1、2014-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1已知集合M=x|，集合N=x|2x3，则MN为（） A （2，3） B （3，2 C 2，2） D （3，32已知复数z的实部为1，且|z|=2，则复数z的虚部是（） A B C D 3已知sin（2）=2sin（+），且k+（kZ），则的值为（） A B C D 4已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=11，a5+a6=4，Sn取得最小值时n的值为（） A 6 B 7 C 8 D 95函数f（x）=Asin（x+）
2、（其中A0，0，|）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（） A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度6给定命题p：函数y=ln（1x）（1+x）为偶函数；命题q：函数y=为偶函数，下列说法正确的是（） A pq是假命题 B （p）q是假命题 C pq是真命题 D （p）q是真命题7方程的根所在区间为（） A B C （3，4） D （4，5）8函数y=sin2x的图象向右平移（0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为（） A B C D 以上都不对9平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2
3、，4），=（1，3），则等于（） A 6 B 8 C 8 D 610已知函数f（x）=lnx，x1，x2（0，），且x1x2，则下列结论中正确的是（） A （x1x2）f（x1）f（x2）0 B f（）f（） C x1f（x2）x2f（x1） D x2f（x2）x1f（x1）二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案写在答题纸上）11已知函数，则=12若等比数列an的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，则lga1+lga2+lga12=13在ABC中，a2c2+b2=ab，则C=14已知|=1，|=2，=60，则|2|=15给出下列四个命题：ABC中，AB是f（
4、a）=g（b）成立的充要条件； x=1是x23x+2=0的充分不必要条件；已知是等差数列an的前n项和，若S7S5，则S9S3；若函数为R上的奇函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称 其中所有正确命题的序号为三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）16已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）若在处取得最大值，求的值；（）求y=g（x）的单调递增区间17已知an为等差数列，且a3=5，a7=2a41（）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（）若数列bn满足求数列bn的通项公式18在ABC中，角A，B，
5、C的对边分别为a，b，c，已知角A=，sinB=3sinC（1）求tanC的值；（2）若a=，求ABC的面积19已知数列an中，a1=1，前n项和Sn=an（）求a2，a3以及an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn20已知函数f（x）=2a2lnx+ax（aR）（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性21已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数（）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求m的值；（）令g（x）=f（x），若x1时，有不等式g（x）恒成立，求实数k的取值范围2014
6、-2015学年山东省青岛市城阳一中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1已知集合M=x|，集合N=x|2x3，则MN为（） A （2，3） B （3，2 C 2，2） D （3，3考点： 交集及其运算专题： 集合分析： 求出M中不等式的解集确定出M，求出M与N的交集即可解答： 解：由集合M中的不等式变形得：（x2）（x+3）0，解得：3x2，即M=（3，2），N=2，3），MN=2，2）故选C点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2已知复数z的实部为1，
7、且|z|=2，则复数z的虚部是（） A B C D 考点： 复数求模专题： 计算题分析： 设复数z的虚部是为b，根据已知复数z的实部为1，且|z|=2，可得1+b2=4，由此解得 b的值，即为所求解答： 解：设复数z的虚部是为b，已知复数z的实部为1，且|z|=2，故有 1+b2=4，解得 b=，故选D点评： 本题主要考查复数的基本概念，求复数的模，属于基础题3已知sin（2）=2sin（+），且k+（kZ），则的值为（） A B C D 考点： 运用诱导公式化简求值专题： 三角函数的求值分析： 直接利用诱导公式化简已知条件，然后化简所求表达式的值，求解即可解答： 解：sin（2）=2sin（
8、+），sin=2cos，=故选：D点评： 本题考查诱导公式的应用，萨迦寺的化简求值，开采技术能力4已知等差数列an的前n项和为Sn，a1=11，a5+a6=4，Sn取得最小值时n的值为（） A 6 B 7 C 8 D 9考点： 等差数列的前n项和；数列的函数特性专题： 等差数列与等比数列分析： 【解法一】求出an的通项公式an，在an0时，前n项和Sn取得最小值，可以求出此时的n；【解法二】求出an的前n项和Sn的表达式，利用表达式是二次函数，有最小值时求对应n的值解答： 解：【解法一】在等差数列an中，设公差为d，a1=11，a5+a6=4，（a1+4d）+（a1+5d）=22+9d=4；d
9、=2，an=a1+（n1）d=11+2（n1）=2n13，由2n130，得n，当n=6时，Sn取得最小值；【解法二】在等差数列an中，设公差为d，a1=11，a5+a6=4，（a1+4d）+（a1+5d）=22+9d=4，d=2，前n项和Sn=na1+=11n+=n212n，当n=6时，Sn取得最小值；故选：A点评： 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和综合应用问题，是基础题5函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，0，|）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（） A 向左平移个单位长度 B 向右平移个单位长度 C 向左平移个单位长度 D 向右平移个单位长度
10、考点： 函数y=Asin（x+）的图象变换专题： 计算题分析： 先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求的值，再将特殊点代入求出值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可解答： 解：由图象可知A=1，T=，=2f（x）=sin（2x+），又因为f（）=sin（+）=1+=+2k，=（kZ）|，=f（x）=sin（2x+）=sin（+2x）=cos（2x）将函数f（x）向左平移可得到cos2（x+）=cos2x=y故选C点评： 本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和
11、最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求的值6给定命题p：函数y=ln（1x）（1+x）为偶函数；命题q：函数y=为偶函数，下列说法正确的是（） A pq是假命题 B （p）q是假命题 C pq是真命题 D （p）q是真命题考点： 复合命题的真假专题： 函数的性质及应用；简易逻辑分析： 先判定命题p、命题q的真假，再判定各选项复合命题的真假即可解答： 解：函数y=ln（1x）（1+x）的定义域是（1，1），且x，有f（x）=ln（1+x）（1x）=f（x），f（x）是定义域上的偶函数，命题p正确函数y=，xR，f（x）=f（x），f（x）是定义域上的奇函数，命题q错误；pq是真命题，（
12、p）q是假命题，pq是假命题，（p）q是假命题；故选：B点评： 本题考查了函数的奇偶性判定以及复合命题的真假性判定问题，解题的关键是先判定命题p、q的真假性，是基础题7方程的根所在区间为（） A B C （3，4） D （4，5）考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 利用根的存在性定理进行判断即可解答： 解：方程，设函数f（x）=，则函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（3）=log=log，f（4）=，根据根的存在性定理可知函数f（x）在区间（3，4）内存在唯一的一个零点，即方程的根所在区间为（3，4），故选：C点评： 本题主要考查方程根的存在性的问题，利用方程和
13、函数之间的关系，转化为函数，利用根的存在性定理判断函数零点所在的区间是解决本题的关键8函数y=sin2x的图象向右平移（0）个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为（） A B C D 以上都不对考点： 由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题： 计算题；三角函数的图像与性质分析： 令y=f（x）=sin2x，依题意f（x）=sin2（x）关于x=对称，从而可求得的最小值解答： 解：令y=f（x）=sin2x，则f（x）=sin2（x）=sin（2x2），且其图象恰好关于x=对称，22=2k+或22=2k，kZ=k或=k+，kZ又0，的最小值为故选A点评： 本题考查y=Asin
14、（x+）的部分图象变换，考查正弦函数的对称性质，属于中档题9平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，=（2，4），=（1，3），则等于（） A 6 B 8 C 8 D 6考点： 平面向量数量积的运算专题： 计算题分析： 根据所给的向量的坐标和向量加法的平行四边形法则，写出要用的向量的坐标，根据两个向量数量积的坐标公式写出向量的数量积解答： 解：由向量加法的平行四边形法则可以知道，=（2，4），=（1，3），=（1，1）=（3，5）=（1）（3）+（1）（5）=8故选B点评： 本题考查向量的数量积和向量的加减，向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量
15、解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的10已知函数f（x）=lnx，x1，x2（0，），且x1x2，则下列结论中正确的是（） A （x1x2）f（x1）f（x2）0 B f（）f（） C x1f（x2）x2f（x1） D x2f（x2）x1f（x1）考点： 对数函数的单调性与特殊点专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的单调性可得A不正确；根据函数的图象是下凹的，可得B不正确； 利用导数判断函数 在（0，+）上是增函数，故有 ，化简可得 x1f（x2）x2f（x1），故C正确、且D不正确解答： 解：由于已知函数f（x）=lnx在定义域（0，+）上是增函数，x1，x2（0，
16、），且x1x2 ，可得f（x1）f（x2）0，故（x1x2）f（x1）f（x2）0，故A不正确由于已知函数f（x）=lnx的增长速度较慢，图象是下凹型的，故有f（）f（），故B不正确已知函数f（x）=lnx，x1，x2（0，），且x1x2 ，则 =0，函数 在（0，+）上是增函数，故有 ，化简可得 x1f（x2）x2f（x1），故C正确、且D不正确故选C点评： 本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数研究函数的单调性，函数的单调性的应用，属于中档题二、填空题：（本大题共5小题，每题5分，共25分，把答案写在答题纸上）11已知函数，则=考点： 函数的值专题： 计算题；函数的性质及应用分析： 由
17、函数，知f（）=log4=2，由此能求出的值解答： 解：函数，f（）=log4=2，=f（2）=32=故答案为：点评： 本题考查函数值的求法，是基础题解题时要认真审题，注意分段函数的函数值的求法12若等比数列an的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，则lga1+lga2+lga12=12考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 利用等比数列的性质，对数函数的性质，即可得出结论解答： 解：等比数列an的各项均为正数，且a4a9+a5a8+a6a7=300，a1a12=a2a11=a3a10=a4a9=a5a8=a6a7=100lga1+lga2+lga3+
18、lga12=lg（a1a2a12）=lg（1006）=12故答案为：12点评： 本题主要考查了等比数列的性质和对数函数的性质等问题属基础题13在ABC中，a2c2+b2=ab，则C=30考点： 余弦定理专题： 计算题；解三角形分析： 根据题中的等式，利用余弦定理算出cosC=，结合C是三角形的内角，可得C的大小解答： 解：在ABC中，a2c2+b2=ab，根据余弦定理，得cosC=又C是三角形的内角，可得0C180，C=30故答案为：30点评： 本题给出三角形边的平方关系式，求角C的大小，着重考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题14已知|=1，|=2，=60，则|2|=2考点： 向量的
19、模；平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 由题设条件，对|2|进行平方，先出和向量模的平方，再开方求两者和的模解答： 解：|=1，|=2，=60由题意|2|2=（2）2=42=4+4421cos60=4，|2|=2故答案为：2点评： 本题考查向量模的求法，对向量的求模运算，一般采取平方方法表示成向量的内积，根据内积公式求出其平方，再开方求模，本题是向量中的基本题15（ 5分）（2014秋城阳区校级期中）给出下列四个命题：ABC中，AB是f（a）=g（b）成立的充要条件； x=1是x23x+2=0的充分不必要条件；已知是等差数列an的前n项和，若S7S5，则S9S3；若函数为R上的奇
20、函数，则函数y=f（x）的图象一定关于点成中心对称 其中所有正确命题的序号为考点： 命题的真假判断与应用专题： 简易逻辑分析： 由三角形中的大边对大角结合正弦定理判断；根据充要条件定义，说明正确；根据等差数列的性质可说明正确；直接由函数图象的平移说明错误解答： 解：对于，由AB，得边a边b（大角对大边），根据正弦定理知：=，则sinAsinB；由sinAsinB，根据正弦定理知：=，则边a边b，根据大边对大角，则有ABABC中，AB是sinAsinB成立的充要条件命题正确；对于，若x=1，则x23x+2=0成立若x23x+2=0，则x=1或x=2，故x=1是x23x+2=0的充分不必要条件，正
21、确；对于，等差数列an若S7S5，则2a1+11d0，则S9S3=6a1+33d0，即S9S3，命题正确；对于，函数y=f（x）为R上的奇函数，则其图象关于（0，0）中心对称，而函数y=f（x）的图象是把y=f（x）的图象向左平移个单位得到的，函数y=f（x）的图象一定关于点F（，0）成中心对称命题错误故答案为：点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了充分必要条件的判断方法，考查了函数图象的平移，是中档题三、解答题：（本题共6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，将解答过程写在答题纸相应位置上.）16已知函数（）求f（x）的最小正周期；（）若在处取得最大值，求
22、的值；（）求y=g（x）的单调递增区间考点： 二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性专题： 三角函数的图像与性质分析： （）函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；（）根据题意表示出g（x）解析式，根据正弦函数的性质以及x=处取得最大值，确定出的值即可；（）根据第二问确定出的g（x）解析式，根据正弦函数的单调性即可确定出g（x）的单调递增区间解答： 解（）f（x）=4sin2x+cos4x=2sin2x+2sin22x+12sin22x=2sin2x+1，=2，T=，则f（x
23、）的最小正周期为；（）根据题意得：g（x）=f（x+）=2sin（2x+2）+1，当2x+2=+2k，kZ时取得最大值，将x=代入上式，解得：=+k，kZ，=；（）根据第二问得：g（x）=2sin（2x）+1，令+2k2x+2k，kZ，解得：+kx+k，kZ，函数g（x）的单调递增区间为+k，+k，kZ点评： 此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键17已知an为等差数列，且a3=5，a7=2a41（）求数列an的通项公式及其前n项和Sn；（）若数列bn满足求数列bn的通项公式考点： 等差数列的前n项和
24、；数列的函数特性；等差数列的通项公式专题： 等差数列与等比数列分析： （）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，由题意可得关于它们的方程组，解方程组代入通项公式和求和公式可得；（）由题意可得当n2时，和已知式子相减可得当n2时的不等式，验证n=1时可得其通项公式解答： 解：（）设等差数列的首项和公差分别为a1，d，则，解得，an=1+2（n1）=2n1，Sn=n2（） 当n2时， 得n2bn=anan1=2，n2，又b1=a1=1，点评： 本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题18在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知角A=，sinB=3sinC（1）求tanC的值；（2
25、）若a=，求ABC的面积考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （1）利用sinB=3sinC，差角的正弦公式，即可得出结论；（2）利用正弦定理，余弦定理，求出b，c，即可求ABC的面积解答： 解：（1）角A=，B+C=sinB=3sinC，sin（C）=3sinCcosC+sinC=3sinCcosC=sinCtanC=；（2）sinB=3sinC，b=3c在ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c22bccosA=7c2a=，c=1，b=3ABC的面积为=点评： 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题19已知数列an中，a1=1，前n项和Sn=an（）求a
26、2，a3以及an的通项公式；（）设bn=，求数列bn的前n项和Tn考点： 数列的求和专题： 等差数列与等比数列分析： （）由a1=1，Sn=an可求得a2，a3，进一步可求得=，利用累乘法即可求得an的通项公式；（）由裂项法得bn=2（），从而可求得数列bn的前n项和Tn解答： 解：（）由a1=1，Sn=an可得：S2=a2=a1+a2a2=3a1=3，同理可得，a3=a1+a2=4，a3=6；Sn=an，当n2时，Sn1=an1 得：an=anan1，整理得：an=an1，=，an=a1=1=（n2），而=1=a1，an=（）bn=2（），Tn=2（1）+（）+（）=2（1）=点评： 本题考
27、查数列的求和，着重考查数列的递推关系式的应用，突出累乘法求通项与裂项法求和，属于中档题20已知函数f（x）=2a2lnx+ax（aR）（）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）的切线方程；（）讨论函数f（x）的单调性考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题： 导数的概念及应用分析： 可得函数的定义域和导函数，（）代入a=1可得f（1），和f（1），进而可得切线方程；（）可得导函数为，分a=0和a0即a0三类分别求得导数的正负情况，进而可得单调性解答： 解：函数f（x）的定义域为（0，+），（） 当a=1时，f（1）=2+1+1=0，所以曲线y=f（x）在点
28、（1，f（1）的切线方程为（），（1）当a=0时，f（x）=x0，f（x）在定义域为（0，+）上单调递增，（2）当a0时，令f（x）=0，得x1=2a（舍去），x2=a，当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下： x （0，a） a （a，+） f（x） 0 + f（x） 减 极小值 增此时，f（x）在区间（0，a）单调递减，在区间（a，+）上单调递增； （3）当a0时，令f（x）=0，得x1=2a，x2=a（舍去），当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下： x （0，2a） 2a （2a，+） f（x） 0 + f（x） 减 极小值 增此时，f（x）在区间（0，2a）单调递减，在区
29、间（2a，+）上单调递增点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及切线方程的求解，属中档题21已知函数f（x）=lnx+mx，其中m为常数（）当m=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）在区间（0，e上的最大值为3，求m的值；（）令g（x）=f（x），若x1时，有不等式g（x）恒成立，求实数k的取值范围考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题： 导数的综合应用分析： （）在定义域（0，+）内对函数f（x）求导，求其极大值，若是唯一极值点，则极大值即为最大值（）在定义域（0，+）内对函数f（x）求导，对m进行分类讨论并判断其单调性，根据f（x）在区间（0，e
30、上的单调性求其最大值，并判断其最大值是否为3，若是就可求出相应的最大值（）首先求g（x），有不等式g（x）恒成立，转化为kg（x）（x+1），求g（x）（x+1）的最小值，问题得以解决解答： 解：（1）易知f（x）定义域为（0，+），当a=1时，f（x）=x+lnx，f（x）=1+，令f（x）=0，得x=1当0x1时，f（x）0；当x1时，f（x）0f（x）在（0，1）上是增函数，在（1，+）上是减函数（2）f（x）=m+，x（0，e，若m0，则f（x）0，从而f（x）在（0，e上增函数，f（x）max=f（e）=me+10，不合题意若m0，则由f（x）0，即0x由f（x）0，即xe从而f（x）在（0，）上增函数，在（，e为减函数，f（x）max=f（）=1+ln（）令1+ln（）=3，m=e2，e2，m=e2为所求（）g（x）=f（x），f（x）=m+，f（x）=lnx+mx，g（x）=，若x1时，有不等式g（x）恒成立，kg（x）（x+1）=lnx+1，令h（x）=（x）（x+1）=lnx+1，h（x）=恒大于0，h（x）在1，+）为增函数，h（x）min=h（1）=2，k2点评： 本题先通过对函数求导，求其极值，进而在求其最值，用到分类讨论的思想方法
