1、汽开区六中高二年级20182019学年度上学期期中考试数学（文）学科 命题人：王文光 审题人：李迪考试说明： 1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。2.考试完毕交答题卡。第卷一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1命题“若则”的逆否命题是（ ）A 若则 B 若则 C 若则 D 若则2进制数，则可能是( )A 2 B 4 C 6 D 83如图所示的程序框图的运行结果是（ ）A 2 B 2.5 C 3.5 D 44下列说法正确的是( )A 甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场B 某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治
2、愈，则第10个病人一定治愈C 天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%D 随机试验的频率与概率相等5已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在边上，则的周长是（ ）A16 B C12 D 8 6从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为（ ）A B C D7设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，分别是双曲线的左、右焦点，若，则（ ）A 1或5 B 6 C 7 D 98，两名同学在5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所示，若，两人的平均成绩分别是，观察茎叶图，下列结论正确的是（ ）A，B比A成绩稳定 B，B比A
3、成绩稳定C，A比B成绩稳定D，A比B成绩稳定9如图，在中，、边上的高分别为、，则以，为焦点，且过、的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为（ ）A B 1 C D 210如图所示是一个长方形，其内部阴影部分为两个半圆，在此长方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A B C D11若点的坐标为，是抛物线的焦点，点在抛物线上移动时，使取得最小值的的坐标为（）A B C D12已知，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且（为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（）A B C D第卷二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13为了了解2100名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全
4、体学生中抽取容量为100的样本，则分段间隔为_14命题“”为假命题，是“”的_条件15已知命题：关于的方程有实根；命题：若“”是真命题，“”是假命题，则实数的取值范围是_16已知椭圆：，是椭圆的两个焦点，是该椭圆上的一个动点，则的范围为_三、解答题（本题包括6个小题，17题10分，18-22每题12分，共70分）17（1）求焦点在轴上，虚轴长为12，离心率为 的双曲线的标准方程；（2）求经过点的抛物线的标准方程18近期中央电视台播出的中国诗词大会火遍全国某选拔赛后，随机抽取100名选手的成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示：（1）在第3、4、5组中用
5、分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；（2）在（1）的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率19（本小题满分12分）已知是公比为的等比数列，且成等差数列（1）求的值；（2）设是以2为首项，为公差的等差数列，其前项和为，求使成立的最大的的值20某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（1）若关于的线性回归方程为，根据图中数据求出实数并预测2018年该地区农村居民家庭人
6、均纯收入；（2）在2011年至2017年中随机选取两年，求这两年人均纯收入高于3.6千元的概率21如图，在四棱柱中，平面底面，且（1）求证： 平面；（2）求证：平面平面22已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆的短轴长为（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于不同的两点，且满足（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由汽开区六中高二年级20182019学年度上学期期中数学（文）参考答案1B【解析】本题主要考查命题及其关系。逆否命题是将原命题的条件与结论否定，然后再将否定后的条件和结论互换，故命题“若则”的逆否命题是“若，则”。故选2D
7、【解析】因为k进制数3651(k)中出现的最大数字为6，可得：k6，故选：D.3B【解析】，故选B。4C【解析】【分析】概率表示事件发生的可能性的大小，具有随机性，频率代表实验中事件实际发生的次数与试验总次数之比，为实际值，由此判断即可.【详解】A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；C选项，概率为90%，即可能性为90%. D选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；故选C.【点睛】本题考查概率的特点以及概率与频率之间的关系，由概率的随机性即可判断.5A【解析】ABC的顶点B，C在椭
8、圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，由椭圆的定义可得：ABC的周长是4a=44=16故答案为：A。6B【解析】从1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，共有共6个基本事件，其中这两个数字之积小于5的有共3个基本事件，则这两个数字之积小于5的概率为；故选B.7C【解析】【分析】由双曲线的方程，渐近线的方程求出，由双曲线的定义求出【详解】由双曲线的方程，渐近线的方程可得：，解得由双曲线的定义可得：解得故选【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，结合双曲线的定义进行计算求出结果，较为简单，属于基础题8A【解析】【分析】根据茎叶图看出和的五次成绩离散程度，计算出和的平均数，比较
9、大小即可【详解】的成绩为，的平均数为的成绩为的平均数为从茎叶图上看出的数据比的数据集中，比成绩稳定故选【点睛】本题考查了茎叶图的应用问题，考查了平均数的求法，解题时应该观察茎叶图中的数据，根据数据解答问题，属于基础题。9A【解析】若是椭圆，则， ， ，而椭圆的离心率 ，若是双曲线，则，所以，故选A.10C【解析】故选C11D【解析】【分析】已知抛物线y2=4x，画出抛物线图象，以及焦点和准线，过点A作准线的垂线，与抛物线交于点M，即为所求点.【详解】如图，已知y2=4x，可知焦点F（1,0），准线：x= -1，过点A作准线的垂线，与抛物线交于点M，作根据抛物线的定义，可知|BM|=|MF|MF
10、|+|MA|=|MB|+|MA|取最小值，已知A（3,2），可知M的纵坐标为2，代入y2=4x中，得M的横坐标为1，即M(1，2).故选：D【点睛】抛物线上一点到焦点的距离，可以转化为该点到准线的距离，与已知定点，构造出“一条直线”，根据“点到直线垂线段最短”求解.12A【解析】以为邻边作平行四边形，根据向量加法的平行四边形法则，由知此平行四边形的对角线垂直，即此平行四边形为菱形，是直角三角形，即，设，则，故选A13【解析】【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可.【详解】根据系统抽样的特征，得：从2100名学生中抽取100个学生，分段间隔为，故答案是21.【点睛】该题所考查的是有关系统抽
11、样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于简单题目.14充要【解析】命题“”为假命题，命题“”为真命题，则判别式，即，解得，则命题“”为假命题，是“”的充要条件，故答案为充要.15【解析】当命题为真时，有，解得或“”是假命题，是真命题又“”是假命题，一个为真命题，一个为假命题当则，解得；当，则，解得综上可得实数的取值范围是答案： 16【解析】由题意，得的左、右焦点分别为，设椭圆上任意一点，则，；故填.【技巧点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算；本题的难点在于如何设出点的坐标，常用三角函数代换设法降低了困难.17（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由虚轴长是12
12、求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程；（2）设出抛物线方程，利用经过，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程试题解析：（）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得，所以焦点在x轴上的双曲线的方程为（2）解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为： 或在第一种情形下，求得抛物线方程为： ；在第二种情形下，求得抛物线方程为： 18（1）2人、2人、1人；（2）.【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可以求出3、4、5组的频数分别为20、20、10，根据分层抽样的原则：比例相同，可以得到抽取的人数：3组2人；4组2人；5组1人
13、；（2）根据古典概型分别列举出从五位选手中抽取两位选手的总事件有10种，其中第4组至少有一名选手的事件有7，故概率为.试题解析：（1）由频率分布直方图易知第3组的频率为，从而第3组的频数为，同理可得第4、5组的频数分别为20、10，所以第3、4、5组共有50名选手.利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手，每组抽取的人数分别为：第3组： 人，第4组： 人，第5组： 人，所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人. （2）设第3组的2位选手为， ，第4组的2位选手为， ，第5组的1位选手为，则从这五位选手中抽取两位选手有， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种.其中第4组的2位选手， 中至少
14、有一位选手入选的有： ， ， ， ， ， ， ，共有7种，所以第4组至少有一名选手的概率为.19解：（1）由成等差数列知，即，所以 所以或而，所以（2）由已知得，所以，可得，所以满足条件的20（1）6.3（千元）;（2）.【解析】分析:（1）根据回归直线经过样本中心点,求出b的值，再利用回归方程预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入. （2）利用古典概型的概率公式求这两年人均纯收入高于3.6千元的概率.详解：（）由题，代入得，当时，（千元）（）记： 即，记事件“这两年人均纯收入都高于千元”，则，即则.点睛：回归直线经过样本中心点，这是回归分析里的一个重要考点，在解题时注意运用.21（1）见
15、解析;（2）见解析.【解析】（1）立体几何中线面平行的证明，可根据线面平行的判定定理来进行证明，只需证明直线与该平面内的某一直线平行即可，一般常用的方法是平行四边形对边平行的性质或者是三角形中位线与底边平行的性质；（2）可根据面面垂直的判定定理来进行证明，一般思路是“面面垂直线面垂直线线垂直”的过程.试题解析：（1）在四棱柱中， .因为平面， 平面，所以平面.（2）因为平面底面，平面底面， 底面，且由知，所以平面.又，故平面.而平面，所以平面平面.22(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义， 得到椭圆方程；（2）联立直线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到，进而求得参数值。解析：（1）由题意得： ，解得椭圆的标准方程是（2）当直线的斜率不存在时， ， ，不符合题意当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ， 由消整理得： ，解得或， 解得，满足所以存在符合题意的直线，其方程为点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用
