1、单元素养检测(三) (第四章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是()A.(-,-1)B.(1,+)C.(-1,1)(1,+)D.(-,+)【解析】选C.要使函数f(x)有意义,则解得x-1,且x1.故函数f(x)的定义域为(-1,1)(1,+).【补偿训练】 下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的函数是()A.f(x)=3xB.f(x)=x3C.f(x)=3xD.f(x)=log3x【解析】选C.因为3(x+y)=3xy不恒成立,所以选项A不满足
2、f(x+y)=f(x)f(y);(x+y)3=x3y3不恒成立,所以选项B不满足f(x+y)=f(x)f(y);3x3y=3x+y,所以选项C满足f(x+y)=f(x)f(y);log3xy=log3x+log3y,所以选项D不满足f(x+y)=f(x)f(y).2.给出f(x)=则f(log23)的值等于()A.-B.C.D.【解析】选D.因为log23(1,2),所以f(log23)=f(log23+1)=f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log212+1)=f(log224)=.3.(2018全国卷)函数f=的图象大致为()【命题意图】 本题考查了函数的图象
3、与性质的运用,重在考查识图能力,注意应用函数的奇偶性与单调性.【解析】选B.因为x0,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,舍去A,因为f(1)=e-e-10,所以舍去D;因为f(x)=,所以x2,f(x)0,所以舍去C;因此选B.【补偿训练】在同一直角坐标系中,函数y=,y=loga(a0且a0)的图象可能是()【解析】选D.当0a1时,函数y=ax过定点且单调递增,则函数y=过定点且单调递减,函数y=loga过定点且单调递增,各选项均不符合.4.已知a=,b=log34,c=lo3,则以下关系正确的是()A.abcB.bacC.acbD.cab【解析】选A.因为a=1可知0a1,又
4、因为1b=log34c=lo3=log39,所以1bc,即abc.【补偿训练】设a=50.4,b=log0.40.5,c=log40.4,则a,b,c的大小关系是()A.abcB.cbaC.cabD.bc50=1,0b=log0.40.5log0.40.4=1,c=log40.4log41=0,所以cb0,f(1)=2-1=10,f(2)=22-22=0,f(-2)=2-2-(-2)20,f(-1)=2-1-(-1)20,所以f(-1)f(0)0,f(2)=-log22=3-1=20,f(4)=-log24=-2=-0.故f(2)f(4)0.由零点存在定理可知,包含f(x)零点的区间为(2,4
5、).6.已知幂函数y=f(x)的图象过点,则log4f(2)的值为()A.B.-C.2D.-2【解析】选A.设f(x)=xa,图象过点,所以=,解得a=,所以log4f(2)=log4=.7.已知函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上单调递增,则a的取值范围是()A.(-,4B.(-,2C.-4,4D.(-4,4【解析】选D.由函数f(x)=log2(x2-ax+3a)在区间2,+)上单调递增,所以解得-40,a1)在区间内恒有f(x)0,则f(x)的单调递增区间为()A.(0,+)B.(2,+)C.(1,+)D.【解析】选A.令M=x2+x,当x时,M(1,+),f(x)
6、0,所以a1,所以函数y=logaM为增函数,又M=-,因此M的单调递增区间为.又x2+x0,所以x0或x-.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,+).8.已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-2x恰有三个不同的零点,则实数a的取值范围是()A.-1,1)B.-1,2)C.-2,2)D.0,2【解析】选B.由题意可得g(x)=恰有三个不同的零点,如图所示,-1a2.【补偿训练】关于x的方程+a-2=0有解,则a的取值范围是()A.0a1B.1a2【解析】选B.+a-2=0有解等价于a=2-有解,由于|x|0,所以01,由此12-2,可得关于x的方程+a-2=0有解,则a的取值范围是1a
7、2.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列计算正确的是()A.log26-log23=log23B.log26-log23=1C.log39=2D.log3(-4)2=2log3(-4)【解析】选BC.在B选项中,log26-log23=log2=log22=1,故B正确,在C选项中,log39=log332=2log33=2,故C正确.10.已知y=x(x-1)(x+1)的图象如图所示.令f(x)=x(x-1)(x+1)+0.01,则下列关于f(x)=0的解叙述正确的是
8、()A.有三个实根B.当0x1时恰有一实根C.当-1x0时恰有一实根D.当x-1时恰有一实根(有且仅有一实根)【解析】选AD.f(x)的图象是将函数y=x(x-1)(x+1)的图象向上平移0.01个单位得到.故f(x)的图象与x轴有三个交点,它们分别在区间(-,-1),和内.11.给定下列函数,其中在区间(0,1)上单调递减的函数是()A.y=B.y=lo(x+1)C.y=|x-1|D.y=2x+1【解析】选BC.y=lo(x+1)和y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减,y=和y=2x+1在区间(0,1)上单调递增.12.对于0a1,给出下列四个不等式,其中成立的是()A.loga(1+a
9、)loga(1+)C.a1+a【解析】选BD.由0a1,则y=logax在(0,+)单调递减,a,则1+aloga(1+),故A错误,B正确;由0a1,则y=ax在R上单调递减,a,则1+a,故C错误,D正确.三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.如果函数f(x)=(3-a)x,g(x)=logax的增减性相同,则a的取值范围是_.【解析】由题意,得或解得1a0且a1).由题图可知2=a1.所以a=2,即底数为2,所以说法正确;因为25=3230,所以说法正确;设水葫芦蔓延至4 m2,12 m2的时间分别为x1,x2,当面积为4时,由4=,解得x1=
10、2,当面积为12时,由12=,解得x2=log212=2+log23.x2-x1=log231.5,所以说法不正确;t1=1,t2=log23,t3=log26,所以t1+t2=t3.所以说法正确;因为指数函数增加速度越来越快,所以说法不正确.故正确的有.答案:四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)计算:(1)2-+1+(-1)0.(2)log3+lg 25-+lg 4.【解析】(1)2-+1+=(33-52+(24+1=-25+8+1=-.(2)log3+lg 25-+lg 4=log327+(lg 25+lg 4)-=+2-=
11、1.18.(12分)已知函数f(x)=2a9x-3x+1+1.(1)当a=1时,求函数f(x)的零点.(2)若f(x)有零点,求实数a的取值范围.【解析】(1)当a=1时,f(x)=29x-33x+1.令f(x)=0,即2(3x)2-33x+1=0,解得3x=1或3x=.所以x=0或x=-log32,函数f(x)的零点为0,-log32.(2)若f(x)有零点,则方程2a9x-3x+1+1=0有解,于是2a=-=-+,所以2a,即a.所以实数a的取值范围为.19.(2020苏州高一检测)已知函数f(x)=2x-2-x.(1)判断并证明f(x)的奇偶性.(2)求函数g(x)=22x+2-2x-f
12、(x)在区间0,1上的最小值和最大值.【解析】(1)函数f(x)=2x-2-x的定义域为R,关于原点对称,因为f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),因此,函数f(x)=2x-2-x为奇函数.(2)设u=f(x),由于函数y1=2x为增函数,函数y2=2-x为减函数,所以,函数u=f(x)为增函数,当x0,1时,则u,且22x+2-2x=(2x-2-x)2+2=u2+2,则g(x)=u2-u+2,令y=u2-u+2=+,u.所以,g(x)min=,g(x)max=+=.20.(12分)已知函数f(x-3)=loga(a0,a1).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.(2)
13、当0a0,a1,-3u0,a1,-3x3).(1)因为f(-x)+f(x)=loga+loga=loga1=0,所以f(-x)=-f(x),又定义域(-3,3)关于原点对称.所以f(x)是奇函数.(2)令t=-1-,则t在(-3,3)上是增函数,当0a1时,函数y=logat是减函数,所以f(x)=loga(0a0,故x,故x=,因为lg 108=lg(3322)=3lg 3+2lg 2,所以x14.3.约经过15年以后,这种鸟类的个数达到现有个数的3倍或以上.22.(12分)设函数f(x)=log3(9x)log3(3x),且x9.(1)求f(3)的值.(2)令t=log3x,将f(x)表示
14、成以t为自变量的函数,并由此求函数f(x)的最大值与最小值及与之对应的x的值. 【解析】(1)f(3)=log327log39=32=6.(2)因为t=log3x,又因为x9,所以-2log3x2,即-2t2.f(x)=(log3x+2)(log3x+1)=(log3x)2+3log3x+2=t2+3t+2.令g(t)=t2+3t+2=-,t-2,2.当t=-时,g(t)min=-,即log3x=-,则x=,所以f(x)min=-,此时x=;当t=2时,g(t)max=g(2)=12,即log3x=2,x=9,所以f(x)max=12,此时x=9.【补偿训练】 已知f(x)=log2(4x+1
15、)-kx(kR).(1)设g(x)=f(x)-a,k=2,若函数g(x)存在零点,求a的取值范围.(2)若f(x)是偶函数,设h(x)=log2,若函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,求实数b的取值范围.【解析】(1)由题意知函数g(x)存在零点,即f(x)=a有解.又f(x)=log2(4x+1)-2x=log2=log2,易知f(x)在(-,+)上是减函数,又1+1,log20,即f(x)0,所以a的取值范围是(0,+).(2)f(x)=log2(4x+1)-kx,定义域为R,f(x)为偶函数f(-1)=f(1)log2+k=log2(4+1)-kk=1.检验:f(x)=log2-x=log2=log2(2x+2-x),则f(-x)=log2(2-x+2x)=f(x)f(x)为偶函数.因为函数f(x)与h(x)的图象只有一个公共点,所以方程f(x)=g(x)只有一解,即2-x+2x=b2x-b只有一解,令t=2x(t0),则3(b-1)t2-4bt-3=0有一正根,当b=1时,t=-0,解得b=-3,若方程有两不相等实根且只有一正根时,因为y=3(b-1)t2-4bt-3图象恒过点(0,-3),只需图象开口向上,所以b-10即可,解得b1,综上,b=-3或b1,即b的取值范围是-3(1,+).