是周期函数 DD(x)不是单调函数解析：选CA显然正确；D(x)当xQ时，xQ，而D(x)D(x)1；当x为无理数时，x也为无理数，此时D(x)D(x)0，对任意的xR，D(x)D(x)，故B正确；不妨设aQ且a0，当x为有理数时，D(xa)D(x)1，当x为无理数时，D(xa)D(x)0，D(x)为周期函数，故C不正确；x11，D(1)1，
24、x22，D(2)1，D(x1)D(x2)，D(x)在定义域上不单调，故D正确3(2014沈阳模拟)设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f()A B C. D.解析：选A由题意得ffff.4已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)g(x)axax2(a0，且a1)若g(2)a，则f(2)()A2 B. C. Da2解析：选Bg(x)为偶函数，f(x)为奇函数，g(2)g(2)a，f(2)f(2)，f(2)g(2)a2a22， f(2)g(2)f(2)g(2)a2a22，联立解得g(2)2a，f(2)a2a22222.5(2014郑州模拟)已知函数f
25、(x)是(，)上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，则f(2 011)f(2 012)()A1log23B1log23C1 D1解析：选Cf(x)是(，)上的偶函数，f(2 011)f(2 011)当x0时，f(x4)f(x2)f(x)，则f(x)在(0，)上是以4为周期的函数注意到2 01145023，2 0124503，f(2 011)f(3)f(12)f(1)log2(11)1，f(2 012)f(0)log210.f(2 011)f(2 012)1.6已知定义域为R的函数yf(x)在0,7上只有1和3两个零点，且yf(2x)与yf(
26、7x)都是偶函数，则函数yf(x)在2 013,2 013上的零点个数为()A804 B805 C806 D807解析：选C根据条件得出函数的周期，再确定一个周期上的零点个数即可求解由函数yf(2x)，yf(7x)是偶函数得函数yf(x)的图象关于直线x2和x7对称，所以周期为10.又由条件可知函数yf(x)在0,10上只有两个零点1和3，所以函数yf(x)在2 013，2 013上有402个周期，加上2 011,2 013两个零点，所以零点个数是40222806.7若函数f(x)x2|xa|为偶函数，则实数a_.解析：由题意知，函数f(x)x2|xa|为偶函数，则f(1)f(1)，即1|1a
27、|1|1a|，解得a0.答案：08奇函数f(x)的定义域为2,2，若f(x)在0,2上单调递减，且f(1m)f(m)0，则实数m的取值范围是_解析：因为奇函数f(x)在0,2上单调递减，所以函数f(x)在2,2上单调递减由f(1m)f(m)0得f(1m)f(m)f(m)，所以由得所以m1，故实数m的取值范围是.答案：9函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)，若f(1)5，则f(f(5)_.解析：f(x2)，f(x4)f(x)，f(5)f(1)5，f(f(5)f(5)f(3).答案：10已知函数f(x)2|x2|ax(xR)有最小值(1)求实数a的取值范围；(2)设g(x)为定义在R上的奇
28、函数，且当x0时，g(x)f(x)，求g(x)的解析式解：(1)f(x)要使函数f(x)有最小值，需2a2，故a的取值范围为2,2(2)g(x)为定义在R上的奇函数，g(0)g(0)，g(0)0.设x0，则x0.g(x)g(x)(a2)x4，g(x)11函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx0的解集解：yf(x)是奇函数，f(1)f(1)0.又yf(x)在(0，)上是增函数，yf(x)在(，0)上是增函数，若fx0f(1)，即0x1，解得x或x0.fx0f(1)，x1，解得x.原不等式的解集是xx或x0.12已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(
29、x2)f(x)(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(x)为奇函数，且当0x1时，f(x)x，求使f(x)在0,2 014上的所有x的个数解：(1)证明：f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)(f(x)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数(2)当0x1时，f(x)x，设1x0，则0x1，f(x)(x)x.f(x)是奇函数，f(x)f(x)，f(x)x，即f(x)x.故f(x)x(1x1)又设1x3，则1x21，f(x2)(x2)又f(x)是以4为周期的周期函数，f(x2)f(x2)f(x)，f(x)(x2)，即f(x)(x2)(1x3)f(x)由f(x)，解得x1.f(x)是以4为周
30、期的周期函数，使f(x)的所有x4n1(nZ)令04n12 014，则n.又nZ，1n503(nZ)，在0,2 014上共有503个x使f(x).冲击名校1已知定义在R上的函数yf(x)满足以下三个条件：对于任意的xR，都有f(x4)f(x)；对于任意的x1，x2R，且0x1x22，都有f(x1)f(x2)；函数yf(x2)的图象关于y轴对称，则下列结论中正确的是()Af(4.5)f(7)f(6.5) Bf(7)f(4.5)f(6.5)Cf(7)f(6.5)f(4.5) Df(4.5)f(6.5)f(7)解析：选A由f(x4)f(x)可知函数是周期为4的周期函数，函数yf(x2)的图象关于y轴
31、对称，则函数yf(x)关于x2对称，0x1x22时，有f(x1)f(x2)，所以f(4.5)f(0.5)，f(6.5)f(2.5)f(1.5)，f(7)f(3)f(1)，故f(4.5)f(7)f(6.5)2奇函数f(x)满足对任意xR都有f(2x)f(2x)0，且f(1)9，则f(2 010)f(2 011)f(2 012)的值为_解析：奇函数f(x)满足f(2x)f(2x)0，则f(2x)f(2x)f(x2)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，f(2 010)f(2 011)f(2 012)f(2)f(3)f(4)，令x0，则f(2)0；令x2，则f(4)f(0)0；由f(3)f(1)f
32、(1)9，故f(2 010)f(2 011)f(2 012)9.答案：9高频滚动1已知a0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是()Af(x)axb Bf(x)x22ax1Cf(x)ax Df(x)logax解析：选B依题意得a0，因此函数f(x)axb在区间(0，a)上是增函数；函数f(x)x22ax1(xa)21a2(注意到其图象的对称轴是直线xa，开口方向向上)在区间(0，a)上是减函数；函数f(x)ax、f(x)logax在区间(0，a)上的单调性不确定(a与1的大小关系不确定)综上所述，在区间(0，a)上一定是减函数的是f(x)x22ax1.2(2014嘉兴模拟)函数y(x2)|x|在a,2上的最小值为1，则实数a的取值范围为_解析：y(x2)|x|函数的图象如图所示，当x0时，由x22x1，得x1.借助图形可知1a1.答案：1，1
