1、2014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z等于（） A 2i B 2i C 2 D 22（理）积分（x2+sinx）dx=（） A B C 1 D 3设（x）=xlnx，若f（x0）=2，则x0=（） A e2 B ln2 C D e4设P（1，f（1）是曲线C：f（x）=x2+2x+3上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（） A 4xy+10=0 B 4xy+2=0 C x4y+10=0 D x4y+2=05设f（
2、x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（） A B C D 6设函数f（x）=xex，则（） A x=1为f（x）的极大值点 B x=1为f（x）的极小值点 C x=1为f（x）的极大值点 D x=1为f（x）的极小值点7现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名学生参加，则不同的选法种数为（） A 39种 B 24种 C 15种 D 16种8（2x）4的展开式中的常数项为（） A 6 B 6 C 24 D 249观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（）
3、 A 28 B 76 C 123 D 19910已知，P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（A|B）=0.2，则P（A+B）=（）（其中P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB） A 0.90 B 0.78 C 0.60 D 0.4011用数学归纳法证明：1+=+（nN*）时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（） A 1项 B 2项 C 3项 D 4项12设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第次首次取到正品，则P（=3）等于（） A C32（）2（） B C32（）2（） C （）2（） D （）2（）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13由
4、曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为14设z=（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于第象限15已知实数a0且a1，函数f（x）=，若数列an满足an=f（n）（nN*），且an是等差数列，则a=，b=16甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则有：P（B）=事件B与事件A1相互独立A1、A2互斥P（B）的值不能确定，因为它与A1、A2中究竟哪一个发生有关正确的序号为三、解答题：本大题共6小题，共70分
5、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（2015春银川校级期中）（本题用数字作答）（1）5人排成一排照相，甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（2）4女2男选出2人，女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，共有多少种不同的方法？至少有一女共有多少种选法？男女都有共有多少种不同选法？18（12分）（2015春银川校级期中）关于ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设PBC、PCA、PAB的面积分别为S1，S2，S3，ABC
6、的面积为S，则有：S=S1+S2+S3h=h1+h2+h3（其中h为ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明19（12分）（2015春银川校级期中）已知函数f（x）=x43x2+6，（1）求f（x）的极值；（2）当x，时，求函数的最大值20（12分）（2015春银川校级期中）现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变
7、量X的分布列21（12分）（2015春银川校级期中）已知函数f（x）=ex2x+a有零点，求a的取值范围22（12分）（2015春银川校级期中）设sin是sin，cos的等差中项，sin是sin，cos的等比中项，求证：cos44cos4=32014-2015学年宁夏银川市唐徕回民中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z等于（） A 2i B 2i C 2 D 2考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 利用复数的
8、运算法则即可得出解答： 解：iz=2，iiz=2i，z=2i故选：A点评： 本题考查了复数的运算法则，属于基础题2（理）积分（x2+sinx）dx=（） A B C 1 D 考点： 定积分 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 根据积分计算公式，求出被积函数x2+sinx的原函数，再根据微积分基本定理加以计算，即可得到本题答案解答： 解：根据题意，可得（x2+sinx）dx=（x3cosx）=（13cos1）（1）3cos（1）=cos1+cos1=故选：B点评： 本题求一个函数的原函数并求定积分值，考查定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题3设（x）=xlnx，若f（x0）=2，则
9、x0=（） A e2 B ln2 C D e考点： 导数的运算；函数的零点 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 由题意求导f（x）=lnx+1，从而得lnx0+1=2；从而解得解答： 解：f（x）=lnx+1；故f（x0）=2可化为lnx0+1=2；故x0=e；故选D点评： 本题考查了导数的求法及应用，属于基础题4设P（1，f（1）是曲线C：f（x）=x2+2x+3上的一点，则曲线C过点P的切线方程是（） A 4xy+10=0 B 4xy+2=0 C x4y+10=0 D x4y+2=0考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用分析： 由题意可得曲线C过点P的
10、切线以点P为切点，从而利用导数求切线的斜率，从而解得解答： 解：f（x）=x2+2x+3是二次函数，且P（1，f（1）是其图象上的一点，曲线C过点P的切线以点P为切点；又f（x）=2x+2，切线的斜率k=f（1）=2+2=4，又f（1）=1+2+3=6；故切线方程为y6=4（x1），即4xy+2=0；故选：B点评： 本题考查了导数的几何意义的应用及二次函数的性质应用，属于中档题5设f（x）是函数f（x）的导函数，y=f（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象最有可能的是（） A B C D 考点： 函数的单调性与导数的关系 专题： 压轴题；数形结合分析： 先根据导函数的图象确定导函数大于0
11、的范围和小于0的x的范围，进而根据当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减确定原函数的单调增减区间解答： 解：由y=f（x）的图象易得当x0或x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（，0）和（2，+）上单调递增；当0x2时，f（x）0，故函数y=f（x）在区间（0，2）上单调递减；故选C点评： 本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减6设函数f（x）=xex，则（） A x=1为f（x）的极大值点 B x=1为f（x）的极小值点 C x=1为f（x）的极大值点 D x=1为f（x）的极小值点
12、考点： 利用导数研究函数的极值 专题： 导数的概念及应用分析： 由题意，可先求出f（x）=（x+1）ex，利用导数研究出函数的单调性，即可得出x=1为f（x）的极小值点解答： 解：由于f（x）=xex，可得f（x）=（x+1）ex，令f（x）=（x+1）ex=0可得x=1令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（1，+）上是增函数令f（x）=（x+1）ex0可得x1，即函数在（，1）上是减函数所以x=1为f（x）的极小值点故选：D点评： 本题考查利用导数研究函数的极值，解题的关键是正确求出导数及掌握求极值的步骤，本题是基础题，7现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，若需1名老师和1名
13、学生参加，则不同的选法种数为（） A 39种 B 24种 C 15种 D 16种考点： 排列、组合及简单计数问题 专题： 排列组合分析： 先从3名老师选1名共有3种方法，再从13名学生中选一名共有13种选法，根据分步计数原理即可解决解答： 解：先从3名老师选1名共有3种方法，再从13名学生中选一名共有13种选法，根据分步计数原理，不同的选法有313=39种，故选：A点评： 本题考查了分步计数原理，关键是分步，属于基础题8（2x）4的展开式中的常数项为（） A 6 B 6 C 24 D 24考点： 二项式定理的应用 专题： 二项式定理分析： 由题意可得，二项展开式的通项为Tr+1=（2x）4r（
14、）r，令x的幂指数为0，求出r代入即可解答： 解：由题意可得，二项展开式的通项为Tr+1=（2x）4r（）r=（1）r24rx42r令42r=0可得r=2T3=4=24展开式中的常数项为24故选：C点评： 本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练应用通项，属于基础试题9观察下列各式：a+b=1，a2+b2=3，a3+b3=4，a4+b4=7，a5+b5=11，则a10+b10=（） A 28 B 76 C 123 D 199考点： 归纳推理 专题： 阅读型分析： 观察可得各式的值构成数列1，3，4，7，11，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解解答： 解：观察可得各式的值
15、构成数列1，3，4，7，11，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项继续写出此数列为1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，第十项为123，即a10+b10=123，故选C点评： 本题考查归纳推理，实际上主要为数列的应用题要充分寻找数值、数字的变化特征，构造出数列，从特殊到一般，进行归纳推理10已知，P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（A|B）=0.2，则P（A+B）=（）（其中P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB） A 0.90 B 0.78 C 0.60 D 0.40考点： 条件概率与独立事件 专题： 计算题；概率与统计分析： 利用条
16、件概率公式，求出P（AB），P（B），利用P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB），即可得出结论解答： 解：P（A）=0.3，P（B|A）=0.4，P（AB）=P（B|A）P（A）=0.12，P（A|B）=0.2，P（B）=0.6，P（A+B）=P（A）+P（B）P（AB）=0.3+0.60.12=0.78，故选：B点评： 本题考查条件概率，考查学生的计算能力，正确运用条件概率公式是关键11用数学归纳法证明：1+=+（nN*）时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（） A 1项 B 2项 C 3项 D 4项考点： 数学归纳法 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 当
17、n=k成立，1+，当n=k+1时，写出对应的关系式，观察计算即可解答： 解：在用数学归纳法证明：左侧：1，在第二步证明时，假设n=k时成立，左侧：1+，则n=k+1成立时，左侧：1+，左边增加的项数是2故选：B点评： 本题考查数学归纳法，考查n=k到n=k+1成立时左边项数的变化情况，考查理解与应用的能力，属于中档题12设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第次首次取到正品，则P（=3）等于（） A C32（）2（） B C32（）2（） C （）2（） D （）2（）考点： n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 专题： 计算题分析： 根据题意，P（=3）即第3次首次取到正品的
18、概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案解答： 解：根据题意，P（=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（=3）=（）2（）；故选C点评： 本题考查相互独立事件的概率计算，解题的关键在于正确理解P（=3）的意义二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13由曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面积为2考点： 定积分的简单应用 专题： 导数的综合应用分析： 首先利用定积分表示封闭图形的面积，然后计算解答： 解：曲线y=cosx，x=，x=，y=0围成的封闭图形的面
19、积为：=2；故答案为：2点评： 本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是利用定积分正确表示面积；注意积分的上限和下限14设z=（i是虚数单位），则z的共轭复数对应的点位于第四象限考点： 复数的代数表示法及其几何意义 专题： 数系的扩充和复数分析： 根据复数的概念以及复数的几何意义进行判断解答： 解：z=1+i，则z的共轭复数=1i，对应的点的坐标为（1，1），位于第四象限，故答案为：四点评： 本题主要考查复数的基本运算和复数的几何意义，比较基础15已知实数a0且a1，函数f（x）=，若数列an满足an=f（n）（nN*），且an是等差数列，则a=2，b=0考点： 分段函数的应用 专题： 函
20、数的性质及应用；等差数列与等比数列分析： 由条件得到an=，根据等差数列的定义，即可得到a2a=a，3a+ba2=a，求出a，b即可解答： 解：函数f（x）=，an=，a1=a，a2=a2，a3=3a+b，a4=4a+b，a5=5a+b，an=na+b，an是等差数列，a2a=a，即有a=0（舍去）或2，3a+ba2=a，即b=0，故答案为：2，0点评： 本题考查函数与数列的关系，考查等差数列的定义，考查基本的运算能力，是一道基础题16甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机
21、取出1球以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则有：P（B）=事件B与事件A1相互独立A1、A2互斥P（B）的值不能确定，因为它与A1、A2中究竟哪一个发生有关正确的序号为考点： 相互独立事件；命题的真假判断与应用 专题： 概率与统计分析： 根据已知求出P（B），可判断；分析事件B与事件A1是否相互独立，可判断；根据互斥事件的概念，可判断解答： 解：罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以A1、A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1球，以B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，则P（B）=P（A1|B）+P（A2|B）
22、=+=，故正确，错误；事件B与事件A1不相互独立，故错误；A1、A2不可能同时发生，故彼此互斥，故正确；故正确命题的序号为：，故答案为：点评： 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了条件概率，相互独立事件，互斥事件，难度中档三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（10分）（2015春银川校级期中）（本题用数字作答）（1）5人排成一排照相，甲、乙、丙排在一起，共有多少种排法？甲、乙之间恰有2人，共有多少种排法？（2）4女2男选出2人，女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，共有多少种不同的方法？至少有一女共有多少种选法？男女都有共有多少种不同选法？考点
23、： 排列、组合及简单计数问题 专题： 应用题；排列组合分析： 利用排列、组合知识，分别求解即可得出结论解答： 解：（1）甲、乙、丙排在一起，利用捆绑法，共有A33A33=36种排法；甲、乙之间恰有2人，共有A22A32A22=24种排法；（2）4女2男选出2人，女生2人，男生2人，再安排4人不同的工作，先选后排，共有C42C22A44=144种不同的方法；至少有一女共有C41C21+C42C20=14种选法；男女都有共有C41C21=8种不同选法点评： 本题考查排列、组合知识，考查学生的计算能力，比较基础18（12分）（2015春银川校级期中）关于ABC有如下命题：在正三角形ABC内部（不包括
24、边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，证明如下：连接PB、PC、PA，设PBC、PCA、PAB的面积分别为S1，S2，S3，ABC的面积为S，则有：S=S1+S2+S3h=h1+h2+h3（其中h为ABC的高），根据上述思维猜想在正四面体（四个面均为正三角形的三棱锥）中的结论，并对猜想进行证明考点： 归纳推理 专题： 推理和证明分析： 由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质固我们可以根据已知中
25、平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质解答： 解：类比在正三角形ABC内部（不包括边界）任取一点P，P点到三边的距离分别为h1，h2，h3，则h1+h2+h3为定值，可得：P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值，如图：连接PA，PB，PC，PD，则三棱锥PABC，PABD，PACD，PBCD的体积分别为：V1，V2，V3，V4，由棱长为a可以得到BF=a，BE=BF=a，在直角三角形ABE中，根据勾股定理可以得到AE2=AB2BE2，即AE=a，即h=a，（其中h为正
26、四面体ABCD的高），故正四面体的体积V=a=，正四面体的四个面ABC，ACD，ABD，BCD的面积均为，则V=V1+V2+V3+V4=（h1+h2+h3+h4），解得：h1+h2+h3+h4=a，即P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4为定值a点评： 本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）19（12分）（2015春银川校级期中）已知函数f（x）=x43x2+6，（1）求f（x）的极值；（2）当x，时，求函数的最大值考点
27、： 利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值 专题： 导数的综合应用分析： （1）先求导，再令导数等于0，判断函数的单调区间，得到函数的极值；（2）由（1）可知，函数f（x）在（，0）单调递增，在（0，）上单调递减，即可求出函数的最大值解答： 解：（1）f（x）=x43x2+6，f（x）=4x36x，令f（x）=0，解得x=0，或x=，或x=，当f（x）0，解得x0，或x，函数f（x）单调递增，当f（x）0，解得x，或0x，函数f（x）单调递减，当x=时，函数有极小值，极小值为f（）=，当x=0时，函数有极大值；极大值为f（0）=6（2）由（1）可知，函数f（x）在（，0）单调递增
28、，在（0，）上单调递减，当x=0时，函数有极大值，也是最大值，f（x）max=f（0）=6点评： 本题考查了导数和函数恩对极值最值的关系，关键是判断函数的单调性，属于基础题20（12分）（2015春银川校级期中）现有3位老师去参加学校组织的春季娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供选择，为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏，且每个人参加游戏互不影响，设X表示参加甲游戏的人数，求随机变量X的分布列考点： 离散型随机变量及其分布列 专题： 应用题；概率与统计分析： 根据题意，求出某位教师参加甲游戏的概率P
29、，得出X的可能取值，计算对应的概率，列出分布列即可解答： 解：由题意知，某位教师去参加甲游戏的概率为P=，且X的可能取值分别为0，1，2，3；所以，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=P（X=3）=；所以X的分布列如下； X 0 1 2 3P 点评： 本题考查了离散型随机变量的分布列的应用问题，是基础题目21（12分）（2015春银川校级期中）已知函数f（x）=ex2x+a有零点，求a的取值范围考点： 利用导数研究函数的极值 专题： 导数的综合应用分析： 先讨论函数的单调性，得出函数的最值，由函数的最大值大于或等于零（或函数的最小值小于或等于零）得出a的取值范围解答： 解：f（x）=
30、ex2，可得f（x）=0的根为x0=ln2， 当xln2时，f（x）0，可得函数在区间（，ln2）上为减函数；当xln2时，f（x）0，可得函数在区间（ln2，+）上为增函数，函数y=f（x）在x=ln2处取得极小值f（ln2）=22ln2+a，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数y=f（x）的最小值要小于或等于零，即22ln2+a0，可得a2ln22，故答案为：（，2ln22点评： 利用导数工具讨论函数的单调性，是求函数的值域和最值的常用方法，本题可以根据单调性，结合函数的图象与x轴交点，来帮助对题意的理解22（12分）（2015春银川校级期中）设sin是sin，cos的等差中项，s
31、in是sin，cos的等比中项，求证：cos44cos4=3考点： 同角三角函数基本关系的运用 专题： 证明题；等差数列与等比数列分析： 所证明的式子中不含角，因此先由已知，考虑将作为桥梁，沟通，得出4sin22sin2=1再由降幂公式证明等式左边等于右边即可解答： 证明：由题意，sin+cos=2sin ，sincos=sin2 ，（2分）22消去得4sin22sin2=1（5分）可得：42（）=1，解得：2cos2=cos2，即4cos22=cos22，等式左边=2cos2214（2cos221）=8cos2218cos22+4=3=右边，故得证点评： 本题考查三角函数恒等式的证明，要求灵活运用同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦、余弦函数公式化简求值，考查了减元，转化思想，属于中档题