1、第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素在集合A中，称属于A，记为，否则称不属于A，记作。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如有理数，分别表示有理数集和正实数集。定义2 子集：对于两个集合
2、A与B，如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为，例如。规定空集是任何集合的子集，如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。便于理解：包含两个意思：A与B相等 、A是B的真子集定义3 交集，定义4 并集，定义5 补集，若称为A在I中的补集。定义6 集合记作开区间，集合记作闭区间，R记作定义7 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点 对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合
3、中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由，组成一个集合，则的取值不能是或1（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意与的区别是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是（2）注意与的区别是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集
4、或来表示实数集这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有n个元素时，有2n个子集，有2n-1个真子集，有2n-2个非空真子集。二、基础例题（必会）例1已知，求正解：，解析：这道题要注意研究的元素（看竖线前的元
5、素），均是y，所以要求出两个集合中y的范围再求交集，A中的y范围是求表达式的值域、因此此题是表示两个函数值域的集合例2 若，且，试求实数正解：AB=2，5，由，解得或当a=1时，与元素的互异性矛盾，故舍去；当时，此时，这与矛盾，故又舍去；当时，此时满足题意，故为所求解析：此题紧紧抓住集合的三大性质：确定性 互异性 无序性三、趋近高考（必懂）1.（2010年江苏高考1）设集合A=-1,1,3，B=a+2,a2+4,AB=3，则实数a=_方法：将集合B两个表达式都等于3，且抓住集合三大性质。【答案】1.2.（2010.湖北卷2.）设集合A=，B=,则AB的子集的个数是（ ） A. 4 B.3 C.
6、2 D.1方法：注意研究元素，是点的形式存在，A是椭圆，B是指数函数，有数形结合方法，交于两个点，说明集合中有两个元素，还要注意，题目求子集个数，所以是22=4【答案】A集合穿针 转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语3.若，则是的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件解析：，即或，即或， 由集合关系知：，而是的充分条件，但不是必要条件故选（）4.若，则“”是“方程表示双曲线”的（）（A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件解析：方程表示双曲线或故选（A）二、集合与函数5.已知集合，那么等于（）（A）（0，2），（1，1）（B）（0，
7、2），（1，1）（C）1，2 （D）解析：由代表元素可知两集合均为数集，又P集合是函数中的y的取值范围，故P集合的实质是函数的值域而Q集合则为函数的定义域，从而易知，选（D）评注：认识一个集合，首先要看其代表元素，再看该元素的属性，本题易因误看代表元素而错选（）或（）三、集合与方程6.已知，且，求实数p的取值范围解析：集合A是方程的解集，则由，可得两种情况：，则由，得；方程无正实根，因为，则有于是综上，实数p的取值范围为四、集合与不等式7. 已知集合，若，求实数m的取值范围解析：由不等式恒成立，可得，（）（1）当，即时，（）式可化为，显然不符合题意（2）当时，欲使（）式对任意x均成立，必需满足即解得集合B是不等式的解集，可求得，结合数轴，只要即可，解得五、集合与解析几何例6已知集合和，如果，求实数m的取值范围解析：从代表元素看，这两个集合均为点集，又及是两个曲线方程，故的实质为两个曲线有交点的问题，我们将其译成数学语言即为：“抛物线与线段有公共点，求实数m的取值范围”由，得，方程在区间0，2上至少有一个实数解首先，由，得或当m3时，由及知，方程只有负根，不符合要求；当时，由及知，方程有两个互为倒数的正根，故必有一根在区间内，从而方程至少有一个根在区间0，2内综上，所求m的取值范围是
