1、12.2 同角三角函数的基本关系学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明知识点 同角三角函数的基本关系式思考 1 计算下列式子的值：(1)sin230cos230；(2)sin245cos245；(3)sin290cos290.由此你能得出什么结论？尝试证明它答案 3 个式子的值均为 1.由此可猜想：对于任意角，有 sin2cos21，下面用三角函数的定义证明：设角 的终边与单位圆的交点为 P(x，y)，则由三角函数的定义，得 sin y，cos x.sin2cos2x
2、2y2|OP|21.思考 2 由三角函数的定义知，tan 与 sin 和 cos 间具有怎样的等量关系？答案 tan yx(x0)，tan sin cos(2k，kZ)梳理(1)同角三角函数的基本关系式平方关系：sin2cos21.商数关系：tan sin cos k2，kZ.(2)同角三角函数基本关系式的变形sin2cos21 的变形公式sin21cos2；cos21sin2.tan sin cos 的变形公式sin cos tan；cos sin tan.1sin2cos21.()提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即 sin2cos21.2sin22cos221.(
3、)提示 在 sin2cos21 中，令 2可得 sin22cos221.3对任意的角，都有 tan sin cos 成立()提示 当 2k，kZ 时就不成立.类型一 利用同角三角函数的关系式求值命题角度 1 已知角 的某一三角函数值及 所在象限，求角 的其余三角函数值例 1(1)若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值为()A.125B125C.512D 512考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 D解析 sin 513，且 为第四象限角，cos 1213，tan sin cos 512，故选 D.(2)(2017绍兴柯桥区期末)已知20，sin cos
4、 15，则 tan 的值为()A43B34C.34D.43考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 B解析 sin cos 15，等号两边同时平方得 12sin cos 125，即 sin cos 1225，sin，cos 是方程 x215x12250 的两根，又20，sin 35，cos 45，tan sin cos 34.反思与感悟(1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在 sin，cos，tan 三个值之间，知道其中一个可以求其余两个解题时要注意角 的象限，从而判断三角函数值的正负(2)已知三角函数值之间的关系式求其它
5、三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin cos)212sin cos 的等价转化，分析解决问题的突破口跟踪训练 1 已知 tan 43，且 是第三象限角，求 sin，cos 的值考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 由 tan sin cos 43，得 sin 43cos.又 sin2cos21，由得169 cos2cos21，即 cos2 925.又 是第三象限角，cos 35，sin 43cos 45.命题角度 2 已知角 的某一三角函数值，未给出 所在象限，求角 的其余三角函数值例 2 已知 cos 817，求
6、 sin，tan 的值考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 cos 8170 且 cos 1，是第一或第四象限角(1)当 是第一象限角时，则sin 1cos2112132 513，tan sin cos 5131213 512.(2)当 是第四象限角时，则sin 1cos2 513，tan 512.类型二 齐次式求值问题例 3 已知 tan 2，求下列代数式的值(1)4sin 2cos 5cos 3sin；(2)14sin213sin cos 12cos2.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解(1)原式4tan 253tan 611.
7、(2)原式14sin213sin cos 12cos2sin2cos214tan213tan 12tan211441321251330.反思与感悟(1)关于 sin，cos 的齐次式，可以通过分子、分母同除以 cos 或 cos2 转化为关于 tan 的式子后再求值(2)假如代数式中不含分母，可以视分母为 1，灵活地进行“1”的代换，由 1sin2cos2代换后，再同除以 cos2，构造出关于 tan 的代数式跟踪训练 3 已知sin cos sin cos 2，计算下列各式的值(1)3sin cos 2sin 3cos；(2)sin22sin cos 1.考点 运用基本关系式求三角函数值题点
8、 运用基本关系式求三角函数值解 由sin cos sin cos 2，化简，得 sin 3cos，所以 tan 3.(1)原式 33cos cos 23cos 3cos 8cos 9cos 89.(2)原式sin22sin cos sin2cos21tan22tan tan2113223321 11310.类型三 三角函数式的化简与证明例 4(1)化简：sin2tan cos2tan 2sin cos.考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 原式sin2sin cos cos2cos sin 2sin cos sin4cos42sin2cos2sin cos sin2cos2
9、2sin cos 1sin cos.(2)求证：tan sin tan sin tan sin tan sin .考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式证明证明 右边tan2sin2tan sin tan sin tan2tan2cos2tan sin tan sin tan21cos2tan sin tan sin tan2sin2tan sin tan sin tan sin tan sin 左边，原等式成立反思与感悟(1)三角函数式的化简技巧化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根
10、号达到化简的目的对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造 sin2cos21，以降低函数次数，达到化简的目的(2)证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法：证明一边等于另一边，一般是由繁到简证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)比较法：即证左边右边0 或左边右边1(右边0)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立跟踪训练 4 化简 tan 1sin21，其中 是第二象限角考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简解 因为 是第二象限角，所以 sin 0，cos 0.故 tan 1sin21tan 1sin2sin2 tan
11、cos2sin2sin cos cos sin sin cos cos sin 1.1若 sin 45，且 是第二象限角，则 tan 的值为()A43B.34C34D43考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的商数关系答案 A解析 为第二象限角，sin 45，cos 35，tan 43.2已知 sin cos 54，则 sin cos 等于()A.74B 916C 932D.932考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 C解析 由题意得(sin cos)22516，即 sin2cos22sin cos 2516，又 sin2cos21，12sin cos 25
12、16，sin cos 932.故选 C.3化简1sin235 的结果是()Acos35Bsin35Ccos35Dsin35考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 C解析 1sin235 cos235 cos35，235，cos35 0，cos35cos35，即1sin235 cos35，故选 C.4(2018牌头中学月考)已知 tan 2，则1sin2sin cos 2cos2等于()A43B.54C34D.45考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 B5求证：cos x1sin x1sin xcos x.考点 运用基本关系式化简和证明题点
13、 运用基本关系式证明证明 方法一(比较法作差)cos x1sin x1sin xcos x cos2x1sin2x1sin xcos x cos2xcos2x1sin xcos x0，cos x1sin x1sin xcos x.方法二(比较法作商)左右cos x1sin x1sin xcos xcos xcos x1sin x1sin x cos2x1sin2xcos2xcos2x1.cos x1sin x1sin xcos x.1利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值2利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：(1)项数尽量
14、少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值3在三角函数的变换求值中，已知 sin cos，sin cos，sin cos 中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值4在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法5在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条
15、件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解.一、选择题1(2017绍兴期末)设 0，2，若 sin 13，则 cos 等于()A.23B.23C.63D.2 23考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 D解析 0，2，sin 13，则 cos 1sin21 1322 23.21cos25等于()Asin 5Bcos 5Csin 5Dcos 5考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 A解析 050，1cos25sin25sin 5.3已知sin cos sin cos 2，则 sin cos 的值是()A.34B 310C.3
16、10D 310考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 由题意得 sin cos 2(sin cos)，(sin cos)24(sin cos)2，解得 sin cos 310.4函数 y 1sin2xcos x 1cos2xsin x的值域是()A0,2B2,0C2,0,2D2,2考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 C解析 y|cos x|cos x|sin x|sin x.当 x 为第一象限角时，y2；当 x 为第三象限角时，y2；当 x 为第二、四象限角时，y0.5(2017四川成都树德中学期中)已知 是第三象限角，且
17、 sin4cos459，则 sin cos 的值为()A.23B 23C.13D13考点 同角三角函数的基本关系式题点 同角三角函数的平方关系答案 A解析 由 sin4cos459，得(sin2cos2)22sin2cos259，sin2cos229，是第三象限角，sin 0，cos 0，sin cos 23.6若 32，则1cos 1cos 1cos 1cos 的化简结果为()A.2tan B 2tan C.2sin D 2sin 考点 运用基本关系式化简和证明题点 运用基本关系式化简答案 D解析 原式1cos 21cos2 1cos 21cos21cos|sin|1cos|sin|2|si
18、n|，0，则sin cos21sin .考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 425解析 由 cos 0 知 是第三象限角，且 sin 45，故原式sin cos21sin sin 1sin21sin sin(1sin)45 145 425.9已知 R，sin 2cos 102，则 tan.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 3 或13解析 因为 sin 2cos 102，又 sin2cos21，联立解得sin 1010，cos 3 1010或sin 3 1010，cos 1010，故 tan sin cos 13或 3.10在
19、ABC 中，2sin A3cos A，则角 A.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 3解析 由题意知 cos A0，即 A 为锐角将 2sin A3cos A两边平方得 2sin2A3cos A.2cos2A3cos A20，解得 cos A12或 cos A2(舍去)，A3.11若 tan 1tan 3，则 sin cos，tan2 1tan2.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 13 7解析 tan 1tan 3，sin cos cos sin 3，即sin2cos2sin cos 3，sin cos 13，tan2 1t
20、an2tan 1tan 22tan 1tan 927.12已知 sin cos 52，则 tan 1tan.考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解 tan 1tan sin cos cos sin sin2cos2sin cos 1sin cos.sin cos 52，12sin cos 54，sin cos 18，1sin cos 8，tan 1tan 8.三、解答题13已知4sin 2cos 3sin 5cos 611，求下列各式的值(1)5cos2sin22sin cos 3cos2；(2)14sin cos 2cos2.考点 运用基本关系式求三角函数值题点
21、运用基本关系式求三角函数值解 由已知4sin 2cos 3sin 5cos 611，4tan 23tan 5 611，解得 tan 2.(1)原式5tan22tan 3551.(2)原式sin24sin cos 3cos2sin24sin cos 3cos2sin2cos2tan24tan 31tan215.四、探究与拓展14若 sin cos 1，则 sinncosn(nZ)的值为考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值答案 1解析 sin cos 1，(sin cos)21，又 sin2cos21，sin cos 0，sin 0 或 cos 0.当 sin 0 时，
22、cos 1，此时有 sinncosn1；当 cos 0 时，sin 1，也有 sinncosn1，sinncosn1.15已知关于 x 的方程 2x2(31)x2m0 的两根为 sin 和 cos(0，)，求：(1)m 的值；(2)sin 1cot cos 1tan 的值其中cot 1tan ；(3)方程的两根及此时 的值考点 运用基本关系式求三角函数值题点 运用基本关系式求三角函数值解(1)由根与系数的关系可知，sin cos 312，sin cos m.将式平方得 12sin cos 2 32，所以 sin cos 34，代入得 m 34.(2)sin 1cot cos 1tan sin2sin cos cos2cos sin sin2cos2sin cos sin cos 312.(3)由(1)得 m 34，所以原方程化为 2x2(31)x 32 0，解得 x1 32，x212.所以sin 32，cos 12或sin 12，cos 32.又因为(0，)，所以 3或6.
