1、第四节随机事件的概率【考纲下载】1了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率意义以及频率与概率的区别2了解两个互斥事件的概率加法公式1随机事件的概率的定义在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性这时这个常数叫作随机事件A的概率，记作P(A)，且0P(A)1.2互斥事件和对立事件事件定义性质互斥事件一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件P(AB)P(A)P(B)，(事件A，B是互斥事件)P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)，(事件A1，A2，An任意两个互斥)对立事件在
2、每一次试验中，相互对立的事件A和事件不会同时发生，并且一定有一个发生P()1P(A)3.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0,1(2)必然事件的概率P(E)1.(3)不可能事件的概率P(F)0.1概率和频率有什么区别和联系？提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象当试验次数越来越大时，频率也越来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随机事件的概率2互斥事件和对立事件有什么区别和联系？提示：互斥事件和对立事件都是针对两个事件而言的在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而对立事件则是必有一个发生，但不能同时发生所以两个事件互斥
3、但未必对立；反之两个事件对立则它们一定互斥1下列事件中，随机事件的个数为()物体在只受重力的作用下会自由下落；方程x22x80有两个实根；某信息台每天的某段时间收到信息咨询的请求次数超过10次；下周六会下雨A1 B2 C3 D4解析：选B为必然事件，为不可能事件，为随机事件2(教材习题改编)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是()A至少有一个红球与都是红球B至少有一个红球与都是白球C至少有一个红球与至少有一个白球D恰有一个红球与恰有两个红球解析：选D对于A中的两个事件不互斥，对于B中的两个事件互斥且对立，对于C中的两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立3
4、从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在160,175的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A0.2 B0.3 C0.7 D0.8解析：选B由对立事件的概率可求该同学的身高超过175 cm的概率为 10.20.50.3.4甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是_解析：乙不输的事件为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的概率为.答案：5给出下列三个命题：有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是；随机事件发生的频率就是这个
5、随机事件发生的概率其中错误的命题有_个解析：错，不一定是10件次品；错，是频率而非概率；错，频率不等于概率，这是两个不同的概念答案：3考点一随机事件的关系 例1(1)一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现奇数点”，事件B表示“向上的一面出现的数不超过3”，事件C表示“向上的一面出现的点数不小于4”，则()AA与B是互斥而非对立事件BA与B是对立事件CB与C是互斥而非对立事件DB与C是对立事件(2)判断下列给出的每对事件是互斥事件还是对立事件，并说明理由从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花各10张，且点数都为110
6、)中，任取一张“抽出红桃”与“抽出黑桃”；“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”自主解答(1)AB出现点数1或3，事件A，B不互斥更不对立；BC，BC(为所有基本事件的全集)，故事件B、C是对立事件(2)是互斥事件，不是对立事件原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件既是互斥事件，又是对立事件原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”是不可能同时发生的，且其中必有一个发生，所
7、以它们既是互斥事件，又是对立事件不是互斥事件，也不是对立事件原因：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件答案(1)D【方法规律】1互斥事件的理解(1)互斥事件研究的是两个事件之间的关系(2)所研究的两个事件是在一次试验中所涉及的(3)两个事件互斥是从“试验的结果不能同时出现”来确定的2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合
8、的补集.从装有5只红球，5只白球的袋中任意取出3只球，判断下列每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件：(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”；(2)“取出2只红球和1只白球”与“取出3只红球”；(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只白球”；(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”解：任取3只球，共有以下4种可能结果：“3只红球”，“2只红球1只白球”，“1只红球2只白球”，“3只白球”(1)“取出2只红球和1只白球”与“取出1只红球和2只白球”不可能同时发生，是互斥事件，但有可能两个都不发生，故不是对立事件(2)“取出2只红球1只白球”，与“取出3
9、只红球”不可能同时发生，是互斥事件，可能同时不发生，故不是对立事件(3)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有一只白球”不可能同时发生，故互斥其中必有一个发生，故对立(4)“取出3只红球”与“取出3只球中至少有1只红球”可能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件高频考点考点二 随机事件的频率与概率1随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中，可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也成为近几年高考的命题热点多以解答题的形式出现，有时也会以选择、填空题的形式出现多为容易题或中档题2高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度：(1)列出频率分布表；(2)由频率估计概率；(3
10、)由频率计算某部分的数量例2(2013湖南高考)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4 (2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg的概率自主解答(1)所种作物的总株数为1234515，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的
11、作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株列表如下：Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为46.(2)由(1)知，P(Y51)，P(Y48).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y48)P(Y51)P(Y48).【互动探究】若本例中的条件不变，试估计年收获量介于42,48之间的可能性解：依题意知：法一：P(42x48)P(x42)P(x45)P(x48).法二：P(42x48)1P(x51)1. 随机事件的频率与概率的常见类型及解题策略(1)补全或写出频率分布表可直接依据已知条件，逐一计数，写出频率(2)由频率
12、估计概率可以根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率(3)由频率估计某部分的数值可由频率估计概率，再由概率估算某部分的数值某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩如下表：射击次数100120150100150160150击中飞碟数819512382119127121击中飞碟的频率 (1)将各次击中飞碟的频率填入表中；(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？解：利用频率公式依次计算出击中飞碟的频率(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是0.81，同理可求得下面的频率依次是0.792,0.82，0.82，0.793,0.794,0.807；(2)击中飞碟的频率稳定在0.8
13、1，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.考点三互斥事件、对立事件的概率 例3(2013赣州模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？自主解答记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则GABC，所以P(G)P(ABC)P(A)
14、P(B)P(C)0.10.160.30.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则HDEF，所以P(H)P(DEF)P(D)P(E)P(F)0.30.10.040.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)1P(G)0.44.【方法规律】求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接求法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接求法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)1P()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就会较简便提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个
15、事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)某商场有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率解：(1)P(A)，P(B)，P(C).故事件A，B，C的概率分别为，.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1张奖券中奖”这个事件为M，则MABC.A、B、C两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B)P(C).故1张奖券的中奖
16、概率为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，P(N)1P(AB)1.故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.课堂归纳通法领悟1个难点对频率和概率的理解(1)依据定义求一个随机事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，但是，某一事件的概率是一个常数，而频率随着试验次数的变化而变化(2)概率意义下的“可能性”是大量随机事件现象的客观规律，与我们日常所说的“可能”“估计”是不同的也就是说，单独一次结果的不确定性与积累结果的有规律性，才是概率意义下的“可能性”，事件A的概率是事件A的本质属性1个重
17、点对互斥事件与对立事件的理解(1)对于互斥事件要抓住如下特征进行理解：互斥事件研究的是两个事件之间的关系；所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；两个事件互斥是从试验的结果中不能同时出现来确定的(2)对立事件是互斥事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且只有一个发生的两个事件，集合A的对立事件记作.从集合的角度来看，事件所含结果的集合正是全集U中由事件A所含结果组成的集合的补集，即AU，A.对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件 易误警示(十四)忽视概率加法公式的应用条件致误典例抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点，2点，3点，4点，5点，6点的概率都是，记事件A为“出现奇数点
18、”，事件B为“向上的点数不超过3”，求P(AB)解题指导由于AB中会有出现点数为1点，2点，3点，5点四个互斥事件因此，可用概率加法公式解记事件“出现1点”“出现2点”“出现3点”“出现5点”分别为A1，A2，A3，A4，由题意知这四个事件彼此互斥故P(AB)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).名师点评1.如果审题不仔细，未对AB事件作出正确判断，误认为P(AB)P(A)P(B)，则易出现P(AB)1的错误2解决互斥事件的有关问题时，应重点注意以下两点：(1)应用加法公式时，一定要注意其前提条件是涉及的事件是互斥事件(2)对于事件P(AB)P(A)P(B)，只有当A、B互斥时，等号成立全
19、盘巩固1给出以下结论：互斥事件一定对立；对立事件一定互斥；互斥事件不一定对立；事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；事件A与B互斥，则有P(A)1P(B)其中正确命题的个数为()A0 B1 C2 D3解析：选C对立必互斥，互斥不一定对立，所以正确，错；又当ABA时，P(AB)P(A)，所以错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)1P(B)，所以错2从存放号码分别为1,2,3，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：卡片号码12345678910取到次数138576131810119则取到号码为奇数的卡片的频率是()A0.53 B0.5 C0.47
20、 D0.37解析：选A取到号码为奇数的卡片的次数为：1356181153，则所求的频率为0.53.3某种产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为()A0.95 B0.97 C0.92 D0.08解析：选C记“抽检一件产品是甲级品”为事件A，“抽检一件产品是乙级品”为事件B，“抽检一件产品是丙级品”为事件C，这三个事件彼此互斥，因而抽检一件产品是正品(甲级品)的概率为P(A)1P(B)P(C)15%3%92%0.92.4从16个同类产品(其中有14个正品，2个次品)中任意抽取3个，下列事件中概
21、率为1的是()A三个都是正品B三个都是次品C三个中至少有一个是正品D三个中至少有一个是次品解析：选C16个同类产品中，只有2件次品，抽取三件产品，A是随机事件，B是不可能事件，C是必然事件，D是随机事件，又必然事件的概率为1，故C正确5从某校高二年级的所有学生中，随机抽取20人，测得他们的身高(单位：cm)分别为：162153148154165168172171173150151152160165164179149158159175根据样本频率分布估计总体分布的原理，在该校高二年级的所有学生中任抽一人，估计该生的身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率为()A. B. C. D.解析：
22、选A从已知数据可以看出，在随机抽取的这20位学生中，身高在155.5 cm170.5 cm之间的学生有8人，频率为，故可估计在该校高二年级的所有学生中任抽一人，其身高在155.5 cm170.5 cm之间的概率为.6在一次随机试验中，彼此互斥的事件A、B、C、D的概率分别为0.2、0.2、0.3、0.3，则下列说法正确的是()AAB与C是互斥事件，也是对立事件BBC与D是互斥事件，也是对立事件CAC与BD是互斥事件，但不是对立事件DA与BCD是互斥事件，也是对立事件解析：选D因为P(A)0.2，P(B)0.2，P(C)0.3，P(D)0.3，且P(A)P(B)P(C)P(D)1，所以A与BCD
23、是互斥，也是对立事件7一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为_解析：“从中任取5个球，至少有1个红球”是必然事件，必然事件发生的概率为1.答案：18抛掷一粒骰子，观察掷出的点数，设事件A为“出现奇数点”，事件B为“出现2点”，已知P(A)，P(B)，则出现奇数点或2点的概率为_解析：由题意知“出现奇数点”的概率是事件A的概率，“出现2点”的概率是事件B的概率，事件A，B互斥，则“出现奇数点或2点”的概率为P(A)P(B).答案：9甲、乙两颗卫星同时监测台风，在同一时刻，甲、乙两颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8和0.75，则在同一时刻至少有一颗卫星预报准确
24、的概率为_解析：P10.20.250.95.答案：0.9510假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解他们的使用寿命，现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：(1)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率；(2)这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率解：(1)甲品牌产品寿命小于200小时的频率为，用频率估计概率，可得甲品牌产品寿命小于200小时的概率为.(2)根据频数分布图可得寿命大于200小时的两种品牌产品共有7570145(个)，其中甲品牌产品有75个，所以在样本中，寿命大于200小时的产品是甲品牌的频率是，用频
25、率估计概率，所以已使用了200小时的该产品是甲品牌的概率为.11. (2014通化模拟)有A、B、C、D、E五位工人参加技能竞赛培训现分别从A、B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次用如图所示茎叶图表示这两组数据 (1)A、B二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A、B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A、B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率解：(1)A的中位数是84，B的中位数是83.(2)派A参加比较合适理由如下：A(7580808385909295)85，B(7379818284889598)85，s(7585)2(8085)2(8085)2(8385)2(8585)2(9085)2(9285)2(9585)241，s(7385)2(7985)2(8185)2(8285)2(8485)2(8885)2(9585)2(9885)260.5.AB，s330.化简整理，得m28m120，即(m2)(m6)0.解得m2或m6.故m的取值范围为(，6)(2，)