1、课时分层作业(十五)向量数量积的坐标运算(建议用时：60分钟)合格基础练一、选择题1.已知向量a(1，1)，b(2，x)，若ab1，则x等于()A1BCD1A由向量a(1，1)，b(2，x)，ab1，得ab(1，1)(2，x)2x1，所以x1.2.已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上投影的数量是()A3B C3 DA依题意得，(2，1)，(5,5)，(2，1)(5,5)15，|，因此向量在方向上投影的数量是3，选A3.设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么ab等于()AB C DD由向量a(1,2)，b(m,1)得a2b(12
2、m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.4已知向量a(1,2)，b(2，3)若向量c满足(ca)b，c(ab)，则c等于()AB(，)C DD设c(x，y)，则ca(x1，y2)，又(ca)b， 2(y2)3(x1)0. 又c(ab)，(x，y)(3，1)3xy0. 联立解得x，y.所以c.5设x，yR，向量a(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，且ac，bc，则|ab|等于()A B C2D10Ba(x,1)，b(1，y)，c(2，4)，由ac得ac0，即2x40， x2.由bc，得1(4)2y0， y2.a(2,1)，b(1，2)ab(3，1
3、)，|ab|.6已知向量a(3,4)，b(4，3)，则下列说法正确的是()Aa与b的夹角是直角Ba与b的夹角是锐角Cab与ab的夹角是钝角Da在b上投影的数量等于b在a上投影的数量D由向量a(3,4)，b(4，3)，得ab240，所以a与b的夹角是钝角(ab)(ab)a2b20，所以ab与ab的夹角是直角a在b上投影的数量为|a|cos a，b，b在a上投影的数量为|b|cos a，b.故选D二、填空题7已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为_ 向量a(1，)，b(，1)，a与b夹角满足cos ，又0，.8已知向量a( 1, 2)，b( x, 4)，且ab，则 |ab|_.由题意
4、，向量ab，则42x0，解得x2，所以b(2,4)，则ab(1，2)，所以|ab|.9已知矩形ABCD的中心为O，AD2，若8，则BAC_， 向量与的夹角为_因为矩形ABCD的中心为O，AD2，得0，由8，得()()8，所以22248，即212，|2.如图，以O为原点，建立平面直角坐标系，则A(，1)，B(，1)，C(，1) ，D(，1)，得(2，0) ，(2，2) ，(，1) ， (，1) , (0,2)，(，1)，得12，|2，|4 ，所以cos BAC，且0BAC，所以BAC.cos ， ，且0，所以AOB.三、解答题10已知平面上三点A，B，C，满足(2,4)，(2k,3)(1)如果A
5、，B，C三点不能构成三角形，求实数k满足的条件；(2)如果A，B，C三点构成直角三角形，求实数k的值解(1)因为A，B，C三点不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即，得4(2k)6，解得k.(2)因为(2k,3)，所以(k2，3)，所以 ( k,1) 由于A，B，C三点构成直角三角形，所以当A是直角时，所以 0，得2k40，解得 k2；当B是直角时，所以 0，得 k22k30，解得 k3或 k1；当C是直角时，所以 0,162k0，解得 k8.综上所述，实数k的值为2，1,3,8.等级过关练1.角顶点在坐标原点O，始边与x轴的非负半轴重合，点P在的终边上，点Q(3，4)，且tan 2，则与
6、夹角的余弦值为()A BC或 D或Ctan 2，可设P(x，2x)，cos ，当x0时，cos ，当x0时，cos ，.故选C2.已知，|，|t.若点P是ABC所在平面内的一点，且，则的最大值等于()A13B15 C19D21A如图，以点A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系则A(0,0)，B，C(0，t)，所以(1,0)，(0,1)，所以(1,0)4(0,1)(1,4)，所以点P的坐标为(1,4)，(1，4)，(1，t4)，所以14t161741713.(当且仅当4t，即t时取等号)，所以的最大值为13.3.(2019顺德高一检测)已知平面向量a，b的夹角为60，a(
7、2,0)，|a2b|2，则|b|_.1因为a(2,0)，所以|a|2，把|a2b|2两边平方可得a24ab4b212，即|a|24|a|b|cos a，b4|b|212，代入数据可得2242|b|4|b|212，整理可得|b|2|b|20，解得|b|1.4如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，4，1，则的值是_法一：以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，设B(a,0)，C(a,0)，A(b，c)，则E，F，(ba，c)，(ba，c)，由b2a2c24，a21，解得b2c2，a2，则(b2c2)a2.法二：设a，b，则(a
8、3b)(a3b)9|b|2|a|24，(ab)(ab)|b|2|a|21，解得|a|2，|b|2，则(a2b)(a2b)4|b|2|a|2.5已知向量a(1,2)，b(3,4)，cab，R.(1)求为何值时， |c|最小？此时b与c的位置关系如何？(2)求为何值时， a与c的夹角最小？ 此时a与c的位置关系如何？ 解(1)由a(1,2)，b(3,4)，得cab(13，24)，|c|2c2(13)2(24)2510252254，当时，|c|最小，此时c，bc0，所以bc.(2)设向量a与c的夹角为，则cos ，要使向量a与c的夹角最小，则cos 最大，由于0, ，所以cos 的最大值为1，此时0，1，解得0，c(1,2)所以当0时，a与c的夹角最小，此时ac.