1、 1历城二中 58 级高二上学期期中考试 数学试题 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知双曲线222:1yC xb=的一个焦点为(2,0)，则双曲线C 的一条渐近线方程为（）A310 xy+=B 310 xy+=C30 xy+=D 30 xy+=2如果方程22216xyaa+=+表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（）A(3,)+B(,2)C(,2)(3,)+D(2,0)(0,3)3已知圆C：222xy+=，点(,3)A m m，则点 A 到圆C 上点的最小距离为（）A1 B2 C22 D 3 22 4已知矩形
2、 ABCD，P 为平面 ABCD 外一点，且 PA 平面 ABCD，M，N 分别为 PC，PD 上的点，且2PMMC=，PNND=，NMxAByADzAP=+，则 xyz+=（）A 23 B23 C1 D 565已知直线 1l：220 xyt+=和直线 2l：24230 xyt+=，则当 1l 与 2l 间的距离最短时，t 的值为（）A1 B 12 C 13 D26已知大小为60的二面角l 棱上有两点 A、B，AC，ACl，BD，BDl，若3AC=，3BD=，7CD=，则 AB 的长为（）A22B40C2 10 D227第 24 届冬季奥林匹克运动会，又称 2022 年北京冬季奥运会，将于 2
3、022 年 2 月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象新梦想.会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表现滑雪运动员的英姿.中间舞动的线条流畅且充满韵律，代表举办地起伏的山峦赛场冰雪滑道和节日飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正坦诚的运动员精神在比赛场上相见.其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为 12，则相邻圆圆心水平距离为 26，两排圆圆心垂直距离为 11，设五个圆的圆心分别为 O1，O2，O3，O4，O5
4、，若双曲线 C 以 O1，O3为焦点以直线 O2O4为一条渐近线，则 C 的离心率为（）A29013B29011C1311D28.已知点(4 0)(10)(4 3)ABC，动点 PQ，满足2PAQAPBQB=，则 CPCQ+的取值范围是（）A.116，B.614，C.416，D.13 3 5，二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分 9已知空间中三点()0,1,0A，()1,2,1B，()1,3,1C，O 是坐标原点，下列说法正确的是（）A点C 关于平面Oxy 对称的点为(
5、)1,3,1 B6OB=C ACOB DOAOB10如图，在正方体1111ABCDA BC D中，下列结论正确的是（）A异面直线 BD与1AD 所成的角为 45 B异面直线 BD与1AD 所成的角为 60C二面角11ABCC的正弦值为64D二面角11ABCC的正弦值为63 211以下四个命题表述正确的是（）A.直线(3)4330()mxymmR+=恒过点(3,3)B.圆224xy+=上有且仅有 3 个点到直线:20l xy+=的距离都等于1C.圆1:2+2+2=0与圆2:2+2 4 8+=0恰有三条公切线，则4m=D.已知圆22:4C xy+=，过点(3,4)P向圆C 引两条切线 PAPB、，
6、AB，为切点，则直线 AB 的方程为3440 xy+=12数学中的很多符号具有简洁对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素.如我们熟悉的 符号，我们把形状类似 的曲线称为“曲线”.在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点1(,0)Fa，2(,0)F a距离之积等于2(0)a a 的点的轨迹称为“曲线”C.已知点00(,)P x y是“曲线”C 上一点，下列说法中正确的有（）A“曲线”C 关于原点 O 中心对称；B022aayC“曲线”C 上满足12PFPF=的点 P 有两个；D PO 的最大值为2a三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
7、 13.从()0,1M点发出的光线经过直线1yx=+反射，反射光线刚好通过坐标原点，则反射光线所在直线的方程为_.14.已知(1,0)F，B 是圆 C：()22116xy+=上的任意一点，线段 BF 的垂直平分线交 BC 于点 P.则动点 P 的轨迹方程为_.15抛物线2:4E xy=与圆22:(1)25M xy+=交于 A、B 两点，圆心(0,1)M，点 P 为劣弧 AB 上不同于A、B 的一个动点，平行于 y 轴的直线 PN 交抛物线于点 N，则 PMN的周长的取值范围是_ 16已知1F，2F 是椭圆()222210 xyabab+=的左右焦点，P 为曲线上一点，1260F PF=，12P
8、F F的外接圆半径是内切圆半径的 4 倍.若该双曲线的离心率为 e，则2e=_.四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题 10 分）已知抛物线()2:20C ypx p=的焦点为 F，点()1,2P在抛物线 C 上（1）求点 F 的坐标和抛物线 C 的准线方程；（2）过点 F 的直线 l 交抛物线 C 于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为()3,2M，求直线 l 的方程及AB 18（本小题 12 分）在平行四边形 ABCD 中，点()1,1A，()4,2B，平行四边形 ABCD 对角线的交点为()3,4M（1）求点,C D 的坐标以及直线
9、CD的方程；（2）求线段 AM 的中点 N 到直线CD的距离 319（本小题 12 分）如图所示，在四棱锥 PABCD中，PC 底面 ABCD，ABCD是直角梯形，AB AD，AB/CD，222ABADCD=，E 是 PB 的中点.（1）求证：平面 EAC 平面 PBC；（2）若二面角 PACE的余弦值为63，求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.20.（本小题 12 分）如图，圆 M：()2221xy+=，点()1,Pt为直线l：1x=上一动点，过点P 引圆 M 的两条切线，切点分别为 A、B.（1）若1t=，求切线所在直线方程；（2）求 AB 的最小值；（3）若两条切线 PA，PB
10、 与 y 轴分别交于 S、T 两点，求 ST 的最小值.21（本小题 12 分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(21)A，离心率为22，过点(3 0)B，的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N.（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 AM 和直线 AN 的斜率分别为AMk和ANk，求证：AMANkk+为定值.22（本小题 12 分）如图，点 E 在ABC内，DE 是三棱锥 DABC的高，且2DE=ABC是边长为 6 的正三角形，5DBDC=（1）求点C 到平面 ABD的距离；（2）点G 是棱 AC 上的一点（不含端点），求平面 DEG 与平面 BCD夹角余弦值的最大
11、值 4数学试题答案1-8 DDCABCAB 9BC 10BD 11BCD 12ABD1320 xy+=1422143xy+=15(10,12)16 2317解：（1）将点()1,2P代入抛物线 C，得222p=，解得2p=，所以2:4C yx=，焦点()1,0F，准线方程为1x=；（2）设()11,A x y，()22,B xy，由2114yx=，2224yx=得，12121241yyxxyy=+所以直线 l 的斜率为1k=，直线 l 的方程：1yx=+，12628ABxxp=+=+=.18解：（1）分别设点(),C a b，(),D c d，因为四边形 ABCD为平行四边形，四边形 ABCD
12、的对角线互相平分，所以143,22124,22acbd+=+=解得5,7,2,6,abcd=，所以()5,7C，()2,6D所以直线CD的方程为676252yx=，化简得3160 xy+=（2）设(),N x y，则1 322x+=，14522y+=，即52,2N，所以 N 到直线CD的距离221521621 1022013d+=+19（1）证明：过点 C 作 CFAB，垂足为 F，如下图所示在直角梯形 ABCD 中ABAD，AB/CD，ADCD，四边形 AFCD 为正方形，AF=BF=DC=CF=1，AC=BC=2，222ACBCAB+=，ACBC，PC底面 ABCD，AC平面 ABCD，A
13、CPCBCPC=C，AC平面 PBC，AC平面 EAC，平面 EAC 垂直平面 PBC（2）解：以 C 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0C，()1,1,0A，()1,1,0B，设()0,0,Pa，0a 则11,22 2aE由（1）知，BCAC，BCPC，且 ACPCC=，所以 BC 平面 PAC.则()1,1,0CB=为平面 PAC 的一个法向量，又()1,1,0CA=，11,22 2aCE=设(),nx y z=为平面 EAC 的法向量，则00n CAn CB=，即0110222xyaxyz+=+=，令 xa=，则(),2naa=设向量CB 与向量n 的夹角为，由题意知，
14、26cos32CB naCBna=+解得：2a=，所以()2,2,2n=，()1,1,2PA=设直线 PA 与平面 EAC 所成的角为，向量n 与向量 PA 所成角为所以42sincos362 3PA nPA n=，即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为23.20.解：（1）由题意得，切线的斜率存在，设切线()11yk x=+，即10kxyk+=，所以圆心 M 到切线的距离23111kdk+=+，解得0k=或34.所以切线所在直线方程为1y=或3410 xy+=.（2）连接 PM，AB 交于点 N，设MPAMAN=，所以2cos2cosABAM=.在 RtMAP中，1sinAMPMPM
15、=.又)3,PM+，则()max1sin3=，所以()min2 2cos3=，即min4 23AB=.（3）由题知，切线的斜率存在，设切线()1yk xt=+，即0kxykt+=.设圆心 M 到切线的距离为d，5所以2311ktdk+=+，化简得228610ktkt+=则34PAPBkkt+=，218PAPBtkk=.在切线()1yk xt=+中，令0 x=，解得 ykt=+，所以()()PAPBPAPBktktkSTk=+=，即284STt+=，所以min22ST=，此时0t=.故 ST 的最小值为22.21解：（1）由题意椭圆2222:1(0)xyCabab+=经过点(21)A，离心率为2
16、2，可得2222241122ababcca+=+=，解得6,3ab=，故椭圆 C 的方程为22163xy+=；（2）由题意可知直线 l斜率一定存在，设直线 l 的方程为(3)yk x=，由22(3)163yk xxy=+=，可得2222(12)121860kxk xk+=，由于直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，则42221444(1 2)(186)24(1)0kkkk=+=，解得 11k ，设1122(,),(,)M x yN xy,则2212122212186,1212kkxxx xkk+=+，11(3)yk x=22(3)yk x=，故121221121211(31)(2)(3
17、1)(2)22(2)(2)AMANyykxkxkxkkxkxxxx+=+=121212122(51)()1242()4kx xkxxkx xxx+=+2222222(186)(51)12(124)(1 2)186244(1 2)kkkkkkkkk+=+2244222kk+=，即AMANkk+为定值.22解：（1）取 BC 的中点 F，连接 EF，DF 因为 DE 是三棱锥 DABC的高，即 DE 平面 ABC，所以 DEBC易得 DFBC，所以 BC 平面 DEF，所以 BCEF又因为 BCAF，所以点 E 在 AF 上 3 3AF=，224DFBDBF=，222 3EFDFDE=，3AEAF
18、EF=以 E 为坐标原点，EF，ED 的方向分别为 x，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A，()2 3,3,0B，()2 3,3,0C，()0,0,2D，()2 3,3,2BD=，()3 3,3,0BA=，()0,6,0BC=设平面 ABD的法向量为()111,nx y z=，则0,0,BD nBA n=即111112 3320,3 330.xyzxy+=+=取13x=，则33,3,2n=故点C 到平面 ABD的距离为()2226 312 57193332n BCn=+（2）设平面 BCD的法向量为()222,mxy z=，则0,0,BD mBC m=即22222 3320,60.xyzy+=取23x=，则()3,0,3m=()3 3,3,0AC=，设 AGAC=，则()0,1()()()3,0,03 3,3,03 33,3,0EGEAAC=+=+=设平面 DEG 的法向量为()333,uxy z=，则0,0,ED uEG u=即()33320,3 3330.zxy=+=取33x=，则13,3,0u=223331cos,211332 32 33u mu mu m=+，当且仅当13=时，等号成立故平面 DEG 与平面 BCD夹角余弦值的最大值为 12学科网（北京）股份有限公司
