1、第二章 平面解析几何 知识系统整合 规律方法收藏一、直线的倾斜角与斜率1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围00)2由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆3求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程六、点与圆的位置关系1点在圆上(1)如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上(2)如果点到圆心的距离等于圆的半径，那么点在圆上2点不在圆上(1)若点的坐标满足(x，y)x2
2、y2DxEyF0，则该点在圆外；若满足(x，y)x2y2DxEyF0)的交点的圆系方程是x2y2DxEyF(AxByC)0，是待定的系数八、圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断，即根据交点的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径r，R的和、差的大小关系来判断)(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长(2)过圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20的交点的直线方程为(D1D2)x(E1
3、E2)yF1F20.九、求轨迹方程的几种常用方法1直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式2代入法：利用所求曲线上的动点与某已知曲线上的一动点的关系，把所求动点转换为已知动点具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示已知动点的坐标并代入已知动点坐标满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式3定义法：如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程4参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可
4、得动点轨迹的普通方程用参数求轨迹方程的关键在于选择适当的参数，其选择原则是：(1)动点的运动是随着参数的变化而变化的，即参数能反映动点的变化特征；(2)参数与题设的已知量有密切的联系常用的参数有物理参数(时间、速度、位移)和几何参数(角度、有向线段的数量、斜率、点坐标)等十、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹标准方程1(ab0)1(a0，b
5、0)y22px(p0)关系式a2b2c2a2b2c2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率0e1e1准线方程x决定形状的因素e决定扁平程度e决定开口大小2p决定开口大小十一、待定系数法求圆锥曲线的标准方程1椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为一般形式：椭圆方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，其中当时，焦点在x轴上，当时，焦点在y轴上；双曲线方程为Ax2By21(AB0)，当A0时，焦点在
6、y轴上，当B0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)；已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x2y2(0)2抛物线的标准方程求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小当焦点位置不确定时，要分情况讨论，也可将焦点在x轴或y轴上的抛物线方程设为一般形式y22px(p0)或x22py(p0)，然后建立方程求出参数p的值十二、求离心率的方法1定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y轴上都有关系式a2b2c2(a2b2c2)以及e.已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数这是基本且常用的方法2方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，
7、从而求出其离心率这是求离心率的十分重要的思路及方法3几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观十三、直线与圆锥曲线的位置关系1直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式，则有0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆锥曲线相切于一点；0)，则由|AE|DE|得，解得y04.由中点坐标公式得B(3,1)，C(6,4)，点P(x，y)
8、在BC上运动，kOP.由图知kOPkOC或kOPkOB，kOC，kOB，或，点P在直线BC与y轴的交点时，不存在，.答案C(1)利用类比、联想、化归的思想是解决此题的突破口，即将代数式恒等变换为，联想斜率的坐标公式，问题就转化为求过原点且与线段BC相交的直线斜率问题，此法直观简捷，充分体现了“数形结合”思想的优越性(2)结合直线方程也可以用解方程组求解，也可以用函数的思想求解六、圆锥曲线的定义、方程及性质对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略如：(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；(
9、2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时，常用定义结合解三角形的知识来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解决总之，圆锥曲线的定义、性质在解题中有重要作用，要注意灵活运用典例6(1)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右焦点，如果在椭圆上有一点Q，使F1QF260，试求椭圆的离心率的取值范围；(2) 如图所示，直线l1与l2相交于点M，l1l2，点Nl1，以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等若AMN为锐角三角形，|AM|，|AN|3，且|NB|6，建立适当的坐标系，求曲线段C
10、的方程解(1)解法一：设|QF1|m，|QF2|n，则由椭圆的定义知mn2a.在F1QF2中，由余弦定理，得|F1F2|2|QF1|2|QF2|22|QF1|QF2|cos60.4c2m2n2mn.由mn2a两边平方得4a2m2n22mn，由得4a24c23mn，m0，n0，且mn2a，mn2a2(当且仅当mn时等号成立)4a24c23mn3a2.a24c2，.e2.0e1，故椭圆的离心率的取值范围为e.解法二：设椭圆与y轴相交的上顶点为B，坐标原点为O，则不难看出F1BF2F1QF260，F1BO30.BF1O60.故ecosBF1O.0e0曲线段C的方程为y28(x2)(3x6，y0)(1
11、)求离心率的范围问题是圆锥曲线中求范围问题的重点内容之一，其主要解题思路是：利用圆锥曲线的几何性质以及定义构造出含a，b，c或e的不等式或数量关系式，再利用函数或不等式的知识求结果(2)解决轨迹问题要明确圆锥曲线的性质，做好对图形变化情况的总体分析，选好相应的解题策略和拟定好具体的方法，注意将动点的几何特性用数学语言表述要注意一些轨迹问题所包含的隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围七、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系综合题，往往因综合性强，难度偏大，从而使很多同学遇到圆锥曲线题后感到无从下手，因此有些同学选择对其置之不理，先将其他题目完成后再做圆锥曲线题(考试过程中)，这样
12、一由于时间紧张，二由于无从下手，三由于运算量大，有些同学不得不放弃，从而造成遗憾实际上直线与圆锥曲线综合题的求解是有一定的规律可循的，如下规律不妨试一试，共分六步，每步都有一定的步骤得分，因此要求步骤要全且规范，争取做到能得分且得分(1)引参，设直线或圆锥曲线的方程，并设出直线与圆锥曲线的交点坐标，如A(x1，y1)，B(x2，y2)(2)将直线的方程与圆锥曲线的方程联立得方程组，消去y(或x)得到关于x(或y)的方程f(x)0(或f(y)0)此方程可能是一元二次方程，也可能是二次项系数含参的一元二次方程(这种情况应注意对二次项系数的讨论)，然后列出0及根与系数的关系(3)试用A(x1，y1)
13、与B(x2，y2)的坐标x1，y1，x2，y2表示题中条件，得条件式(*)(4)利用点A，B在直线上，将条件式(*)中坐标进行统一，都转化为关于x1，x2(或y1，y2)的条件式(*).(5)应用根与系数的关系整体代入条件(*)，求出参数或其他(6)与0联系验证求解结果或其他典例7圆x2y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形的面积最小时，切点为P(如图)(1)求点P的坐标；(2)焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l：yx交于A，B两点若PAB的面积为2，求椭圆C的标准方程解(1)设切点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则切线斜率为，切线方程为yy0(xx0)，即
14、x0xy0y4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形的面积为S.由xy42x0y0知当且仅当x0y0时x0y0有最大值，即S有最小值，因此点P的坐标为(，)(2)设椭圆C的标准方程为1(ab0)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)由点P在椭圆C上知1，并由得b2x24x62b20，又x1，x2是该方程的根，因此由y1x1，y2x2，得|AB|x1x2|.由点P到直线l的距离为及SPAB|AB|2得b49b2180，解得b26或b23，因此b26，a23(舍去)或b23，a26.从而所求椭圆C的方程为1.求解二元最值问题的基本方法之一是基本不等式法，此时需要知道变量满足的关系式(本题中为
15、xy4)；求解圆锥曲线方程的基本方法之一是待定系数法，即得出圆锥曲线方程中的系数满足的方程或者方程组，求解即可八、圆锥曲线中的定点与定值问题解决定点与定值问题应灵活应用已知条件巧设变量，在变形过程中要注意各变量之间的关系，善于捕捉题目信息，注意消元思想的应用典例8已知椭圆E：1的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1PF1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上解(1)因为焦距为1，所以2a21，解得a2.故椭圆E的方程为1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(c,0)，F2
16、(c,0)，其中c.由题意知x0c，则直线F1P的斜率kF1P，直线F2P的斜率kF2P.故直线F2P的方程为y(xc)当x0时，y，即点Q的坐标为.因此直线F1Q的斜率kF1Q.由于F1PF1Q，所以kF1PkF1Q1.化简得yx(2a21)因为点P在椭圆E上，所以1.联立，因为点P(x0，y0)在第一象限，解得x0a2，y01a2，即点P在定直线xy1上定点与定值问题是高考的热点之一，考生在做题时应灵活应用已知条件，善于寻找题目中的隐含信息九、圆锥曲线中的最值(或范围)问题1 最值问题的求解方法(1)建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值(2)建立不等式模型，
17、利用基本不等式求最值(3)数形结合，利用相切、相交的几何性质求最值2 求参数范围的常用方法典例9已知椭圆C：x22y24.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值解(1)由题意，椭圆C的标准方程为1.所以a24，b22，从而c2a2b22.因此a2，c.故椭圆C的离心率e.(2)设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因为OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因为4(0b0)经过点P，离心率e，直线l的方程为x4
18、.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P)，设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1k2k3？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解(1)由P在椭圆上，得1，依题意知a2c，则b23c2，代入，解得c21，a24，b23.故椭圆C的方程为1.(2)解法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x1)，代入椭圆方程3x24y212，并整理，得(4k23)x28k2x4(k23)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，在方程中令x4，得M的坐标为(4,3k)从而k1，k2，k3k.因为A，F，B共线，所以有kkAFkBF，即k.所以k1k22k，代入，得k1k22k2k1，又k3k，所以k1k22k3.故存在常数2符合题意解法二：设B(x0，y0)(x01)，则直线FB的方程为y(x1)，令x4，得M，从而直线PM的斜率为k3，联立得A，则直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，所以k1k22k3，故存在常数2符合题意本题(1)中仔细审题，找到a，b，c的关系即可求解(2)中两种思路各有千秋，由于引入的参变量不同，导致解题思路不同，这就要求考生在解题时要学会恰当地引入参变量以简化解题过程
