1、对数函数的图象和性质(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知a=log0.60.5,b=ln 0.5,c=0.60.5,则()A.abcB.acbC.cabD.cba【解析】 选B. a=log0.60.5log0.60.6=1,b=ln 0.50,0c=0.60.5cb.2.已知a0,且a1,函数y=logax,y=ax,y=x+a在同一坐标系中的图象可能是()【解析】选C.对于A,由指数函数知a1,而此时一次函数a1,而此时由对数函数知0a1,不符合;对于C,都符合;对于D,由指数函数知0a1,不符合.3.已知函数f(x)=ax-3+1(a0,且a1)的图象恒过定点(m
2、,n),则()A.logmnlognmB.2m3nC.2log2m3log3nD.mmnn【解析】选B.因为a0=1,所以a3-3+1=2,即m=3,n=2,则log32log23,A错误;23log38=3log32,C错误;3322,D错误.4.(多选题)函数f(x)=loga(x+e)的图象可能不过()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选A、D.(1)0a1时f(x)=loga(x+e)的图象不过第四象限.5.已知函数y=ax2-bx+c的图象如图所示,则函数y=a-x与y=logbx在同一坐标系中的图象是()【解析】选B.由函数y=ax2-bx+c的图象可得,函数
3、y=ax2-bx+c的图象过点(0,0),(4,0),(2,-2),分别代入函数式,解得,函数y=a-x=2x与y=logbx=log2x都是增函数,只有选项B符合题意.6.若f(x)=则f(log42)=()A.B.C.2D.4【解析】选B.因为log42=,所以f=.二、填空题(每小题5分,共10分)7.设a0,且a1,函数f(x)=loga(x2-2x+3)有最小值,则不等式loga(x-1)0的解集为.不等式loga(x-1)1,故x-11,即x2.同理,0x-11,故1x0,则实数a的取值范围为.【解析】当x时,2x+141.因为log(2a-1)(2x+1)0=log(2a-1)1
4、,所以2a-11,即2a2,解得a1.即实数a的取值范围是(1,+).答案:(1,+)三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知f(x)=log3x.(1)作出这个函数的图象.(2)当0af(2)的a值.【解析】(1)作出函数y=log3x的图象如图所示:(2)令f(x)=f(2),即log3x=log32,解得x=2.由如图所示的图象知:当0a2时,恒有f(a)f(2).故当0af(2)的a值.10.设y1=loga(3x+1),y2=loga(-3x),其中0ay2,求x的取值范围.【解析】(1)因为y1=y2,所以loga(3x+1)=loga(-3x),所以3x+1=-3x,解得x=
5、-,经检验x=-在函数的定义域内,所以x=-.(2)y1y2,即loga(3x+1)loga(-3x)(0a1),所以解得-x0且a1)的图象恒过定点P,点P在幂函数y=f(x)的图象上,则lg f(4)+lg f(25)=()A.-2B.2C.1D.-1【解析】选C.函数y=loga(x-3)+2中,令x-3=1,解得x=4,此时y=loga1+2=2;所以函数的图象恒过定点P(4,2),又点P在幂函数y=f(x)=xm的图象上,所以4m=2,解得m=0.5;所以f(x)=x0.5,所以lg f(4)+lg f(25)=lgf(4)f(25)=lg 10=1.2.当a1时,在同一坐标系中,函
6、数y=a-x与y=logax的图象是()【解析】选A.因为y=a-x=且a1,所以y=a-x是减函数,y=logax是增函数.3.(多选题)下列不等号连接正确的是()A.log0.52.2log0.52.3B.log34log56D.logeloge【解析】选AC.对A,根据y=log0.5x为单调减函数可知正确.对B,由log34log33=1=log55log65可知错误.对C,由log34=1+log31+log31+log5=log56可知正确.对D,由e1得,loge1loge可知错误.4.已知函数f(x)=loga(x-m)的图象过点(4,0)和(7,1),则f(x)在定义域上是(
7、)A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数【解析】选A.将点(4,0)和(7,1)代入函数解析式,有0=解得a=4和m=3,则有f(x)=log4(x-3).由于定义域是x|x3,则函数不具有奇偶性.很明显函数f(x)在定义域上是增函数.二、填空题(每小题5分,共20分)5.函数f(x)=4+loga(x-1)(a0,a1)的图象过一个定点,则这个定点的坐标是.【解析】因为函数y=loga(x-1)的图象过定点(2,0),所以函数f(x)=4+loga(x-1)的图象过定点(2,4).答案:(2,4)6.函数f(x)=log2(3x+1)的定义域是,值域是.【解析】因为3x0恒成立,所以定义域
8、为R.因为3x+11,且y=log2x在(1,+)上单调递增,所以log2(3x+1)log21=0,故函数f(x)的值域是(0,+).答案:R(0,+)7.函数y=log(3a-1)x是(0,+)上单调递减,则实数a的取值范围是.【解析】由题意可得03a-11,解得a,所以实数a的取值范围是.答案:8.已知函数f(x)=则f(f(1)+f=.【解析】由题意可知f(1)=log21=0,f(f(1)=f(0)=30+1=2,f=+1=+1=2+1=3,所以f(f(1)+f=5.答案:5三、解答题(共30分)9.(10分)设f(x)=,求f(f(2)的值.【解析】因为x2时,f(x)=log2(
9、x2-2),所以f(2)=log2(4-2)=log22=1,又因为x0,且a1).【解析】(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+)上是增函数,且1.992,则f(1.99)f(2),所以log31.99log0.23log0.24,所以,即log30.2log21=0,log0.32log0.32.(4)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域上是增函数,则logaloga3.14;当0a1时,函数y=logax在定义域上是减函数,则loga1时,logaloga3.14.当0a1时,logaloga3.14.11.(10分)分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家
10、引入了声压级(spl)来描述声音的大小:把一很小的声压P0=210-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,60110为过渡区,110以上为有害区.(1)根据上述材料,列出分贝y与声压P的函数解析式.(2)某地声压P=0.002帕,则该地为以上所说的什么区?(3)2017年春节晚会上,现场多次响起响亮的掌声,假设最响亮的一次音量达到90分贝,试求此时中央电视台演播大厅的声压是多少?【解析】(1)由已知得y=20lg(P0=210-5帕).(2)当P=0.002帕时,y=20lg=20lg102=40(分贝).因为40分贝小于60分贝,所以此地为无害区.(3)由题意,得90=20lg,则=104.5.所以P=104.5P0=104.5210-5=210-0.50.63(帕).
