1、第三节圆 的 方 程1掌握确定圆的几何要素2掌握圆的标准方程与一般方程1圆的定义、方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C的坐标(a，b)半径为r一般x2y2DxEyF0充要条件：D2E24F0圆心坐标：半径r2点与圆的位置关系(1)理论依据：点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三个结论圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)20时，上述方程才表示圆；当D2E24F0时，方程表示一个点；当D2E24F0时，方程不表示任何图形
2、1(教材习题改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标是() A(2,3) B(2,3)C(2，3) D(2，3)解析：选D圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)2将圆x2y22x4y10平分的直线是()Axy10 Bxy30Cxy10 Dxy30解析：选C将圆x2y22x4y10平分的直线必定过圆心，而圆x2y22x4y10的圆心坐标为(1,2)，且(1,2)在直线xy10上3若点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，则a的取值范围是()A1a1 B0a1C1a Da1解析：选A点(2a，a1)在圆x2(y1)25的内部，(2a)2a25，解得1a0.解得2a0)，则
3、解得D4，E2，F5.所求圆的方程为x2y24x2y50.(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22b2(1b)2r2，得b，r2.故圆C的方程为(x2)22.答案(1)x2y24x2y50(或(x2)2(y1)210)(2)(x2)22【互动探究】本例(2)中“与直线y1相切”改为“圆心在y1上”，结果如何？解：圆过点O(0,0)和点(4,0)圆心在直线x2上，又圆心在y1上，圆心的坐标为(2,1)，半径r.因此，圆的方程为(x2)2(y1)25. 【方法规律】求圆的方程的两种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和
4、半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值求下列圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点P(3，2)；(2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(9,2)解：(1)法一：设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2，则有解得a1，b4，r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.法二：过切点且与xy10垂直的直线为y2x3.与y4x联立可得圆心为(1，4)，所以半径r2.故所求圆的方程为(x1)2(y4)28.(2)法一：设圆的一般方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)则解得D2，E4，F95，所以所求圆的方程为
5、x2y22x4y950.法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，kAB，则AB的中垂线方程为3xy10.同理得AC的中垂线方程为xy30.联立得即圆心坐标为(1,2)，半径r10，所以所求圆的方程为(x1)2(y2)2100.考点二与圆有关的轨迹问题 例2(2013新课标全国卷)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程；(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.自主解答由已知得圆M的圆心为M(1,0)，半径r11；圆N的圆心为
6、N(1,0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为1(x2)(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，由于|PM|PN|2R22，所以R2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R2.所以当圆P的半径最长时，其方程为(x2)2y24.若l的倾斜角为90，则l与y轴重合，可得|AB|2.若l的倾斜角不为90，由r1R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q(4,0)，所以可设l：yk(x
7、4)由l与圆M相切得1，解得k.当k时，将yx代入1，并整理得7x28x80，解得x1，x2.所以|AB|x2x1|.当k时，由图形的对称性可知|AB|.综上，|AB|2或|AB|.【方法规律】求与圆有关的轨迹方程的方法已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0)，求：(1)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程解：(1)法一：设顶点C(x，y)，因为ACBC，所以x3且x1.又kAC，kBC，且kACkBC1，所以1，即x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(x3且x1)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三
8、角形的性质知，|CD|AB|2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(x3且x1)(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x(x3且x1)，y，于是有x02x3，y02y.由(1)知，点C在圆(x1)2y24(x3且x1)上运动，将x02x3，y02y代入该方程得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21(x3且x1)因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(x3且x1).高频考点考点三 与圆有关的最值问题1与圆有关的
9、最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题2高考中主要有以下几个命题角度：(1)与圆有关的长度或距离的最值问题；(2)与圆上的点(x，y)有关的代数式的最值问题例如，形如u型；形如taxby型；形如(xa)2(yb)2型例3(1)(2013重庆高考)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A54 B.1C62 D.(2)(2013山东高考)过点(3,1)作圆(x2)2(y2)24的弦，其中最短弦的长为_自主解答(1)圆C1，C2的图象如图
10、所示设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作C1关于x轴的对称点C1(2，3)，连接C1C2，与x轴交于点P，连接PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|，则|PM|PN|的最小值为54.(2)设P(3,1)，圆心C(2,2)，则|PC|，由题意知最短的弦过P(3,1)且与PC垂直，所以最短弦长为22.答案(1)A(2)2与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合
11、求解(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如u型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如taxby型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题已知M为圆C：x2y24x14y450上任意一点，且点Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值解：(1)由圆C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r2.又|QC|4.所以|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知
12、表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，则k.由直线MQ与圆C有交点，所以2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.课堂归纳通法领悟1种方法待定系数法求圆的方程 (1)若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；(2)若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值3个性质常用到的圆的三个性质在解决与圆有关的问题时，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简洁明了，简化思路，简便运算(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上
13、；(2)圆心在任意一弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线. 前沿热点(十三)高考中与圆有关的交汇问题1圆的定义及其标准方程，与圆有关的轨迹问题，点与圆的关系、点与圆的距离，在高考中常常将它们综合在一起命制试题2求圆的方程往往需要三个独立的条件即可求出，求与圆有关的轨迹方程经常考虑直接法、定义法、相关点法等涉及点与圆的距离问题，经常转化为点与圆心的距离问题等典例(2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若点P到直线yx的距离为，求圆P的方程解题指导(1)利用圆在两坐标轴上截得的线段的
14、长，分别得出半径的表达式，利用半径相等即可求得方程；(2)依据(1)及点P到直线yx的距离可求出点P的坐标，进而求得半径，得出圆的方程解(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y22r2，x23r2.从而y22x23.故点P的轨迹方程为y2x21.(2)设P(x0，y0)由已知得.又点P在双曲线y2x21上，从而得由得此时，圆P的半径r.由得此时，圆P的半径r.故圆P的方程为x2(y1)23或x2(y1)23.名师点评解决本题的关键有以下两点：(1)注意圆心与弦的中点的连线与弦垂直；(2)注意点P满足两个条件：一是点P在曲线x2y21上；二是点P到直线yx的距离为.(2013福建高考)如图
15、，抛物线E：y24x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.(1)若点C的纵坐标为2，求|MN|；(2)若|AF|2|AM|AN|，求圆C的半径解：(1)抛物线y24x的准线l的方程为x1.由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)，所以点C到准线l的距离d2.又|CO|，所以|MN|222.(2)设C，则圆C的方程为2(yy0)2y，即x2xy22y0y0.由x1，得y22y0y10，设M(1，y1)，N(1，y2)，则由|AF|2|AM|AN|，得|y1y2|4，所以14，解得y0，此时0.所以圆心C的坐标
16、为或，从而|CO|2，|CO|，即圆C的半径为.全盘巩固1若直线3xya0过圆x2y22x4y0的圆心，则a的值为()A1 B1 C3 D3解析：选B因为圆x2y22x4y0的圆心为(1,2)，所以3(1)2a0，解得a1.2(2014昆明模拟)方程|x|1所表示的曲线是()A一个圆 B两个圆C半个圆 D两个半圆解析：选D由题意得即或故原方程表示两个半圆3已知两定点A(2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于()A B4 C8 D9解析：选B设P(x，y)，由题意知有，(x2)2y24(x1)2y2，整理得x24xy20，配方得(x2)2y2
17、4.可知圆的面积为4.4圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)21解析：选A设圆心坐标为(0，b)则圆的方程为x2(yb)21.又因为该圆过点(1,2)，所以圆的方程为12(2b)21，解得b2.即圆的方程为x2(y2)21.5实数x，y满足x2(y4)24，则(x1)2(y1)2的最大值为()A302 B304C302 D304解析：选B(x1)2(y1)2表示圆x2(y4)24上动点(x，y)到点(1,1)距离d的平方，因为2d2，所以最大值为(2)2304.6(2014杭州模拟)已知圆x2y22x
18、4y10关于直线2axby20(a，bR)对称，则ab的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A将圆的方程配方得(x1)2(y2)24，若圆关于已知直线对称，即圆心在直线上，代入整理得ab1，故aba(1a)2.7(2014南京调研)已知直线l：xy40与圆C：(x1)2(y1)22，则圆C上各点到l的距离的最小值为_解析：由题意得C上各点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去半径，即.答案：8若PQ是圆O：x2y29的弦，PQ的中点是M(1,2)，则直线PQ的方程是_解析：由圆的几何性质知kPQkOM1.kOM2，kPQ，故直线PQ的方程为y2(x1)，即x2y50.
19、答案：x2y509定义：若平面点集A中的任一个点(x0，y0)，总存在正实数r，使得集合A，则称A为一个开集，给出下列集合：；.其中为开集的是_(写出所有符合条件的序号)解析：集合表示以(x0，y0)为圆心，以r为半径的圆面(不包括圆周)，由开集的定义知，集合A应该无边界，故由表示的图形知，只有符合题意答案：10圆C通过不同的三点P(k,0)，Q(2,0)，R(0,1)，已知圆C在点P处的切线斜率为1，求圆C的方程解：设圆C的方程为x2y2DxEyF0，则k、2为x2DxF0的两根，k2D,2kF，即D(k2)，F2k，又圆过R(0,1)，故1EF0.E2k1.故所求圆的方程为x2y2(k2)
20、x(2k1)y2k0，圆心坐标为.圆C在点P处的切线斜率为1，kCP1，k3.D1，E5，F6.所求圆C的方程为x2y2x5y60.11已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)直线AB的斜率k1，AB的中点坐标为(1,2)，直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得ab30.又直径|CD|4，|PA|2.(a1)2b240.由解得或圆心P(3,6)或P(5，2)圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.12(201
21、4广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，3)为OAB的直角顶点，已知|AB|2|OA|，且点B的纵坐标大于0.(1)求的坐标；(2)求圆x26xy22y0关于直线OB对称的圆的方程解：(1)设(x，y)，由|AB|2|OA|，0，得解得或若(6，8)，则yB11与yB0矛盾所以舍去即(6,8)(2)圆x26xy22y0，即(x3)2(y1)2()2，其圆心为C(3，1)，半径r，因为(4，3)(6,8)(10,5)，所以直线OB的方程为yx，设圆心C(3，1)关于直线yx的对称点的坐标为(a，b)则解得所以所求圆的方程为(x1)2(y3)210. 冲击名校已知实数x、y满足方程x2y
22、24x10，求：(1)的最大值和最小值；(2)yx的最大值和最小值；(3)x2y2的最大值和最小值解：(1)原方程可化为(x2)2y23，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆，的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k.所以的最大值为，最小值为.(2)yx可看作是直线yxb在y轴上的截距，当直线yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时，解得b2.所以yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为
23、2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.高频滚动1(2014南宁模拟)已知直线l的倾斜角为，直线l1经过点A(3,2)、B(a，1)，且l1与l垂直，直线l2：2xby10与直线l1平行，则ab等于()A4 B2 C0 D2解析：选B由题意知l的斜率为1，则l1的斜率为1，kAB1，a0.由l1l2，得1，b2，所以ab2.2(2014固原模拟)若m0，n0，点(m，n)关于直线xy10的对称点在直线xy20上，那么的最小值等于_解析：由题意知(m，n)关于直线xy10的对称点为(1n,1m)又(1n,1m)在直线xy20上，所以1n(1m)20，即mn2.于是(mn)(522)，当且仅当，即n，m时，等号成立答案：